The Drinfeld-Grinberg-Kazhdan theorem and embedding codimension of the arc space

技术摘要：Drinfeld–Grinberg–Kazhdan 定理与弧空间的嵌入余维数

问题陈述
代数簇 $X$ 的弧空间 $X_\infty$ 的几何结构编码了关于 $X$ 奇异性的重要信息。一个核心研究对象是极大分次集 $C_\nu(X)$，即诱导特定分次赋值 $\nu$ 的弧的闭包。虽然 Drinfeld–Grinberg–Kazhdan (DGK) 定理确立了对于不包含在奇异集中的 $k$-有理弧 $\alpha$，其形式邻域 $(X_\infty, \alpha)$ 与有限型方案 $Z$（一个“有限形式模型”）与形式仿射空间之积同构，但这一结果此前仅限于完美域上的 $k$-有理点。

一个主要的开放问题是这些有限形式模型与底层奇异性不变量之间的关系。具体而言，对于一般的弧（具有任意剩余域的弧），其形式模型如何与极大分次集的泛型弧 $\alpha_\nu$ 的形式模型相关联，目前尚不明确。此外，嵌入余维数 $ecodim(\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha})$ 在弧空间不可约子集上的行为也需要澄清，特别是关于其常数性以及与 $X$ 光滑性的关系。

方法论
本文采用了一种将 DGK 定理推广到具有任意剩余域的弧的策略，从而避免了通常会阻碍推广的系数域显式构造问题。

1. DGK 定理的推广： 作者将 Drinfeld [14] 的证明扩展到具有任意剩余域的弧 $\beta \in X_\infty \setminus (\text{Sing } X)_\infty$。证明遵循 Drinfeld 的变形理论方法：

   • 归约为完全相交情形： 通过涉及 Jacobian 小元的开邻域论证，将问题归约为 $X$ 为完全相交的情形。
   • 形式模型方案： 构造了一个用于参数化“有限形式模型”的有限型方案 $Z$。这涉及定义一个多项式方案 $W$，并施加源自 Weierstrass 预备定理和除法定理的条件。
   • 变形双射： 在弧空间在 $\alpha$ 处的变形函子与方案 $Z \times \mathbb{A}^\infty$ 在映射点 $\mu(\alpha)$ 处的变形函子之间建立了一个自然的双射。
   • 剩余域扩张： 为了处理非 $k$-有理弧，作者利用了 [12] 中关于线性投影诱导的剩余域有限可分扩张的结果。这使得可以在不显式构造系数域的情况下，实现形式邻域在有限可分系数域扩张意义下的同构。

2. 嵌入余维数分析： 本文定义了非 Noetherian 环（特别是在 pro-object 范畴中的拟阿迪克环）的嵌入余维数，并研究了其行为。

   • 上半连续性： 文中表明，对于有限型方案，嵌入余维数通常不是上半连续的，但在任何不包含在奇异集中的不可约闭子集上，它在非空开集上是常数。
   • 对极大分次集的应用： 将推广的 DGK 定理应用于极大分次集 $C_\nu(X)$，以将一般弧在 $C_\nu(X)$ 中的嵌入余维数与极大分次弧 $\alpha_\nu$ 的嵌入余维数联系起来。

3. 光滑性特征化： 本文扩展了 Bourqui 和 Sebag [6] 关于嵌入余维数为 0 的弧的特征化定理。通过结合嵌入余维数的常数性与有理点的存在性（由域的不可数性或弧的稳定性保证），作者将嵌入余维数的消失与基簇的光滑性联系起来。

主要贡献与结果

• 定理 A (推广的 DGK 定理)： 对于定义在完美域 $k$ 上的局部有限型方案 $X$ 以及弧 $\beta \notin (\text{Sing } X)_\infty$，存在包含 $\beta$ 的局部闭子方案 $V$、一个有限型方案 $Z$ 以及一个态射 $\mu: V \to Z \times \mathbb{A}^N$，使得对于每个 $\alpha \in V$，形式邻域 $(X_\infty, \alpha)$ 在有限可分系数域扩张意义下同构于 $(Z \times \mathbb{A}^N, \mu(\alpha))$。这完全恢复了原有的针对 $k$-有理点的 DGK 定理。
• 定理 B (嵌入余维数的常数性)： 对于任何不包含在 $(\text{Sing } X)_\infty$ 中的不可约闭子集 $W \subset X_\infty$，函数 $\alpha \mapsto ecodim(\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha})$ 是有限的，并且在 $W$ 的某个非空开集上为常数。因此，对于任何极大分次集 $C_\nu(X)$，一般 $k$-有理弧的有限形式模型的嵌入余维数等于极大分次弧 $\alpha_\nu$ 处的局部环的嵌入余维数。
• 定理 C (光滑性特征化)： 令 $k$ 为完美域，$X$ 为一个簇，$\alpha \in X_\infty$。假设 $k$ 是不可数的或 $\alpha$ 是稳定的，若 $X$ 在 $\alpha(0)$ 处是几何单分支的，则 $ecodim(\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha}) = 0$ 当且仅当 $X$ 在 $\alpha(0)$ 处是光滑的。这推广了 Bourqui 和 Sebag 在特定条件下对非 $k$-有理弧的研究结果。

意义与局限性
本文为研究具有任意剩余域的点处的弧空间的局部几何提供了一个严谨的框架，消除了此前工作中存在的对 $k$-有理点的限制。通过建立极大分次集上嵌入余维数的常数性，本文为理解有限形式模型与奇异性不变量（如 Mather 不变量）之间的精确关系迈出了重要一步。

然而，作者明确指出，一般弧的形式模型与泛型弧的形式模型之间的关系仍然是微妙的。虽然嵌入余维数是常数的，但最小形式模型的维数和嵌入维数在一般弧与泛型弧之间可能会有所不同（正如先前关于曲线的研究中所观察到的）。本文提出了问题 3.18：在 $C_\nu(X)$ 中，一般 $k$-有理弧的最小形式模型的嵌入维数是否等于泛型弧 $\alpha_\nu$ 的最小形式模型的嵌入维数？作者指出，尽管定理 A 提供了必要的工具，但一个精确的答案目前尚不明显。

此外，本文讨论了 Reguera 的问题 2.10，即关于稳定弧处局部环的正规性的问题。定理 3.23 在更强的假设——即 $X$ 是几何单分支的情况下——给出了肯定的回答。本文通过命题 3.24 证明，如果 $X$ 仅仅是单分支（而非几何单分支），则局部环 $\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha}$ 可能在嵌入余维数为 0 的情况下仍不是正则的（甚至不是约化的），这表明 Regera 原本的问题在存在多个几何分支的情况下仍然是一个开放问题。