A smooth isotopy of volume-preserving diffeomorphisms on unit cube saving energy through extra dimensions

技术摘要：单位立方体内保体积微分同胚的平滑等 isotopy —— 通过额外维度节省能量

问题陈述
本文探讨了在黎曼流形带边界 $(M, g)$ 的保体积且保定向微分同胚群 $SDiff(M)$中的“两点问题”和“经典变分问题”。具体而言，它研究了对于两个构型$h_0, h_1 \in SDiff(M)$，是否存在一个平滑等 isotopy $\{\xi_t\}_{t \in [0,1]}$ 将它们连接起来，并使总动能（作用量）$J(\{\xi_t\}) = \frac{1}{2} \int_0^1 \|\partial_t \xi_t\|_{L^2}^2 dt$ 最小化。

虽然 Shnirelman 已经证明，对于 $n \ge 3$，单位立方体 $I^n$ 上的每个微分同胚都是“可达的”（即可以通过一条有限能量的路径连接到恒等映射），但并不保证存在一个能量最小化的路径。本文试图构建一个特定的场景，其中一个平滑等 isotopy $\{\xi_t\}$ 具有无限的总动能，然而其终点 $\xi_1$ 可以通过另一个具有有限总动能的平速等 isotopy $\{\eta_t\}$ 实现。这凸显了特定“狂野”构造的能量成本与在环境空间中存在更高效路径之间的差异。

方法论
作者通过将若干个不相交的“构建模块”粘合在单位立方体 $I^n$ 内任意小的管状邻域内，从而构造出无限能量的等 isotopy $\{\xi_t\}$。该方法论依赖于三个主要组成部分：

1. 子流形的拓扑约束： 构造利用了一个紧致黎曼带边界流形 $(M, g)$，其维度 $m \ge 3$，具有非平凡的一阶实同调群 ($H_1(M; \mathbb{R}) \neq \{0\}$)，且基本群具有平凡中心 ($Z(\pi_1(M)) = \{0\}$)。例如，一个亏格为 2 的把手体（genus-2 handlebody）。
2. 质量流同态： 本文采用了由 Fathi 定义的质量流同态 $\theta: Homeo_0(M, \mu) \to H_1(M; \mathbb{R})/\Gamma$。由于基本群的中心是平凡的，因此核 $\Gamma$ 是平凡的，使得 $\theta$ 是一个满同态。这允许在 $M$ 上构造绕特定同调循环 $[\sigma]$ 运行任意多次 $N(j)$ 的等 isotopy，从而迫使作用量随 $N(j)$ 作二次方增长。
3. 环境扩展与缩放：
   • 等距嵌入 $\iota: M \hookrightarrow \mathbb{E}^n$ 被缩放并平移到 $I^n$ 内不相交的球体 $B_j \subset I^n$ 中。
   • $M$ 上的等 isotopy 通过支持在嵌入像附近的细管状邻域内的无散向量场扩展到环境空间 $\mathbb{E}^n$（随后限制在 $I^n$ 内）。
   • 构造过程涉及一系列尺度序列，其中“转数” $N(j)$ 相对于缩小的支撑集大小（半径 $\rho_j$ 和管宽 $\delta_j$）增加得足够快。

主要贡献与结果
主要结果是定理 1.3，它指出：

• 存在一个平滑等 isotopy $\{\xi_t\}_{t \in [0,1]} \subset SDiff(I^n)$ ($n \ge 3$)，使得总动能 $J(\{\xi_t\}) = \infty$。
• 该等 isotopy 被支持在同胚拷贝 $M$ 的若干个不相交管状邻域上。
• 至关重要的是，该等 isotopy 具有“无自我抵消”特性；向量场从未停止，且流体区域在支撑集内从未回到之前的构型。
• 尽管 $\{\xi_t\}$ 具有无限能量，但其终点 $\xi_1$ 是一个可达的微分同胚。根据 Shnirelman 关于 $n \ge 3$ 维可达微分同胚的定理，存在另一个平滑等 isotopy $\{\eta_t\}$，满足 $\eta_0 = \xi_0 = id$，$\eta_1 = \xi_1$，且 $J(\{\eta_t\}) < \infty$。

本文证明了，通过强制流体反复“搅拌”低维子流形 $M$，构造出了这种“狂野”的等 isotopy $\{\xi_t\}$。虽然这种搅拌在 $SDiff(M)$群内无法通过变形来降低能量，但将其扩展到环境空间$I^n$（利用额外的$n-m$ 个维度）则提供了一个“捷径”，从而绕过了子流形约束带来的高能量成本。

意义与主张
本文声称提供了一个显式示例，说明“推测的旨在最小化动能的流体流”可能需要非平滑或测度论解（广义流），因为对于所构造的具体路径，平滑极小值并不存在。

其意义在于能量节省的机制：

• 无限能量源于 $M$ 的拓扑复杂性阻碍了在 $M$ 内部进行的能量降低。
• 有限能量的替代方案之所以存在，是因为环境空间 $I^n$ 提供了额外的维度，允许等 isotopy “逃离”子流形的约束，通过从子流形到环境空间的“提升”有效地节省能量。

作者指出，这种构造本质上是受到 Shnirelman 关于二维不可达微分同构的研究以及 Fathi 和 Eliashberg–Ratiu 的质量流同态技术启发。本文还修正了之前版本工作中关于“刚性等 isotopy 扩展性质”的一个错误定理，澄清了此类性质无法成立，因为人们总能利用细管状邻域构造出具有任意小额外能量成本的环境等 isotopy。

结论
本文确立了在维度 $n \ge 3$ 时，可以构造出具有无限动能但仍能由有限能量路径连接到恒等映射的平滑保体积等 isotopy。这强调了 $SDiff(M)$ 中能量景观的非凸性，以及环境维度在促进低维子流形中无法实现的、高效能量变形中的作用。