Error estimates for finite element discretizations of the instationary Navier-Stokes equations

Resumen Técnico: Estimaciones de Error para Discretizaciones por Elementos Finitos de las Ecuaciones de Navier-Stokes Instacionarias

Planteamiento del Problema
Este trabajo aborda el análisis numérico de las ecuaciones de Navier-Stokes instacionarias (dependientes del tiempo) bidimensionales con condiciones de frontera de Dirichlet homogéneas (deslizamiento nulo). Las ecuaciones se discretizan utilizando un esquema totalmente discreto que combina un método de Galerkin discontinuo (dG) en el tiempo y elementos finitos estables inf-sup en el espacio. El objetivo principal es derivar estimaciones de error rigurosas para la solución totalmente discreta, centrándose específicamente en la norma $L^\infty(I; L^2(\Omega))$.

Si bien las estimaciones de error de tipo mejor aproximación para el problema de Stokes instacionario se han establecido en la literatura reciente (específicamente en las normas $L^\infty(I; L^2(\Omega))$, $L^2(I; H^1(\Omega))$ y $L^2(I; L^2(\Omega))$), extender estos resultados a las ecuaciones no lineales de Navier-Stokes presenta desafíos significativos. La literatura previa a menudo estima los errores en $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ y $L^2(I; H^1(\Omega))$ de manera combinada, lo que conduce a reducciones del orden en la estimación del error espacial $L^2$ debido a la influencia del error espacial $H^1$. Este artículo tiene como objetivo aislar el error en $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ para lograr órdenes de convergencia óptimos sin dicha degradación.

Metodología
Los autores emplean una combinación de descomposición del error, argumentos de dualidad y análisis de estabilidad adaptados a la discretización temporal dG.

1. Análisis de Regularidad: El artículo establece primero las propiedades de regularidad necesarias para la solución continua de Navier-Stokes. Crucialmente, analiza el término no lineal $(u \cdot \nabla)u$. Bajo suposiciones de dominios convexos y regularidad suficiente de los datos ($f \in L^2(I; L^2(\Omega)^2)$, $u_0 \in V$), los autores demuestran que la solución posee regularidad espacial $H^2$ y que el término no lineal pertenece a $L^s(I; L^2(\Omega)^2)$ para cualquier $s < \infty$. Esta regularidad es esencial para manejar las no linealidades en el análisis del error.

2. Esquema de Discretización:

   • Tiempo: Se utiliza un método de Galerkin discontinuo de orden $q$ (específicamente $q=0$ y $q=1$). Esto permite aproximaciones polinómicas por tramos sin requisitos de continuidad en los nodos temporales.
   • Espacio: Se utilizan pares de elementos finitos estables inf-sup (por ejemplo, elementos Taylor-Hood o MINI) para la velocidad y la presión. Se utiliza el espacio discreto de divergencia nula $V_h$, y se introduce una variante antisimétrica de la forma trilineal, $\hat{c}(\cdot, \cdot, \cdot)$, para garantizar la estabilidad a nivel discreto, ya que la forma estándar carece de antisimetría en $V_h$.

3. Herramientas de Estabilidad: Una contribución técnica central es el desarrollo de un lema de Gronwall discreto especialmente adaptado (Lema 4.11). A diferencia de los lemas de Gronwall discretos estándar que a menudo requieren normas cuadradas en el lado derecho, esta versión acomoda términos lineales (contribuciones no cuadradas) y está diseñada para manejar lados derechos que son solo $L^1$ en el tiempo. Esto permite cotas de estabilidad que no crecen exponencialmente con el tiempo final $T$, alineándose con las estimaciones de energía continuas.

4. Estrategia de Análisis de Error:

   • Descomposición del Error: El error $u - u_{kh}$ se divide en dos partes: $\xi = u - \tilde{u}_{kh}$ (el error de una proyección de Stokes) y $\eta_{kh} = \tilde{u}_{kh} - u_{kh}$ (el resto).
   • Componente de Stokes: El error $\xi$ se acota utilizando resultados existentes de mejor aproximación para el problema de Stokes.
   • Componente del Resto: El error $\eta_{kh}$ se estima utilizando un argumento de dualidad. Se formula un problema dual discreto, linealizado alrededor del promedio de las soluciones continua y discreta ($u_{ukh} = \frac{1}{2}(u + u_{kh})$).
   • Estabilidad Dual: Se derivan resultados de estabilidad para el problema dual discreto en $L^\infty(I; L^2(\Omega)) \cap L^2(I; H^1(\Omega))$ y normas más fuertes ($L^\infty(I; H^1(\Omega))$). Estos resultados de estabilidad dependen de la regularidad previamente establecida de la solución primal y del lema de Gronwall discreto.

