Error estimates for finite element discretizations of the instationary Navier-Stokes equations

Resumo Técnico: Estimativas de Erro para Discretizações por Elementos Finitos das Equações de Navier-Stokes Instacionárias

Enunciado do Problema
Este trabalho aborda a análise numérica das equações de Navier-Stokes instacionárias (dependentes do tempo) bidimensionais com condições de contorno de Dirichlet homogêneas (aderência). As equações são discretizadas utilizando um esquema totalmente discreto que combina um método de Galerkin descontínuo (dG) no tempo e elementos finitos estáveis inf-sup no espaço. O objetivo principal é derivar estimativas de erro rigorosas para a solução totalmente discreta, focando especificamente na norma $L^\infty(I; L^2(\Omega))$.

Embora estimativas de erro do tipo melhor aproximação para o problema de Stokes instacionário tenham sido estabelecidas na literatura recente (especificamente nas normas $L^\infty(I; L^2(\Omega))$, $L^2(I; H^1(\Omega))$ e $L^2(I; L^2(\Omega))$), estender esses resultados para as equações não lineares de Navier-Stokes apresenta desafios significativos. A literatura anterior frequentemente estima erros em $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ e $L^2(I; H^1(\Omega))$ de forma combinada, levando a reduções de ordem na estimativa de erro espacial $L^2$ devido à influência do erro espacial $H^1$. Este artigo visa isolar o erro em $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ para alcançar ordens de convergência ótimas sem tal degradação.

Metodologia
Os autores empregam uma combinação de divisão de erro, argumentos de dualidade e análise de estabilidade adaptados à discretização temporal dG.

1. Análise de Regularidade: O artigo estabelece primeiro as propriedades de regularidade necessárias para a solução contínua de Navier-Stokes. Crucialmente, analisa o termo não linear $(u \cdot \nabla)u$. Sob as hipóteses de domínios convexos e regularidade suficiente dos dados ($f \in L^2(I; L^2(\Omega)^2)$, $u_0 \in V$), os autores demonstram que a solução possui regularidade espacial $H^2$ e que o termo não linear pertence a $L^s(I; L^2(\Omega)^2)$ para qualquer $s < \infty$. Essa regularidade é essencial para lidar com as não linearidades na análise de erro.

2. Esquema de Discretização:

   • Tempo: Um método de Galerkin descontínuo de ordem $q$ (especificamente $q=0$ e $q=1$) é utilizado. Isso permite aproximações por polinômios piecewise sem requisitos de continuidade nos nós temporais.
   • Espaço: Pares de elementos finitos estáveis inf-sup (por exemplo, elementos Taylor-Hood ou MINI) são utilizados para velocidade e pressão. O espaço discreto de divergência nula $V_h$ é empregado, e uma variante anti-simétrica da forma trilinear, $\hat{c}(\cdot, \cdot, \cdot)$, é introduzida para garantir estabilidade no nível discreto, uma vez que a forma padrão carece de anti-simetria em $V_h$.

3. Ferramentas de Estabilidade: Uma contribuição técnica central é o desenvolvimento de um lema de Gronwall discreto especialmente adaptado (Lema 4.11). Ao contrário dos lemas de Gronwall discretos padrão que frequentemente exigem normas quadradas no lado direito, esta versão acomoda termos lineares (contribuições não quadradas) e é projetada para lidar com lados direitos que são apenas $L^1$ no tempo. Isso permite limites de estabilidade que não crescem exponencialmente com o tempo final $T$, alinhando-se com estimativas de energia contínuas.

4. Estratégia de Análise de Erro:

   • Divisão de Erro: O erro $u - u_{kh}$ é dividido em duas partes: $\xi = u - \tilde{u}_{kh}$ (o erro de uma projeção de Stokes) e $\eta_{kh} = \tilde{u}_{kh} - u_{kh}$ (o resíduo).
   • Componente de Stokes: O erro $\xi$ é limitado utilizando resultados existentes de melhor aproximação para o problema de Stokes.
   • Componente de Resíduo: O erro $\eta_{kh}$ é estimado utilizando um argumento de dualidade. Um problema dual discreto é formulado, linearizado em torno da média das soluções contínua e discreta ($u_{ukh} = \frac{1}{2}(u + u_{kh})$).
   • Estabilidade Dual: Resultados de estabilidade para o problema dual discreto são derivados em $L^\infty(I; L^2(\Omega)) \cap L^2(I; H^1(\Omega))$ e normas mais fortes ($L^\infty(I; H^1(\Omega))$). Esses resultados de estabilidade dependem da regularidade previamente estabelecida da solução primal e do lema de Gronwall discreto.

