A smooth isotopy of volume-preserving diffeomorphisms on unit cube saving energy through extra dimensions

Resumen Técnico: Una isotopía suave de difeomorfismos que preservan el volumen en un cubo unitario ahorrando energía a través de dimensiones adicionales

Planteamiento del problema
El artículo aborda el "Problema de los dos puntos" y el "Problema variacional clásico" dentro del grupo de difeomorfismos que preservan el volumen y la orientación, $SDiff(M)$, en una variedad riemanniana con frontera $(M, g)$. Específicamente, investiga si, para dos configuraciones $h_0, h_1 \in SDiff(M)$, existe una isotopía suave $\{\xi_t\}_{t \in [0,1]}$ que las conecte minimizando la energía cinética total (acción) $J(\{\xi_t\}) = \frac{1}{2} \int_0^1 \|\partial_t \xi_t\|_{L^2}^2 dt$.

Si bien Shnirelman estableció que para $n \ge 3$, todo difeomorfismo en el cubo unitario $I^n$ es "alcanzable" (es decir, está conectado a la identidad mediante alguna trayectoria de energía finita), no se garantiza la existencia de una trayectoria que minimice la energía. El artículo busca construir un escenario específico donde una isotopía suave $\{\xi_t\}$ tiene una energía cinética total infinita, pero el extremo final $\xi_1$ es alcanzable mediante una isotopía suave diferente $\{\eta_t\}$ con energía cinética total finita. Esto resalta una discrepancia entre el costo energético de una construcción "salvaje" específica y la existencia de una trayectoria más eficiente en el espacio ambiente.

Metodología
El autor construye la isotopía de energía infinita $\{\xi_t\}$ mediante la unión de countably muchos bloques de construcción disjuntos soportados en vecindades tubulares arbitrariamente pequeñas dentro del cubo unitario $I^n$. La metodología se basa en tres componentes principales:

1. Restricciones topológicas en subvariedades: La construcción utiliza una variedad riemanniana compacta con frontera $(M, g)$ con dimensión $m \ge 3$, primera homología real no trivial ($H_1(M; \mathbb{R}) \neq \{0\}$), y un grupo fundamental con centro trivial ($Z(\pi_1(M)) = \{0\}$). Los ejemplos incluyen un cuerpo de mano de género 2.
2. Homomorfismo de flujo de masa: El artículo emplea el homomorfismo de flujo de masa $\theta: Homeo_0(M, \mu) \to H_1(M; \mathbb{R})/\Gamma$ (definido por Fathi). Debido a que el grupo fundamental tiene un centro trivial, el núcleo $\Gamma$ es trivial, haciendo que $\theta$ sea un epimorfismo. Esto permite la construcción de isotopías en $M$ que atraviesan un ciclo de homología específico $[\sigma]$ un número $N(j)$ arbitrariamente grande de veces, forzando a que la acción crezca cuadráticamente con $N(j)$.
3. Extensión ambiente y escalado:
   • Las inmersiones isométricas $\iota: M \hookrightarrow \mathbb{E}^n$ se escalan y trasladan en bolas disjuntas $B_j \subset I^n$.
   • Las isotopías en $M$ se extienden al espacio ambiente $\mathbb{E}^n$ (y posteriormente se restringen a $I^n$) utilizando campos de vectores divergencia-cero soportados en vecindades tubulares delgadas de las imágenes inmersas.
   • La construcción implica una secuencia de escalas donde el número de "vueltas" $N(j)$ aumenta lo suficientemente rápido en relación con el encogimiento del tamaño del soporte (radio $\rho_j$ y anchura tubular $\delta_j$).

Contribuciones clave y resultados
El resultado principal es el Teorema 1.3, que establece:

• Existe una isotopía suave $\{\xi_t\}_{t \in [0,1]} \subset SDiff(I^n)$ ($n \ge 3$) tal que la energía cinética total $J(\{\xi_t\}) = \infty$.
• Esta isotopía está soportada en countably muchos vecindades tubulares disjuntas de copias homotéticas de $M$.
• Crucialmente, la isotopía no tiene "autocancelación"; el campo de vectores nunca se detiene y el dominio del fluido nunca regresa a una configuración previa dentro del soporte.
• A pesar de la energía infinita de $\{\xi_t\}$, el extremo final $\xi_1$ es un difeomorfismo alcanzable. Por el teorema de Shnirelman sobre difeomorfismos alcanzables en dimensiones $n \ge 3$, existe otra isotopía suave $\{\eta_t\}$ con $\eta_0 = \xi_0 = id$, $\eta_1 = \xi_1$, y $J(\{\eta_t\}) < \infty$.

El artículo demuestra que la isotopía "salvaje" $\{\xi_t\}$ se construye forzando al fluido a "agitar" la subvariedad de baja dimensión $M$ repetidamente. Aunque esta agitación no puede deformarse para reducir la energía dentro de $SDiff(M)$, la extensión al espacio ambiente $I^n$ (utilizando las $n-m$ dimensiones adicionales) permite un "atajo" que evita el alto costo energético de las restricciones de la subvariedad.

Significado y afirmaciones
El artículo afirma proporcionar un ejemplo explícito donde los "presuntos flujos de fluidos que minimizan la energía cinética" pueden requerir soluciones no suaves o de carácter de medida (flujos generalizados) porque el minimizador suave no existe para la trayectoria específica construida.

El significado radica en el mecanismo de ahorro de energía:

• La energía infinita surge de la complejidad topológica de $M$ que impide la reducción de energía dentro de $M$.
• La alternativa de energía finita existe porque el espacio ambiente $I^n$ ofrece dimensiones adicionales que permiten a la isotopía "escapar" de las restricciones de la subvariedad, efectivamente ahorrando energía a través del "ascenso" desde la subvariedad hacia el espacio ambiente.

El autor señala que esta construcción está esencialmente motivada por el trabajo de Shnirelman sobre difeomorfismos inalcanzables en 2D y las técnicas de homomorfismo de flujo de masa de Fathi y Eliashberg–Ratiu. El artículo también corrige un teorema erróneo de una versión anterior del trabajo respecto a las "propiedades de extensión de isotopía rígida", aclarando que tales propiedades no pueden sostenerse porque siempre se puede construir una isotopía ambiente con un costo de energía adicional arbitrariamente pequeño utilizando vecindades tubulares delgadas.

Conclusión
El artículo establece que en dimensiones $n \ge 3$, se pueden construir isotopías suaves que preservan el volumen con energía cinética infinita que, no obstante, son conectables a la identidad mediante trayectorias de energía finita. Esto subraya la no convexidad del paisaje energético en $SDiff(M)$ y el papel de las dimensiones ambientes para facilitar deformaciones eficientes en energía que son imposibles dentro de subvariedades de menor dimensión.