Error estimates for finite element discretizations of the instationary Navier-Stokes equations

技术摘要：非定常 Navier-Stokes 方程有限元离散化的误差估计

问题陈述
本文研究具有齐次 Dirichlet（无滑移）边界条件的二维非定常（时间相关）Navier-Stokes 方程的数值分析。该方程采用全离散格式进行离散，该格式结合了时间上的不连续 Galerkin（dG）方法和空间上的 inf-sup 稳定有限元。主要目标是推导全离散解的严格误差估计，特别关注 $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ 范数。

尽管近年来文献中已建立了非定常 Stokes 问题的最佳逼近型误差估计（具体在 $L^\infty(I; L^2(\Omega))$、$L^2(I; H^1(\Omega))$ 和 $L^2(I; L^2(\Omega))$ 范数下），但将这些结果推广到非线性 Navier-Stokes 方程仍面临重大挑战。以往的文献通常以耦合方式估计 $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ 和 $L^2(I; H^1(\Omega))$ 误差，导致由于 $H^1$ 空间误差的影响，$L^2$ 空间误差估计的阶数降低。本文旨在分离 $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ 误差，以在不发生此类退化的情况下实现最优收敛阶。

方法论
作者采用了一种结合误差分解、对偶论证以及针对 dG 时间离散化量身定制的稳定性分析的方法。

1. 正则性分析：本文首先建立了连续 Navier-Stokes 解所需的正则性性质。关键在于分析非线性项 $(u \cdot \nabla)u$。在凸区域假设和数据正则性（$f \in L^2(I; L^2(\Omega)^2)$，$u_0 \in V$）下，作者证明了该解具有 $H^2$ 空间正则性，且非线性项属于 $L^s(I; L^2(\Omega)^2)$（对于任意 $s < \infty$）。这种正则性对于处理误差分析中的非线性项至关重要。

2. 离散格式：

   • 时间：采用 $q$ 阶不连续 Galerkin 方法（具体为 $q=0$ 和 $q=1$）。这允许进行分段多项式逼近，而无需在时间节点处满足连续性要求。
   • 空间：速度场和压力场使用 inf-sup 稳定的有限元对（例如 Taylor-Hood 或 MINI 单元）。利用离散无散空间 $V_h$，并引入三线性形式的反对称变体 $\hat{c}(\cdot, \cdot, \cdot)$ 以确保离散层面的稳定性，因为标准形式在 $V_h$ 上缺乏反对称性。

3. 稳定性工具：一个核心的技术贡献是开发了一种专门定制的离散 Gronwall 引理（引理 4.11）。与通常要求右侧为平方范数的标准离散 Gronwall 引理不同，该版本能够处理线性项（非平方贡献），并专为处理仅在时间上属于 $L^1$ 的右侧项而设计。这使得稳定性界限不会随最终时间 $T$ 呈指数增长，从而与连续能量估计保持一致。

4. 误差分析策略：

   • 误差分解：将误差 $u - u_{kh}$ 分解为两部分：$\xi = u - \tilde{u}_{kh}$（Stokes 投影的误差）和 $\eta_{kh} = \tilde{u}_{kh} - u_{kh}$（余项）。
   • Stokes 分量：利用 Stokes 问题现有的最佳逼近结果对误差 $\xi$ 进行界定。
   • 余项分量：利用对偶论证对误差 $\eta_{kh}$ 进行估计。构建一个离散对偶问题，并在连续解与离散解的平均值（$u_{ukh} = \frac{1}{2}(u + u_{kh})$）附近进行线性化。
   • 对偶稳定性：在 $L^\infty(I; L^2(\Omega)) \cap L^2(I; H^1(\Omega))$ 及更强的范数（$L^\infty(I; H^1(\Omega))$）下推导离散对偶问题的稳定性结果。这些稳定性结果依赖于先前建立的原问题解的正则性以及离散 Gronwall 引理。

主要贡献与结果
对于充分小的离散参数 $k$（时间步长）和 $h$（网格尺寸），本文确立了以下主要结果：

1. $L^2(I; H^1(\Omega))$ 误差估计：
   对于 $f \in L^2(I; L^2(\Omega)^2)$ 和 $u_0 \in V$，误差满足：
   $$\|u - u_{kh}\|_{L^2(I; H^1(\Omega))} \leq C(\sqrt{k} + h)$$
   该结果利用误差分解方法和标准稳定性论证推导得出。

2. $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ 误差估计（主要结果）：
   对于 $f \in L^\infty(I; L^2(\Omega)^2)$ 和 $u_0 \in V \cap H^2(\Omega)^2$，本文证明了一个最佳逼近型估计：
   $$\|u - u_{kh}\|_{L^\infty(I; L^2(\Omega))} \leq C \ln\left(\frac{T}{k}\right) \left( \inf_{\chi_{kh} \in V_{kh}} \|u - \chi_{kh}\|_{L^\infty(I; L^2(\Omega))} + \|u - R^S_h(u, p)\|_{L^\infty(I; L^2(\Omega))} \right)$$
   其中 $R^S_h$ 是稳态 Stokes Ritz 投影。
   在特定的正则性假设下，这给出了明确的收敛率 $O(\ln(T/k)^2 (k + h^2))$。这代表了相对于以往估计（例如 $O(\sqrt{k} + h)$）的改进，因为它在不因 $H^1$ 范数导致阶数降低的情况下，实现了时间和空间上的最优阶。

3. $L^2(I; L^2(\Omega))$ 误差估计：
   对于 $f \in L^2(I; L^2(\Omega)^2)$ 和 $u_0 \in V$，误差满足：
   $$\|u - u_{kh}\|_{L^2(I; L^2(\Omega))} \leq C(k + h^2)$$
   这是利用与 $L^\infty$ 估计相似的对偶技术推导得出的，但利用了对偶问题更强的稳定性结果。

4. 唯一性与稳定性：
   本文证明了对于充分小的 $k$ 和 $h$，全离散解的唯一性，并建立了离散解在 $L^\infty(I; H^1(\Omega))$ 范数下以及涉及离散 Stokes 算子 $A_h$ 的强稳定性界限。

意义
作者声称，这项工作的主要意义在于将最佳逼近型误差估计推广到 $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ 范数下的非线性 Navier-Stokes 方程。该特定范数对于分析受时间点上状态约束的最优控制问题至关重要，其中相应的 Lagrange 乘子是时间上的测度。

本文强调，以往的方法通常耦合 $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ 和 $L^2(I; H^1(\Omega))$ 误差，导致 $L^2$ 空间误差的收敛率次优。通过通过复杂的对偶论证和量身定制的离散 Gronwall 引理来分离 $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ 误差，作者实现了最优收敛阶（直至对数因子），这些阶数与有限元空间的逼近能力相匹配。所发展的技术，特别是通过正则性分析处理非线性项以及特定的对偶设置，为分析具有低正则性数据的全离散 Navier-Stokes 问题提供了一个稳健的框架。