Principais Contribuições e Resultados
O artigo estabelece os seguintes resultados principais para parâmetros de discretização $k$ (passo de tempo) e $h$ (tamanho da malha) suficientemente pequenos:

1. Estimativa de Erro em $L^2(I; H^1(\Omega))$:
   Para $f \in L^2(I; L^2(\Omega)^2)$ e $u_0 \in V$, o erro satisfaz:
   $$\|u - u_{kh}\|_{L^2(I; H^1(\Omega))} \leq C(\sqrt{k} + h)$$
   Este resultado é derivado utilizando a abordagem de divisão de erro e argumentos de estabilidade padrão.

2. Estimativa de Erro em $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ (Resultado Principal):
   Para $f \in L^\infty(I; L^2(\Omega)^2)$ e $u_0 \in V \cap H^2(\Omega)^2$, o artigo prova uma estimativa do tipo melhor aproximação:
   $$\|u - u_{kh}\|_{L^\infty(I; L^2(\Omega))} \leq C \ln\left(\frac{T}{k}\right) \left( \inf_{\chi_{kh} \in V_{kh}} \|u - \chi_{kh}\|_{L^\infty(I; L^2(\Omega))} + \|u - R^S_h(u, p)\|_{L^\infty(I; L^2(\Omega))} \right)$$
   onde $R^S_h$ é a projeção de Ritz de Stokes estacionária.
   Sob hipóteses específicas de regularidade, isso produz uma taxa de convergência explícita de $O(\ln(T/k)^2 (k + h^2))$. Isso representa uma melhoria sobre estimativas anteriores (por exemplo, $O(\sqrt{k} + h)$) ao alcançar ordem ótima no tempo e no espaço sem redução de ordem devido à norma $H^1$.

3. Estimativa de Erro em $L^2(I; L^2(\Omega))$:
   Para $f \in L^2(I; L^2(\Omega)^2)$ e $u_0 \in V$, o erro satisfaz:
   $$\|u - u_{kh}\|_{L^2(I; L^2(\Omega))} \leq C(k + h^2)$$
   Isso é derivado utilizando técnicas de dualidade semelhantes à estimativa $L^\infty$, mas aproveitando resultados de estabilidade mais fortes para o problema dual.

4. Unicidade e Estabilidade:
   O artigo prova a unicidade da solução totalmente discreta para $k$ e $h$ suficientemente pequenos e estabelece limites de estabilidade fortes para a solução discreta em $L^\infty(I; H^1(\Omega))$ e envolvendo o operador de Stokes discreto $A_h$.

Significado
Os autores afirmam que o significado primário deste trabalho reside na extensão de estimativas de erro do tipo melhor aproximação para as equações não lineares de Navier-Stokes na norma $L^\infty(I; L^2(\Omega))$. Essa norma específica é crítica para a análise de problemas de controle ótimo sujeitos a restrições de estado pontuais no tempo, onde o multiplicador de Lagrange correspondente é uma medida no tempo.

O artigo enfatiza que abordagens anteriores frequentemente acoplavam os erros em $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ e $L^2(I; H^1(\Omega))$, resultando em taxas de convergência subótimas para o erro espacial $L^2$. Ao isolar o erro em $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ através de um argumento de dualidade sofisticado e de um lema de Gronwall discreto adaptado, os autores alcançam ordens de convergência ótimas (até fatores logarítmicos) que correspondem ao poder de aproximação dos espaços de elementos finitos. As técnicas desenvolvidas, particularmente o tratamento do termo não linear via análise de regularidade e a configuração específica de dualidade, fornecem um quadro robusto para analisar problemas de Navier-Stokes totalmente discretos com dados de baixa regularidade.