A smooth isotopy of volume-preserving diffeomorphisms on unit cube saving energy through extra dimensions

技術要約：単位立方体上の体積保存微分同相写像における滑らかな等長変形：余剰次元によるエネルギー節約

問題提起
本論文は、リーマン多様体（境界を持つ）$(M, g)$ 上の体積および向きを保存する微分同相写像の群 $SDiff(M)$における「二点問題」および「古典的な変分問題」を扱う。具体的には、2つの構成$h_0, h_1 \in SDiff(M)$に対して、それらを結ぶ、全運動エネルギー（作用）$J({\xi_t}) = \frac{1}{2} \int_0^1 |\partial_t \xi_t|{L^2}^2 dt$を最小化する滑らかな等長変形（アイソトピー）${\xi_t}{t \in [0,1]}$ が存在するかどうかを調査している。

Shnirelmanは、$n \ge 3$ の場合、単位立方体 $I^n$ 上のあらゆる微分同相写像は「到達可能（attainable）」（すなわち、有限エネルギーの経路によって恒等写像に接続可能）であることを確立したが、エネルギー最小化経路の存在は保証されていない。本論文は、特定の滑らかな等長変形 $\{\xi_t\}$ が無限の全運動エネルギーを持ちながらも、エンドポイント $\xi_1$ が別の滑らかな等長変形 $\{\eta_t\}$ を通じて有限の全運動エネルギーで到達可能であるという、具体的なシナリオを構築することを目的としている。これは、特定の「荒れた（wild）」構成のエネルギーコストと、周囲の空間におけるより効率的な経路の存在との間の乖離を浮き彫りにするものである。

手法
著者は、単位立方体 $I^n$ ($n \ge 3$) 内の任意に小さい管状近傍内に支持された、互いに素な多数の「ビルディング・ブロック」を結合することによって、無限エネルギーの等長変形 $\{\xi_t\}$ を構築する。この手法は、以下の3つの主要な要素に基づいている：

1. 部分多様体に対する位相的制約： 構成には、コンパクトなリーマン多様体（境界を持つ）$(M, g)$ を用いる。ここで、次元 $m \ge 3$ であり、非自明な実ホモロジー（$H_1(M; \mathbb{R}) \neq \{0\}$）および中心が自明な基本群（$Z(\pi_1(M)) = \{0\}$）を持つ必要がある。例として、種数2のハンドルボディが挙げられる。
2. 質量流ホモモルフィズム（Mass Flow Homomorphism）： 本論文は、Fathiによって定義された質量流ホモモルフィズム $\theta: Homeo_0(M, \mu) \to H_1(M; \mathbb{R})/\Gamma$ を用いる。基本群の中心が自明であるため、核 $\Gamma$ は自明となり、$\theta$ は全射となる。これにより、特定のホモロジーサイクル $[\sigma]$ を任意に大きな回数 $N(j)$ だけ横断するような $M$ 上の等長変形を構築することが可能になる。これにより、作用が $N(j)$ に対して二次的に増大するように強制される。
3. 周囲への拡張とスケーリング：
   • 等長的埋め込み $\iota: M \hookrightarrow \mathbb{E}^n$ を、互いに素な球 $B_j \subset I^n$ 内へとスケーリングおよび平行移動させる。
   • $M$ 上の等長変形を、埋め込まれた像の薄い管状近傍内に支持された発散ゼロのベクトル場を用いて、周囲の空間 $\mathbb{E}^n$（およびその後の $I^n$ への制限）へと拡張する。
   • 構成には、スケール（半径 $\rho_j$ および管の幅 $\delta_j$）に対して、回転数 $N(j)$ が十分に速く増加する一連のスケールが含まれる。

主要な貢献と結果
主要な結果は定理1.3である：

• $SDiff(I^n)$ ($n \ge 3$) の滑らかな等長変形 $\{\xi_t\}_{t \in [0,1]}$ が存在し、その全運動エネルギーは $J(\{\xi_t\}) = \infty$ である。
• この等長変形は、ホモテティックな $M$ の可算個の互いに素な管状近傍上に支持されている。
• 決定的なことに、この等長変形には「自己キャンセル（self-cancellation）」がない。すなわち、ベクトル場は決して停止せず、流体領域は支持集合内において以前の構成に戻ることはない。
• この $\{\xi_t\}$ の無限のエネルギーにもかかわらず、エンドポイント $\xi_1$ は到達可能な微分同相写像である。$n \ge 3$ における到達可能な微分同相写像に関するShnirelmanの定理により、$\eta_0 = \xi_0 = id$、$\eta_1 = \xi_1$ かつ $J(\{\eta_t\}) < \infty$ を満たす別の滑らかな等長変形 $\{\eta_t\}$ が存在する。

本論文は、流体が低次元の部分多様体 $M$ を繰り返し「攪拌（stir）」することを強制することによって、$\{ \xi_t \}$ という「荒れた」等長変形が構築されることを示している。この攪拌は $SDiff(M)$内ではエネルギーを減少させるように変形できないが、周囲の空間$I^n$への拡張（$n-m$ 次元の余剰次元を利用すること）により、部分多様体の制約を回避する「ショートカット」が可能となり、エネルギーを節約できる。

意義と主張
本論文は、「運動エネルギーを最小化しようとする推定される流体流」が、非滑らかな、あるいは測度論的な解（一般化された流れ）を必要とする可能性があることを示す具体的な例を提供している。

その意義は、エネルギー節約のメカニズムにある：

• 無限のエネルギーは、$M$ 内でのエネルギー削減を妨げる $M$ の位相的複雑さから生じる。
• 有限エネルギーの代替案が存在するのは、$I^n$ という周囲の空間が、部分多様体の制約から「脱出」することを許す余剰次元を提供し、部分多様体からの「リフト（持ち上げ）」を通じて効果的にエネルギーを節約できるためである。

著者は、この構成が、Shnirelmanによる2次元における到達不可能な微分同相写像の研究、およびFathiやEliashberg–Ratiuによる質量流ホモモルフィズムの手法に本質的に動機付けられていると述べている。また、前バージョンの著作における「剛的な等長拡張性質（rigid isotopy extension properties）」に関する誤った定理を修正し、薄い管状近傍を利用することで、常に極めて小さな追加エネルギーコストを持つ周囲の等長変形を構築できるため、そのような性質は成立しないことを明らかにしている。

結論
本論文は、$n \ge 3$ において、有限エネルギーの経路によって恒等写像に接続可能でありながら、無限の運動エネルギーを持つ滑らかな体積保存等長変形を構築できることを確立した。これは、$SDiff(M)$ におけるエネルギー地形の非凸性と、低次元の部分多様体内では不可能な、エネルギー効率の高い変形を促進する周囲の次元の役割を強調している。