Physics-Informed Single Atom Matching Pursuit: Guided-Waves Wavenumbers and Propagation Distance Estimation for Damage Localization in Structural Health Monitoring

Resumo Técnico: Busca de Correspondência de Átomo Único Informada pela Física para Localização de Danos em Ondas Guiadas

Definição do Problema
O Monitoramento da Integridade Estrutural (SHM) de componentes de paredes finas frequentemente depende de Ondas Guiadas Ultrassônicas (GWs) geradas por transdutores piezoelétricos (PZTs). Um desafio primário neste domínio é a excitação simultânea de múltiplos modos de ondas dispersivas (especificamente os modos $A_0$ e $S_0$) por um único atuador. À medida que esses pacotes de ondas se propagam, eles interagem com fronteiras e potenciais danos, criando sinais complexos com contribuições sobrepostas e dispersas. As técnicas convencionais de processamento de sinais enfrentam limitações significativas:

• Métodos baseados em dicionários (ex: Matching Pursuit padrão) exigem dicionários pré-computados de todas as possíveis contribuições modais, o que é impraticável para estruturas contínuas e limita a adaptabilidade.
• Métodos não baseados em dicionários (ex: EMD, VMD ou AutoEncoders baseados em dados) frequentemente carecem de uma conexão forte com a física subjacente da propagação de ondas, resultando em características extraídas que são matematicamente sólidas, mas fisicamente não interpretáveis.

A dificuldade central abordada neste trabalho é a necessidade de um framework de decomposição que seja simultaneamente eficiente computacionalmente e fundamentado nos princípios físicos da propagação de ondas, permitindo a extração direta de funções de número de onda modal e distâncias de propagação sem o conhecimento prévio das curvas de dispersão específicas da estrutura.

Metodologia: Busca de Correspondência de Átomo Único Informada pela Física (PISAMP)
Os autores propõem o método Physics-Informed Single Atom Matching Pursuit (PISAMP), uma técnica de decomposição de sinal que modela sinais medidos como respostas de impulso atrasadas e dispersas de uma excitação externa. A metodologia é construída sobre os seguintes princípios:

1. Formulação Física: O método modela o sinal no domínio da frequência. Um sinal medido $\hat{s}(\omega)$ é aproximado como uma combinação linear de $N$ átomos, onde cada átomo representa um pacote de onda viajando uma distância específica $d_i$ com uma função de número de onda específica $k_i(\omega)$:
   $$\hat{s}(\omega) \approx \sum_{i=1}^{N} \alpha_i(d_i) \hat{x}(\omega) e^{-j k_i(\omega) d_i}$$
   Aqui, $\hat{x}(\omega)$ é a excitação, $\alpha_i$ é a amplitude (modelando a atenuação), e o termo exponencial codifica tanto a distância de propagação quanto os efeitos dispersivos via função de número de onda $k_i(\omega)$.

2. Otimização Iterativa: O problema é resolvido usando uma abordagem gananciosa (greedy) e incremental. Para cada termo $i$, o algoritmo otimiza conjuntamente a amplitude $\alpha_i$, a distância de propagação $d_i$ e a função de número de onda $k_i(\omega)$ para minimizar o erro de reconstrução no domínio da frequência.

   • Inicialização: O número de onda é inicializado usando uma estimativa não dispersiva (ex: o modo $S_0$).
   • Amplitude e Distância: Estas são determinadas minimizando o erro em relação à distância, tratando o número de onda como fixo da iteração anterior.
   • Atualização do Número de Onda: A função de número de onda é atualizada usando uma linearização de Taylor de primeira ordem. A correção $\Delta k_i(\omega)$ é aproximada usando polinômios de Chebyshev de segunda espécie para garantir suavidade e eficiência numérica.

3. Calibração de Escala e Localização de Danos: Um desafio crítico identificado é a indeterminação de escala do termo exponencial, onde o produto $k_i(\omega)d_i$ permanece constante mesmo se $k_i$ e $d_i$ forem escalonados inversamente. Para resolver isso:

   • O método utiliza o caminho direto atuador-sensor em uma estrutura não danificada como referência para definir um fator de escala global, convertendo distâncias numéricas em unidades físicas.
   • Um critério de erro modificado é introduzido para identificar especificamente pacotes de ondas de "primeira chegada", que frequentemente possuem amplitude negligenciável em comparação ao sinal total, mas são cruciais para a localização.
   • Uma vez estabelecidas as distâncias físicas, a localização do dano é determinada via Localização Elíptica. O comprimento total do caminho do atuador até o dano e depois até o sensor é modelado como a soma de duas distâncias euclidianas. Um problema de mínimos quadrados não lineares (resolvido via algoritmos de Gauss-Newton ou Levenberg-Marquardt) é usado para encontrar as coordenadas do dano que melhor se ajustam aos comprimentos de caminho estimados a partir de múltiplos sensores.

Principais Resultados
O artigo valida o método PISAMP através de investigações numéricas:

• Aproximação de Sinal: Em um caso acadêmico envolvendo uma placa isotrópica, o PISAMP alcançou um erro de reconstrução de 4% usando 6 submódulos, distinguindo com sucesso os modos não dispersivos ($S_0$) e dispersivos ($A_0$).
• Estruturas Complexas: Aplicado a dados experimentais de uma estrutura de carenagem de ventoinha de um Airbus A380 (uma placa composta com reforços), o método alcançou um erro de reconstrução de 20% usando 40 submódulos, lidando efetivamente com reflexões e amortecimento do material.
• Localização de Danos: Em uma simulação de placa quadrada 2D com 30 configurações de danos diferentes, a abordagem proposta (combinando a estimativa de distância do PISAMP com a Localização Elíptica) alcançou um erro relativo médio de 2,35% para a coordenada x e 2,26% para a coordenada y. O método identificou com sucesso as localizações de danos usando apenas os componentes de ondas espalhadas.

Significância e Alegações
Os autores alegam que a principal novidade deste estudo reside na integração da física da propagação de ondas diretamente em um framework de decomposição de sinal compacto. Diferente de técnicas puramente baseadas em dados ou numericamente intensivas, o PISAMP incorpora fortes restrições físicas para produzir uma representação de baixa dimensão e computacionalmente eficiente.

A significância do trabalho é dupla:

1. Interpretabilidade: Permite a identificação direta de características fisicamente significativas, especificamente funções de número de onda modal e distâncias de propagação, sem exigir um dicionário pré-computado de todos os modos possíveis.
2. Capacidade de Localização: Fornece uma metodologia robusta e interpretável para a localização de danos em estruturas de placas finas, ligando as características do sinal decomposto diretamente aos comprimentos de caminho geométricos.

O artigo nota modestamente que a implementação atual é restrita a superfícies planas, onde a distância euclidiana se aplica. Identifica a extensão para geometrias curvas (que exigem cálculos de distância geodésica) e a validação com dados experimentais do mundo real como passos necessários para pesquisas futuras.