The Drinfeld-Grinberg-Kazhdan theorem and embedding codimension of the arc space

Technische Samenvatting: Het Drinfeld–Grinberg–Kazhdan-theorema en de Inbeddingscodimensie van de Boogruimte

Probleemstelling
De geometrie van de boogruimte $X_\infty$ van een algebraïsche variëteit $X$ bevat significante informatie over de singulariteiten van $X$. Een centraal studieobject is de maximale divisoriale verzameling $C_\nu(X)$, de sluiting van bogen die een specifieke divisoriale waardering $\nu$ induceren. Terwijl het Drinfeld–Grinberg–Kazhdan (DGK) theorema vaststelt dat voor een $k$-rationale boog $\alpha$ die niet in de singulariteitslocatie van $X$ ligt, de formele buurt $(X_\infty, \alpha)$ isomorf is aan de formele buurt van een schema van eindig type $Z$ (een "eindig formeel model") vermenigvuldigd met een formele affiene ruimte, was dit resultaat voorheen beperkt tot $k$-rationale punten over perfecte lichamen.

Een belangrijke openstaande vraag betreft de relatie tussen deze eindige formele modellen en de invarianten van de onderliggende singulariteit. Specifiek is het onduidelijk hoe de formele modellen van algemene bogen (die willekeurige residulichamen hebben) zich verhouden tot het formele model van de generieke boog $\alpha_\nu$ van een maximale divisoriale verzameling. Bovendien vereist het gedrag van de inbeddingscodimensie, $ecodim(\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha})$, over irreducibele deelverzamelingen van de boogruimte verheldering, met name met betrekking tot de constantie ervan en de relatie met de gladheid van $X$.

Methodologie
Het artikel hanteert een strategie om het DGK-theorema te generaliseren naar bogen met willekeurige residulichamen, waardoor de expliciete constructie van coëfficiëntlichamen wordt vermeden, wat vaak de generalisatie belemmert.

1. Generalisatie van het DGK-theorema: De auteur breidt het bewijs van Drinfeld [14] uit naar bogen $\beta \in X_\infty \setminus (\text{Sing } X)_\infty$ met willekeurige residulichamen. Het bewijs volgt de deformatie-theoretische benadering van Drinfeld:

   • Reductie tot Compleet Snijdingen: Het probleem wordt gereduceerd tot het geval waarbij $X$ een compleet snijding is via een argument met een open buurt betrokken bij de Jacobiaan-minor.
   • Schema van Formele Modellen: Er wordt een schema $Z$ van eindig type geconstrueerd dat de "eindige formele modellen" parametriseert. Dit omvat het definiëren van een schema $W$ van polynomen en het opleggen van voorwaarden afgeleid van de Weierstrass-voorbereidings- en delingsstellingen.
   • Deformatie-bijjectie: Er wordt een natuurlijke bijjectie vastgesteld tussen de functoren van deformaties van de boogruimte in $\alpha$ en het schema $Z \times \mathbb{A}^\infty$ in het beeldpunt $\mu(\alpha)$.
   • Residulichaam-extensies: Om niet-$k$-rationale bogen te behandelen, maakt de auteur gebruik van resultaten uit [12] betreffende eindige separabele extensies van residulichamen geïnduceerd door lineaire projecties. Dit maakt de constructie van een isomorfisme tussen formele buurten mogelijk tot een eindige separabele extensie van coëfficiëntlichamen, zonder het coëfficiëntlichaam zelf expliciet te construeren.

2. Analyse van de Inbeddingscodimensie: Het artikel definieert inbeddingscodimensie voor niet-Noetheriaanse ringen (specifiek quasi-adische ringen in de categorie van pro-objecten) en onderzoekt het gedrag ervan.

   • Bovengrens-semicontinuïteit: Er wordt aangetoond dat voor schema's van eindig type de inbeddingscodimensie over het algemeen niet bovengrens-semicontinu is, maar dat deze constant wordt op een niet-lege open deelverzameling van elke irreducibele gesloten deelverzameling die niet in de singulariteitslocatie ligt.
   • Toepassing op Maximale Divisoriale Verzamelingen: Het gegeneraliseerde DGK-theorema wordt toegepast op maximale divisoriale verzamelingen $C_\nu(X)$ om de inbeddingscodimensie van algemene bogen in $C_\nu(X)$ te relateren aan die van de generieke boog $\alpha_\nu$.

