Error estimates for finite element discretizations of the instationary Navier-Stokes equations

技術サマリー：非定常ナビエ・ストークス方程式の有限要素離散化に関する誤差評価

問題設定
本研究は、同次ディリクレ（すべりなし）境界条件を有する2次元非定常（時間依存）ナビエ・ストークス方程式の数値解析を取り扱う。これらの方程式は、時間方向に不連続ガラーキン（dG）法を、空間方向に inf-sup 安定な有限要素を組み合わせた完全離散スキームを用いて離散化される。主要な目的は、特に $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ ノルムに焦点を当てて、完全離散解に対する厳密な誤差評価を導出することである。

最近の文献において、非定常 Stokes 問題に対する最良近似型の誤差評価（具体的には $L^\infty(I; L^2(\Omega))$、$L^2(I; H^1(\Omega))$、および $L^2(I; L^2(\Omega))$ ノルムにおいて）が確立されているが、これらの結果を非線形ナビエ・ストークス方程式へ拡張することは重大な課題を伴う。従来の文献では、$L^\infty(I; L^2(\Omega))$ および $L^2(I; H^1(\Omega))$ における誤差評価をしばしば結合して行っており、これにより $H^1$ 空間誤差の影響を受け、$L^2$ 空間誤差評価の次数が低下する結果となっていた。本論文は、そのような劣化なしに最適収束次数を達成するため、$L^\infty(I; L^2(\Omega))$ 誤差を分離することを目的とする。

手法
著者らは、dG 時間離散化に特化した誤差分割、双対性論法、および安定性解析の組み合わせを採用する。

1. 正則性解析: 論文はまず、連続ナビエ・ストークス解に対して必要な正則性性質を確立する。重要な点として、非線形項 $(u \cdot \nabla)u$ を解析する。凸領域および十分なデータの正則性（$f \in L^2(I; L^2(\Omega)^2)$、$u_0 \in V$）の仮定の下で、著者らは解が $H^2$ 空間正則性を持ち、非線形項が任意の $s < \infty$ に対して $L^s(I; L^2(\Omega)^2)$ に属することを示す。この正則性は、誤差解析における非線形性の取り扱いに不可欠である。

2. 離散化スキーム:

   • 時間: 次数 $q$ の不連続ガラーキン法（具体的には $q=0$ および $q=1$）が用いられる。これにより、時間節点における連続性の要件なしに区分的多項式近似が可能となる。
   • 空間: 速度と圧力に対して inf-sup 安定な有限要素ペア（例：Taylor-Hood 要素または MINI 要素）が用いられる。離散発散自由空間 $V_h$ が利用され、標準的な形式が $V_h$ 上で反対称性を欠くため、安定性を確保するために反対称変種 $\hat{c}(\cdot, \cdot, \cdot)$ の三重線形形式が導入される。

3. 安定性ツール: 中心的な技術的貢献として、特別に調整された離散グロンワル補題（補題 4.11）の開発がある。右辺にしばしば二乗ノルムを必要とする標準的な離散グロンワル補題とは異なり、この版は線形項（二乗されていない寄与）を許容し、時間的に $L^1$ である右辺を処理するように設計されている。これにより、最終時間 $T$ に対して指数関数的に増大しない安定性評価が可能となり、連続的なエネルギー評価と整合する。

4. 誤差解析戦略:

   • 誤差分割: 誤差 $u - u_{kh}$ は2つの部分に分割される：$\xi = u - \tilde{u}_{kh}$（Stokes 射影の誤差）および $\eta_{kh} = \tilde{u}_{kh} - u_{kh}$（剰余）。
   • Stokes 成分: 誤差 $\xi$ は、Stokes 問題に対する既存の最良近似結果を用いて評価される。
   • 剰余成分: 誤差 $\eta_{kh}$ は双対性論法を用いて評価される。離散双対問題が定式化され、連続解と離散解の平均（$u_{ukh} = \frac{1}{2}(u + u_{kh})$）の周りで線形化される。
   • 双対安定性: 離散双対問題に対する安定性結果が、$L^\infty(I; L^2(\Omega)) \cap L^2(I; H^1(\Omega))$ およびより強いノルム（$L^\infty(I; H^1(\Omega))$）において導出される。これらの安定性結果は、以前に確立された主問題の解の正則性と離散グロンワル補題に依存する。

主要な貢献と結果
本論文は、十分に小さな離散化パラメータ $k$（時間刻み）および $h$（メッシュサイズ）に対して、以下の主要な結果を確立する。

1. $L^2(I; H^1(\Omega))$ 誤差評価:
   $f \in L^2(I; L^2(\Omega)^2)$ および $u_0 \in V$ に対して、誤差は以下を満たす：
   $$\|u - u_{kh}\|_{L^2(I; H^1(\Omega))} \leq C(\sqrt{k} + h)$$
   この結果は、誤差分割アプローチおよび標準的な安定性論法を用いて導出される。

2. $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ 誤差評価（主要結果）:
   $f \in L^\infty(I; L^2(\Omega)^2)$ および $u_0 \in V \cap H^2(\Omega)^2$ に対して、論文は最良近似型の評価を証明する：
   $$\|u - u_{kh}\|_{L^\infty(I; L^2(\Omega))} \leq C \ln\left(\frac{T}{k}\right) \left( \inf_{\chi_{kh} \in V_{kh}} \|u - \chi_{kh}\|_{L^\infty(I; L^2(\Omega))} + \|u - R^S_h(u, p)\|_{L^\infty(I; L^2(\Omega))} \right)$$
   ここで $R^S_h$ は定常 Stokes リッツ射影である。
   特定の正則性仮定の下では、これは明示的な収束率 $O(\ln(T/k)^2 (k + h^2))$ を与える。これは、$H^1$ ノルムからの次数低下なしに時間および空間において最適次数を達成するものであり、以前の評価（例：$O(\sqrt{k} + h)$）に対する改善を表す。

3. $L^2(I; L^2(\Omega))$ 誤差評価:
   $f \in L^2(I; L^2(\Omega)^2)$ および $u_0 \in V$ に対して、誤差は以下を満たす：
   $$\|u - u_{kh}\|_{L^2(I; L^2(\Omega))} \leq C(k + h^2)$$
   これは、$L^\infty$ 評価と同様の双対性技術を用いるが、双対問題に対してより強い安定性結果を利用することで導出される。

4. 一意性と安定性:
   論文は、十分に小さな $k$ および $h$ に対して完全離散解の一意性を証明し、離散解に対する $L^\infty(I; H^1(\Omega))$ における強い安定性評価および離散 Stokes 作用素 $A_h$ を含む評価を確立する。

重要性
著者らは、本研究の主要な重要性が、$L^\infty(I; L^2(\Omega))$ ノルムにおいて最良近似型の誤差評価を非線形ナビエ・ストークス方程式へ拡張することにあると主張する。この特定のノルムは、時間方向の点状態制約を受ける最適制御問題の解析において決定的であり、対応するラグランジュ乗数は時間における測度となる。

論文は、従来のアプローチがしばしば $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ 誤差と $L^2(I; H^1(\Omega))$ 誤差を結合しており、その結果 $L^2$ 空間誤差に対して部分最適な収束率をもたらしたことを強調する。高度な双対性論法および調整された離散グロンワル補題を通じて $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ 誤差を分離することにより、著者らは有限要素空間の近似能力と一致する（対数因子までの）最適収束次数を達成する。特に正則性解析による非線形項の処理および特定の双対性設定を含む開発された手法は、低正則性データを持つ完全離散ナビエ・ストークス問題を解析するための堅牢な枠組みを提供する。