Error estimates for finite element discretizations of the instationary Navier-Stokes equations

Technische Samenvatting: Foutenschattingen voor Vinite Elementen-discretisaties van de Instationaire Navier-Stokes-vergelijkingen

Probleemstelling
Dit werk behandelt de numerieke analyse van de tweedimensionale instationaire (tijdsafhankelijke) Navier-Stokes-vergelijkingen met homogene Dirichlet-grensvoorwaarden (geen-slip). De vergelijkingen worden gediskretiseerd met een volledig diskretisatieschema dat een discontinu Galerkin (dG)-methode in de tijd combineert met inf-sup stabiele finite elementen in de ruimte. Het primaire doel is het afleiden van rigoureuze foutenschattingen voor de volledig diskrete oplossing, met name gericht op de $L^\infty(I; L^2(\Omega))$-norm.

Hoewel foutenschattingen van het type beste benadering voor het instationaire Stokes-probleem recent in de literatuur zijn vastgesteld (specifiek in de $L^\infty(I; L^2(\Omega))$-, $L^2(I; H^1(\Omega))$- en $L^2(I; L^2(\Omega))$-normen), vormt het uitbreiden van deze resultaten naar de niet-lineaire Navier-Stokes-vergelijkingen aanzienlijke uitdagingen. Eerdere literatuur schat fouten in $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ en $L^2(I; H^1(\Omega))$ vaak op een gecombineerde manier, wat leidt tot orde-reducties in de $L^2$-ruimtelijke foutenschatting als gevolg van de invloed van de $H^1$-ruimtelijke fout. Dit artikel heeft tot doel de $L^\infty(I; L^2(\Omega))$-fout te isoleren om optimale convergentieordes te bereiken zonder dergelijke degradatie.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een combinatie van foutensplitsing, dualiteitsargumenten en stabiliteitsanalyse die is toegespitst op de dG-tijdsdiskretisatie.

1. Regulariteitsanalyse: Het artikel vestigt eerst de nodige regulariteitseigenschappen voor de continue Navier-Stokes-oplossing. Cruciaal is de analyse van de niet-lineaire term $(u \cdot \nabla)u$. Onder aannames van convexe domeinen en voldoende regulariteit van de data ($f \in L^2(I; L^2(\Omega)^2)$, $u_0 \in V$), tonen de auteurs aan dat de oplossing $H^2$-ruimtelijke regulariteit bezit en dat de niet-lineaire term behoort tot $L^s(I; L^2(\Omega)^2)$ voor elke $s < \infty$. Deze regulariteit is essentieel voor het behandelen van de niet-lineariteiten in de foutanalyse.

2. Diskretisatieschema:

   • Tijd: Er wordt een discontinu Galerkin-methode van orde $q$ gebruikt (specifiek $q=0$ en $q=1$). Dit staat stuksgewijze polynoombenaderingen toe zonder continuïteitseisen op de tijdsnooden.
   • Ruimte: Inf-sup stabiele finite elementparen (bijvoorbeeld Taylor-Hood of MINI-elementen) worden gebruikt voor snelheid en druk. De diskrete divergentievrije ruimte $V_h$ wordt gebruikt, en een antisymmetrische variant van de trilineaire vorm, $\hat{c}(\cdot, \cdot, \cdot)$, wordt geïntroduceerd om stabiliteit op het diskrete niveau te waarborgen, aangezien de standaardvorm geen antisymmetrie bezit op $V_h$.

3. Stabiliteitstools: Een centrale technische bijdrage is de ontwikkeling van een speciaal toegespitste diskrete Gronwall-lemma (Lemma 4.11). In tegenstelling tot standaard diskrete Gronwall-lemma's die vaak gekwadradeerde normen vereisen aan de rechterkant, komt deze versie lineaire termen (niet-gekwalificeerde bijdragen) tegemoet en is ontworpen om rechterkanten te behandelen die slechts $L^1$ zijn in de tijd. Dit maakt stabiliteitsgrenzen mogelijk die niet exponentieel groeien met de eindtijd $T$, in lijn met continue energie-schattingen.