3. Karakterisering van Gladheid: Het artikel breidt een theorema van Bourqui en Sebag [6] uit dat bogen met inbeddingscodimensie 0 karakteriseert. Door de constantie van de inbeddingscodimensie te combineren met de aanwezigheid van rationele punten (gegarandeerd door de onaftelbaarheid van het lichaam of de stabiliteit van de boog), relateert de auteur het verdwijnen van de inbeddingscodimensie aan de gladheid van de onderliggende variëteit.

Kernbijdragen en Resultaten

• Theorem A (Gegeneraliseerd DGK-theorema): Voor een schema $X$ dat lokaal van eindig type is over een perfect lichaam $k$ en een boog $\beta \notin (\text{Sing } X)_\infty$, bestaat er een lokaal gesloten deelverzameling $V$ bevattende $\beta$, een schema van eindig type $Z$, en een morfisme $\mu: V \to Z \times \mathbb{A}^N$ zodanig dat voor elke $\alpha \in V$, de formele buurt $(X_\infty, \alpha)$ isomorf is aan $(Z \times \mathbb{A}^N, \mu(\alpha))$ tot een eindige separabele extensie van coëfficiëntlichamen. Dit herstelt volledig het oorspronkelijke DGK-theorema voor $k$-rationale punten.
• Theorem B (Constantie van Inbeddingscodimensie): Voor elke irreducibele gesloten deelverzameling $W \subset X_\infty$ die niet in $(\text{Sing } X)_\infty$ ligt, is de functie $\alpha \mapsto ecodim(\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha})$ eindig en constant op een niet-lege open deelverzameling van $W$. Bijgevolg is de inbeddingscodimensie van een eindig formeel model voor een algemene $k$-rationale boog gelijk aan die van de lokale ring bij de maximale divisoriale boog $\alpha_\nu$.
• Theorem C (Karakterisering van Gladheid): Laat $k$ een perfect lichaam zijn, $X$ een variëteit, en $\alpha \in X_\infty$. Uitgaande van het feit dat ofwel $k$ onaftelbaar is of $\alpha$ stabiel is, geldt dat als $X$ geometrisch unibranch is in $\alpha(0)$, dan $ecodim(\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha}) = 0$ dan en slechts dan als $X$ glad is in $\alpha(0)$. Dit generaliseert het resultaat van Bourqui en Sebag naar niet-$k$-rationale bogen onder specifieke condities.

Betekenis en Beperkingen
Het artikel biedt een rigoureus kader voor het bestuderen van de lokale geometrie van boogruimten in punten met willekeurige residulichamen, waarbij de restrictie tot $k$-rationale punten die het eerdere werk kenmerkte, wordt opgeheven. Door de constantie van de inbeddingscodimensie op maximale divisoriale verzamelingen vast te stellen, biedt het een stap naar het begrijpen van de precieze relatie tussen eindige formele modellen en singulariteitsinvarianten (zoals Mather-discrepanties).

De auteur merkt echter expliciet op dat de relatie tussen de formele modellen van algemene bogen en de generieke boog subtiel blijft. Hoewel de inbeddingscodimensie constant is, kunnen de dimensie en de inbeddingsdimensie van de minimale formele modellen verschillen tussen algemene bogen en de generieke boog (zoals waargenomen in eerder werk over krommen). Het artikel stelt Vraag 3.18: of de inbeddingsdimensie van het minimale formele model van een algemene $k$-rationale boog in $C_\nu(X)$ gelijk is aan die van het minimale formele model van de generieke boog $\alpha_\nu$. De auteur suggereert dat hoewel Theorem A de nodige instrumenten biedt, een precies antwoord nog niet vanzelfsprekend is.

Verder behandelt het artikel Reguera's Vraag 2.10 betreffende de regulariteit van de lokale ring bij een stabiele boog. Theorem 3.23 geeft een positief antwoord onder de sterkere aanname dat $X$ geometrisch unibranch is. Het artikel toont via Proposition 3.24 aan dat als $X$ slechts unibranch is (maar niet geometrisch unibranch), de lokale ring $\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha}$ een inbeddingscodimensie van 0 kan hebben zonder regulier (of zelfs gereduceerd) te zijn, wat aangeeft dat Reguera's oorspronkelijke vraag open blijft voor het geval van meerdere geometrische takken.