A smooth isotopy of volume-preserving diffeomorphisms on unit cube saving energy through extra dimensions

Résumé Technique : Une isotopie lisse de difféomorphismes préservant le volume sur un cube unité économisant l'énergie grâce aux dimensions supplémentaires

Énoncé du Problème
Le papier traite du « Problème des deux points » et du « Problème variationnel classique » au sein du groupe des difféomorphismes préservant le volume et l'orientation, $SDiff(M)$, sur une variété riemannienne avec bord $(M, g)$. Plus précisément, il examine si, pour deux configurations $h_0, h_1 \in SDiff(M)$, il existe une isotopie lisse $\{\xi_t\}_{t \in [0,1]}$ les reliant qui minimise l'énergie cinétique totale (l'action) $J(\{\xi_t\}) = \frac{1}{2} \int_0^1 \|\partial_t \xi_t\|_{L^2}^2 dt$.

Alors que Shnirelman a établi que pour $n \ge 3$, tout difféomorphisme sur le cube unité $I^n$ est « atteignable » (c'est-à-dire connecté à l'identité par un chemin à énergie finie quelconque), l'existence d'un chemin minimisant l'énergie n'est pas garantie. Le papier cherche à construire un scénario spécifique où une isotopie lisse $\{\xi_t\}$ possède une énergie cinétique totale infinie, pourtant l'extrémité $\xi_1$ est atteignable via une autre isotopie lisse $\{\eta_t\}$ possédant une énergie totale finie. Cela met en évidence une divergence entre le coût énergétique d'une construction « sauvage » spécifique et l'existence d'un chemin plus efficace dans l'espace ambiant.

Méthodologie
L'auteur construit l'isotopie à énergie infinie $\{\xi_t\}$ en assemblant de nombreux blocs de construction disjoints et dénombrables supportés sur des voisinages tubulaires arbitrairement petits à l'intérieur du cube unité $I^n$. La méthodologie repose sur trois composantes principales :

1. Contraintes topologiques sur les sous-variétés : La construction utilise une variété riemannienne compacte avec bord $(M, g)$ de dimension $m \ge 3$, avec une première homologie réelle non triviale ($H_1(M; \mathbb{R}) \neq \{0\}$), et un groupe fondamental dont le centre est trivial ($Z(\pi_1(M)) = \{0\}$). Des exemples incluent un corps de manipulation (handlebody) de genre 2.
2. Homomorphisme de flux de masse : Le papier emploie le homomorphisme de flux de masse $\theta: Homeo_0(M, \mu) \to H_1(M; \mathbb{R})/\Gamma$ (défini par Fathi). Parce que le groupe fondamental a un centre trivial, le noyau $\Gamma$ est trivial, faisant de $\theta$ un épimorphisme. Cela permet la construction d'isotopies sur $M$ qui traversent un cycle homologique spécifique $[\sigma]$ un nombre $N(j)$ de fois arbitrairement grand, forçant ainsi l'action à croître de manière quadratique avec $N(j)$.
3. Extension ambiante et mise à l'échelle :
   • Des plongements isométriques $\iota: M \hookrightarrow \mathbb{E}^n$ sont mis à l'échelle et traduits dans des boules disjointes $B_j \subset I^n$.
   • Les isotopies sur $M$ sont étendues à l'espace ambiant $\mathbb{E}^n$ (et par la suite restreintes à $I^n$) en utilisant des champs de vecteurs sans divergence supportés sur de minces voisinages tubulaires des images plongées.
   • La construction implique une séquence d'échelles où le nombre de « tours » $N(j)$ augmente suffisamment rapidement par rapport à la réduction de la taille du support (rayon $\rho_j$ et largeur tubulaire $\delta_j$).

Contributions et Résultats Clés
Le résultat principal est le Théorème 1.3, qui stipule :

• Il existe une isotopie lisse $\{\xi_t\}_{t \in [0,1]} \subset SDiff(I^n)$ ($n \ge 3$) telle que l'énergie cinétique totale $J(\{\xi_t\}) = \infty$.
• Cette isotopie est supportée sur de nombreux voisinages tubulaires disjoints de copies homothetiques de $M$.
• Crucialement, l'isotopie n'a « pas d'auto-annulation » ; le champ de vecteurs ne s'arrête jamais, et le domaine du fluide ne revient jamais à une configuration précédente au sein du support.
• Malgré l'énergie infinie de $\{\xi_t\}$, l'extrémité $\xi_1$ est un difféomorphisme atteignable. Selon le théorème de Shnirelman sur les difféomorphismes atteignables en dimensions $n \ge 3$, il existe une autre isotopie lisse $\{\eta_t\}$ avec $\eta_0 = \xi_0 = id$, $\eta_1 = \xi_1$, et $J(\{\eta_t\}) < \infty$.

Le papier démontre que l'isotopie « sauvage » $\{\xi_t\}$ est construite en forçant le fluide à « remuer » la sous-variété de faible dimension $M$ de manière répétée. Bien que ce remuage ne puisse être déformé pour réduire l'énergie au sein de $SDiff(M)$, l'extension à l'espace ambiant $I^n$ (utilisant les $n-m$ dimensions supplémentaires) permet un « raccourci » qui contourne le coût énergétique élevé des contraintes de la sous-variété.

Signification et Revendications
Le papier affirme fournir un exemple explicite où les « flux de fluides présumés minimisant l'énergie cinétique » peuvent nécessiter des solutions non lisses ou de nature métrée (flux généralisés) car le minimiseur lisse n'existe pas pour le chemin spécifique construit.

La signification réside dans le mécanisme d'économie d'énergie :

• L'énergie infinie provient de la complexité topologique de $M$ empêchant la réduction d'énergie au sein de $M$.
• L'alternative à énergie finie existe parce que l'espace ambiant $I^n$ offre des dimensions supplémentaires qui permettent à l'isotopie de « s'échapper » des contraintes de la sous-variété, permettant ainsi d'économiser de l'énergie grâce au « levage » de la sous-variété vers l'espace ambiant.

L'auteur note que cette construction est essentiellement motivée par les travaux de Shnirelman sur les difféomorphismes inatteignables en 2D et les techniques de homomorphisme de flux de Fathi et Eliashberg–Ratiu. Le papier corrige également un théorème erroné d'une version précédente du travail concernant les « propriétés d'extension d'isotopie rigide », précisant que de telles propriétés ne peuvent pas tenir car on peut toujours construire une isotopie ambiante avec un coût d'énergie supplémentaire arbitrairement petit en utilisant de minces voisinages tubulaires.

Conclusion
Le papier établit qu'en dimensions $n \ge 3$, on peut construire des isotopies préservant le volume lisses avec une énergie cinétique infinie qui sont néanmoins connectables à l'identité par des chemins à énergie finie. Cela souligne la non-convexité du paysage énergétique dans $SDiff(M)$ et le rôle des dimensions ambiantes pour faciliter des déformations efficaces en énergie qui sont impossibles au sein de sous-variétés de plus faible dimension.