The Drinfeld-Grinberg-Kazhdan theorem and embedding codimension of the arc space

Resumen Técnico: El Teorema de Drinfeld–Grinberg–Kazhdan y la Codimensión de Inmersión del Espacio de Arcos

Planteamiento del Problema
La geometría del espacio de arcos $X_\infty$ de una variedad algebraica $X$ codifica información significativa sobre las singularidades de $X$. Un objeto central de estudio es el conjunto divisorial máximo $C_\nu(X)$, la clausura de los arcos que inducen una valoración divisorial específica $\nu$. Si bien el teorema de Drinfeld–Grinberg–Kazhdan (DGK) establece que para un arco $k$-racional $\alpha$ no contenido en el lugar singular, el vecindad formal $(X_\infty, \alpha)$ es isomorfo al vecindad formal de un esquema de tipo finito $Z$ (un "modelo formal finito") más un espacio afín formal, este resultado estaba previamente limitado a puntos $k$-racionales sobre cuerpos perfectos.

Una pregunta abierta fundamental concierne a la relación entre estos modelos formales finitos y los invariantes de la singularidad subyacente. Específicamente, no está claro cómo los modelos formales de arcos generales (aquellos con cuerpos residuales arbitrarios) se relacionan con el modelo formal del arco genérico $\alpha_\nu$ de un conjunto divisorial máximo. Además, requiere aclaración el comportamiento de la codimensión de inmersión, $ecodim(\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha})$, a través de subconjuntos irreducibles del espacio de arcos, particularmente respecto a su constancia y su relación con la suavidad de $X$.

Metodología
El artículo emplea una estrategia para generalizar el teorema DGK a arcos con cuerpos residuales arbitrarios, evitando la construcción explícita de cuerpos de coeficientes que a menudo obstruye la generalización.

1. Generalización del Teorema DGK: El autor extiende la demostración de Drinfeld [14] a arcos $\beta \in X_\infty \setminus (\text{Sing } X)_\infty$ con cuerpos residuales arbitrarios. La demostración sigue el enfoque de la teoría de deformaciones de Drinfeld:

   • Reducción a Intersecciones Completas: El problema se reduce al caso donde $X$ es una intersección completa mediante un argumento de vecindad abierta que involucra al menor de la Jacobiana.
   • Esquema de Modelos Formales: Se construye un esquema $Z$ de tipo finito para parametrizar los "modelos formales finitos". Esto implica definir un esquema $W$ de polinomios e imponer condiciones derivadas de los teoremas de preparación y división de Weierstrass.
   • Biyectiva de Deformación: Se establece una biyección natural entre los funtores de deformaciones del espacio de arcos en $\alpha$ y el esquema $Z \times \mathbb{A}^\infty$ en el punto imagen $\mu(\alpha)$.
   • Extensiones del Cuerpo Residual: Para manejar arcos que no son $k$-racionales, el autor utiliza resultados de [12] relativos a extensiones separables finitas de cuerpos residuales inducidas por proyecciones lineales. Esto permite la construcción de un isomorfismo entre vecindades formales hasta una extensión separable finita de los cuerpos de coeficientes, sin construir explícitamente el cuerpo de coeficientes mismo.

2. Análisis de la Codimensión de Inmersión: El artículo define la codimensión de inmersión para anillos no noetherianos (específicamente anillos quasi-ádicos en la categoría de pro-objetos) e investiga su comportamiento.

   • Semicontinuidad Superior: Se demuestra que para esquemas de tipo finito, la codimensión de inmersión no es generalmente semicontinua superiormente, pero se vuelve constante en un subconjunto abierto no vacío de cualquier subconjunto cerrado irreducible que no esté contenido en el lugar singular.
   • Aplicación a Conjuntos Divisoriales Máximos: El teorema DGK generalizado se aplica a conjuntos divisoriales máximos $C_\nu(X)$ para relacionar la codimensión de inmersión de arcos generales en $C_\nu(X)$ con la del arco genérico $\alpha_\nu$.