Contribuciones y Resultados Clave
El artículo establece los siguientes resultados principales para parámetros de discretización $k$ (paso de tiempo) y $h$ (tamaño de malla) suficientemente pequeños:

1. Estimación de Error en $L^2(I; H^1(\Omega))$:
   Para $f \in L^2(I; L^2(\Omega)^2)$ y $u_0 \in V$, el error satisface:
   $$\|u - u_{kh}\|_{L^2(I; H^1(\Omega))} \leq C(\sqrt{k} + h)$$
   Este resultado se deriva utilizando el enfoque de descomposición del error y argumentos de estabilidad estándar.

2. Estimación de Error en $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ (Resultado Principal):
   Para $f \in L^\infty(I; L^2(\Omega)^2)$ y $u_0 \in V \cap H^2(\Omega)^2$, el artículo prueba una estimación de tipo mejor aproximación:
   $$\|u - u_{kh}\|_{L^\infty(I; L^2(\Omega))} \leq C \ln\left(\frac{T}{k}\right) \left( \inf_{\chi_{kh} \in V_{kh}} \|u - \chi_{kh}\|_{L^\infty(I; L^2(\Omega))} + \|u - R^S_h(u, p)\|_{L^\infty(I; L^2(\Omega))} \right)$$
   donde $R^S_h$ es la proyección de Ritz de Stokes estacionaria.
   Bajo suposiciones específicas de regularidad, esto produce una tasa de convergencia explícita de $O(\ln(T/k)^2 (k + h^2))$. Esto representa una mejora sobre estimaciones anteriores (por ejemplo, $O(\sqrt{k} + h)$) al lograr un orden óptimo en tiempo y espacio sin reducción de orden por la norma $H^1$.

3. Estimación de Error en $L^2(I; L^2(\Omega))$:
   Para $f \in L^2(I; L^2(\Omega)^2)$ y $u_0 \in V$, el error satisface:
   $$\|u - u_{kh}\|_{L^2(I; L^2(\Omega))} \leq C(k + h^2)$$
   Esto se deriva utilizando técnicas de dualidad similares a la estimación $L^\infty$, pero aprovechando resultados de estabilidad más fuertes para el problema dual.

4. Unicidad y Estabilidad:
   El artículo prueba la unicidad de la solución totalmente discreta para $k$ y $h$ suficientemente pequeños y establece cotas de estabilidad fuertes para la solución discreta en $L^\infty(I; H^1(\Omega))$ e involucrando al operador de Stokes discreto $A_h$.

Significado
Los autores afirman que el significado principal de este trabajo radica en extender las estimaciones de error de tipo mejor aproximación a las ecuaciones no lineales de Navier-Stokes en la norma $L^\infty(I; L^2(\Omega))$. Esta norma específica es crítica para el análisis de problemas de control óptimo sujetos a restricciones puntuales del estado en el tiempo, donde el multiplicador de Lagrange correspondiente es una medida en el tiempo.

El artículo enfatiza que los enfoques anteriores a menudo acoplaron los errores en $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ y $L^2(I; H^1(\Omega))$, resultando en tasas de convergencia subóptimas para el error espacial $L^2$. Al aislar el error en $L^\infty(I; L^2(\Omega))$ mediante un argumento de dualidad sofisticado y un lema de Gronwall discreto adaptado, los autores logran órdenes de convergencia óptimos (hasta factores logarítmicos) que coinciden con el poder de aproximación de los espacios de elementos finitos. Las técnicas desarrolladas, particularmente el manejo del término no lineal mediante análisis de regularidad y la configuración específica de dualidad, proporcionan un marco robusto para analizar problemas de Navier-Stokes totalmente discretos con datos de baja regularidad.