4. Strategie voor Foutanalyse:

   • Foutensplitsing: De fout $u - u_{kh}$ wordt opgesplitst in twee delen: $\xi = u - \tilde{u}_{kh}$ (de fout van een Stokes-projectie) en $\eta_{kh} = \tilde{u}_{kh} - u_{kh}$ (het restant).
   • Stokes-component: De fout $\xi$ wordt begrensd met behulp van bestaande resultaten voor beste benadering voor het Stokes-probleem.
   • Restant-component: De fout $\eta_{kh}$ wordt geschat met een dualiteitsargument. Een diskreet dual probleem wordt geformuleerd, gelineariseerd rond het gemiddelde van de continue en diskrete oplossing ($u_{ukh} = \frac{1}{2}(u + u_{kh})$).
   • Dual Stabiliteit: Stabiliteitsresultaten voor het diskrete dual probleem worden afgeleid in $L^\infty(I; L^2(\Omega)) \cap L^2(I; H^1(\Omega))$ en sterkere normen ($L^\infty(I; H^1(\Omega))$). Deze stabiliteitsresultaten zijn gebaseerd op de eerder vastgestelde regulariteit van de primaire oplossing en het diskrete Gronwall-lemma.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten
Het artikel vestigt de volgende hoofdresultaten voor voldoende kleine diskretisatieparameters $k$ (tijdstap) en $h$ (netgrootte):

1. $L^2(I; H^1(\Omega))$-Foutenschatting:
   Voor $f \in L^2(I; L^2(\Omega)^2)$ en $u_0 \in V$ voldoet de fout aan:
   $$\|u - u_{kh}\|_{L^2(I; H^1(\Omega))} \leq C(\sqrt{k} + h)$$
   Dit resultaat is afgeleid met de foutensplitsingsbenadering en standaard stabiliteitsargumenten.

2. $L^\infty(I; L^2(\Omega))$-Foutenschatting (Hoofdresultaat):
   Voor $f \in L^\infty(I; L^2(\Omega)^2)$ en $u_0 \in V \cap H^2(\Omega)^2, bewijst het artikel een schatting van het type beste benadering:
   $$\|u - u_{kh}\|_{L^\infty(I; L^2(\Omega))} \leq C \ln\left(\frac{T}{k}\right) \left( \inf_{\chi_{kh} \in V_{kh}} \|u - \chi_{kh}\|_{L^\infty(I; L^2(\Omega))} + \|u - R^S_h(u, p)\|_{L^\infty(I; L^2(\Omega))} \right)$$
   waarbij $R^S_h$ de stationaire Stokes Ritz-projectie is.
   Onder specifieke regulariteitsaannames levert dit een expliciete convergentiesnelheid op van $O(\ln(T/k)^2 (k + h^2))$. Dit vormt een verbetering ten opzichte van eerdere schattingen (bijvoorbeeld $O(\sqrt{k} + h)$) door een optimale orde in tijd en ruimte te bereiken zonder orde-reductie door de $H^1$-norm.

3. $L^2(I; L^2(\Omega))$-Foutenschatting:
   Voor $f \in L^2(I; L^2(\Omega)^2)$ en $u_0 \in V$ voldoet de fout aan:
   $$\|u - u_{kh}\|_{L^2(I; L^2(\Omega))} \leq C(k + h^2)$$
   Dit wordt afgeleid met vergelijkbare dualiteitstechnieken als de $L^\infty$-schatting, maar met gebruikmaking van sterkere stabiliteitsresultaten voor het dual probleem.

4. Uniciteit en Stabiliteit:
   Het artikel bewijst de uniciteit van de volledig diskrete oplossing voor voldoende kleine $k$ en $h$ en vestigt sterke stabiliteitsgrenzen voor de diskrete oplossing in $L^\infty(I; H^1(\Omega))$ en met betrekking tot de diskrete Stokes-operator $A_h$.

Betekenis
De auteurs stellen dat de primaire betekenis van dit werk ligt in het uitbreiden van foutenschattingen van het type beste benadering naar de niet-lineaire Navier-Stokes-vergelijkingen in de $L^\infty(I; L^2(\Omega))$-norm. Deze specifieke norm is cruciaal voor de analyse van optimal control-problemen onderworpen aan puntsgewijze toestandsbeperkingen in de tijd, waarbij de bijbehorende Lagrange-multiplicator een maat in de tijd is.

Het artikel benadrukt dat eerdere benaderingen vaak de $L^\infty(I; L^2(\Omega))$- en $L^2(I; H^1(\Omega))$-fouten koppelden, wat resulteerde in suboptimale convergentiesnelheden voor de $L^2$-ruimtelijke fout. Door de $L^\infty(I; L^2(\Omega))$-fout te isoleren via een geavanceerd dualiteitsargument en een toegespitst diskreet Gronwall-lemma, bereiken de auteurs optimale convergentieordes (tot op logaritmische factoren) die overeenkomen met de benaderingskracht van de finite elementruimten. De ontwikkelde technieken, met name de behandeling van de niet-lineaire term via regulariteitsanalyse en de specifieke dualiteitsopzet, bieden een robuust kader voor het analyseren van volledig diskrete Navier-Stokes-problemen met data van lage regulariteit.