3. Caracterización de la Suavidad: El artículo extiende un teorema de Bourqui y Sebag [6] que caracteriza los arcos con codimensión de inmersión 0. Al combinar la constancia de la codimensión de inmersión con la existencia de puntos racionales (garantizada por la incontabilidad del cuerpo o la estabilidad del arco), el autor relaciona la anulación de la codimensión de inmersión con la suavidad de la variedad base.

Contribuciones y Resultados Clave

• Teorema A (Teorema DGK Generalizado): Para un esquema $X$ localmente de tipo finito sobre un cuerpo perfecto $k$ y un arco $\beta \notin (\text{Sing } X)_\infty$, existe un subesquema localmente cerrado $V$ que contiene a $\beta$, un esquema de tipo finito $Z$, y un morfismo $\mu: V \to Z \times \mathbb{A}^N$ tal que para cada $\alpha \in V$, la vecindad formal $(X_\infty, \alpha)$ es isomorfa a $(Z \times \mathbb{A}^N, \mu(\alpha))$ hasta una extensión separable finita de los cuerpos de coeficientes. Esto recupera completamente el teorema DGK original para puntos $k$-racionales.
• Teorema B (Constancia de la Codimensión de Inmersión): Para cualquier subconjunto cerrado irreducible $W \subset X_\infty$ no contenido en $(\text{Sing } X)_\infty$, la función $\alpha \mapsto ecodim(\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha})$ es finita y constante en un subconjunto abierto no vacío de $W$. Consecuentemente, para cualquier conjunto divisorial máximo $C_\nu(X)$, la codimensión de inmersión de un modelo formal general para un arco $k$-racional general es igual a la del arco divisorial máximo $\alpha_\nu$.
• Teorema C (Caracterización de la Suavidad): Sea $k$ un cuerpo perfecto, $X$ una variedad, y $\alpha \in X_\infty$. Asumiendo que $k$ es incontable o que $\alpha$ es estable, si $X$ es geométricamente unibranch en $\alpha(0)$, entonces $ecodim(\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha}) = 0$ si y solo si $X$ es suave en $\alpha(0)$. Esto generaliza el resultado de Bourqui y Sebag a arcos no $k$-racionales bajo condiciones específicas.

Significancia y Limitaciones
El artículo proporciona un marco riguroso para estudiar la geometría local de los espacios de arcos en puntos con cuerpos residuales arbitrarios, eliminando la restricción a puntos $k$-racionales que caracterizaba el trabajo previo. Al establecer la constancia de la codimensión de inmersión en los conjuntos divisoriales máximos, ofrece un paso hacia la comprensión de la relación precisa entre los modelos formales finitos y los invariantes de la singularidad (como las discrepancias de Mather).

Sin embargo, el autor señala explícitamente que la relación entre los modelos formales de los arcos generales y el arco genérico sigue siendo sutil. Si bien la codimensión de inmersión es constante, la dimensión y la dimensión de inmersión de los modelos formales mínimos pueden diferir entre los arcos generales y el arco genérico (como se observa en el trabajo previo sobre curvas). El artículo plantea la Pregunta 3.18: si la dimensión de inmersión del modelo formal mínimo de un arco $k$-racional general en $C_\nu(X)$ es igual a la del modelo formal mínimo del arco genérico $\alpha_\nu$. El autor sugiere que, aunque el Teorema A proporciona las herramientas necesarias, una respuesta precisa aún no es obvia.

Además, el artículo aborda la Pregunta 2.10 de Reguera sobre la regularidad del anillo local en un arco estable. El Teorema 3.23 proporciona una respuesta positiva bajo la hipótesis más fuerte de que $X$ es geométricamente unibranch. El artículo demuestra mediante la Proposición 3.24 que si $X$ es meramente unibranch (pero no geométricamente unibranch), el anillo local $\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha}$ puede tener codimensión de inmersión 0 sin ser regular (o incluso sin ser reducido), lo que indica que la pregunta original de Reguera permanece abierta para el caso de múltiples ramas geométricas.