A smooth isotopy of volume-preserving diffeomorphisms on unit cube saving energy through extra dimensions

Resumo Técnico: Uma Isotopia Suave de Difeomorfismos de Preservação de Volume no Cubo Unitário Economizando Energia Através de Dimensões Extras

Enunciado do Problema
O artigo aborda o "Problema dos Dois Pontos" e o "Probleço Variacional Clássico" dentro do grupo de difeomorfismos de preservação de volume e orientação, $SDiff(M)$, em uma variedade riemanniana com fronteira $(M, g)$. Especificamente, investiga-se se, para duas configurações $h_0, h_1 \in SDiff(M)$, existe uma isotopia suave $\{\xi_t\}_{t \in [0,1]}$ que as conecte minimizando a energia cinética total (ação) $J(\{\xi_t\}) = \frac{1}{2} \int_0^1 \|\partial_t \xi_t\|_{L^2}^2 dt$.

Embora Shnirelman tenha estabelecido que para $n \ge 3$, todo difeomorfismo no cubo unitário $I^n$ é "atingível" (ou seja, conectado à identidade por algum caminho de energia finita), a existência de um caminho que minimize a energia não é garantida. O artigo busca construir um cenário específico onde uma isotopia suave $\{\xi_t\}$ possui energia cinética total infinita, mas o ponto final $\xi_1$ é atingível via uma isotopia $\{\eta_t\}$ diferente com energia cinética total finita. Isso destaca uma discrepância entre o custo de energia de uma construção "selvagem" específica e a existência de um caminho mais eficiente no espaço ambiente.

Metodologia
O autor constrói a isotopia de energia infinita $\{\xi_t\}$ colando conjuntamente vários "blocos de construção" disjuntos suportados em vizinhanças tubulares arbitrariamente pequenas dentro do cubo unitário $I^n$. A metodologia baseia-se em três componentes principais:

1. Restrições Topológicas em Subvariedades: A construção utiliza uma variedade riemanniana compacta com fronteira $(M, g)$ de dimensão $m \ge 3$, primeira homologia real não trivial ($H_1(M; \mathbb{R}) \neq \{0\}$) e um grupo fundamental com centro trivial ($Z(\pi_1(M)) = \{0\}$). Exemplos incluem um corpo de mão de gênero 2.
2. Homomorfismo de Fluxo de Massa: O artigo emprega o homomorfismo de fluxo de massa $\theta: Homeo_0(M, \mu) \to H_1(M; \mathbb{R})/\Gamma$ (definido por Fathi). Como o grupo fundamental tem um centro trivial, o núcleo $\Gamma$ é trivial, tornando $\theta$ um epimorfismo. Isso permite a construção de isotopias em $M$ que percorrem um ciclo de homologia específico $[\sigma]$ um número arbitrariamente grande de vezes $N(j)$, forçando a ação a crescer quadraticamente com $N(j)$.
3. Extensão Ambiente e Escalonamento:
   • Imersões isométricas $\iota: M \hookrightarrow \mathbb{E}^n$ são escalonadas e transladadas para bolas disjuntas $B_j \subset I^n$.
   • As isotopias em $M$ são estendidas para o espaço ambiente $\mathbb{E}^n$ (e subsequentemente restritas a $I^n$) usando campos vetoriais de divergência nula suportados em vizinhanças tubulares finas.
   • A construção envolve uma sequência de escalas onde o número de "voltas" $N(j)$ aumenta suficientemente rápido em relação ao encolhimento do suporte (raio $\rho_j$ e largura tubular $\delta_j$).

Contribuições Principais e Resultados
O resultado principal é o Teorema 1.3, que afirma:

• Existe uma isotopia suave $\{\xi_t\}_{t \in [0,1]} \subset SDiff(I^n)$ ($n \ge 3$) tal que a energia cinética total $J(\{\xi_t\}) = \infty$.
• Esta isotopia é suportada em incontáveis vizinhanças tubulares disjuntas de cópias homotéticas de $M$.
• Crucialmente, a isotopia possui "não cancelamento próprio"; o campo vetorial nunca para e o domínio do fluido nunca retorna a uma configuração anterior dentro do suporte.
• Apesar da energia infinita de $\{\xi_t\}$, o difeomorfismo final $\xi_1$ é um difeomorfismo atingível. Pelo teorema de Shnirelman sobre difeomorfismos atingíveis em dimensões $n \ge 3$, existe outra isotopia suave $\{\eta_t\}$ com $\eta_0 = \xi_0 = id$, $\eta_1 = \xi_1$ e $J(\{\eta_t\}) < \infty$.

O artigo demonstra que a isotopia "selvagem" $\{\xi_t\}$ é construída forçando o fluido a "agitar" a subvariedade de baixa dimensão $M$ repetidamente. Embora essa agitação não possa ser deformada para reduzir a energia dentro de $SDiff(M)$, a extensão para o espaço ambiente $I^n$ (utilizando as $n-m$ dimensões extras) permite um "atalho" que contorna o alto custo de energia das restrições da subvariedade.

Significância e Alegações
O artigo afirma fornecer um exemplo explícito onde os "supostos fluxos de fluidos que minimizam a energia cinética" podem exigir soluções não suaves ou de teoria da medida (fluxos generalizados), pois o minimizador suave não existe para o caminho específico construído.

A significância reside no mecanismo de economia de energia:

• A energia infinita surge da complexidade topológica de $M$ impedindo a redução de energia dentro de $M$.
• A alternativa de energia finita existe porque o espaço ambiente $I^n$ oferece dimensões extras que permitem que a isotopia "escape" das restrições da subvariedade, efetivamente economizando energia através do "levantamento" da subvariedade para o espaço ambiente.

O autor observa que esta construção é essencialmente motivada pelo trabalho de Shnirelman sobre difeomorfismos inatingíveis em 2D e pelas técnicas de homomorfismo de fluxo de massa de Fathi e Eliashberg–Ratiu. O artigo também corrige um teorema falho de uma versão anterior do trabalho referente às "propriedades de extensão de isotopia rígida", esclarecendo que tais propriedades não podem ser mantidas porque sempre se pode construir uma isotopia ambiente com um custo de energia extra arbitrariamente pequeno, utilizando vizinhanças tubulares finas.

Conclusão
O artigo estabelece que, em dimensões $n \ge 3$, é possível construir isotopias de preservação de volume suaves com energia cinética infinita que são, no entanto, conectáveis à identidade por caminhos de energia finita. Isso ressalta a não convexidade do cenário de energia em $SDiff(M)$ e o papel das dimensões ambientes em facilitar deformações eficientes em termos de energia que são impossíveis dentro de subvariedades de menor dimensão.