The Drinfeld-Grinberg-Kazhdan theorem and embedding codimension of the arc space

Resumo Técnico: O Teorema de Drinfeld–Grinberg–Kazhdan e a Codimensão de Imbedimento do Espaço de Arcos

Enunciado do Problema
A geometria do espaço de arcos $X_\infty$ de uma variedade algébrica $X$ codifica informações significativas sobre as singularidades de $X$. Um objeto central de estudo é o conjunto divisorial maximal $C_\nu(X)$, o fechamento dos arcos que induzem uma valoração divisorial específica $\nu$. Embora o teorema de Drinfeld–Grinberg–Kazhdan (DGK) estabeleça que, para um arco $k$-racional $\alpha$ não contido no lugar singular, a vizinhança formal $(X_\infty, \alpha)$ é isomórfica à vizinhança formal de um esquema de tipo finito $Z$ (um "modelo formal finito") vezes um espaço afim formal, este resultado estava anteriormente limitado a pontos $k$-racionais sobre corpos perfeitos.

Uma grande questão em aberto concerne a relação entre esses modelos formais finitos e os invariantes da singularidade subjacente. Especificamente, não está claro como os modelos formais de arcos gerais (aqueles com corpos resíduos arbitrários) se relacionam com o modelo formal do arco genérico $\alpha_\nu$ de um conjunto divisorial maximal. Além disso, o comportamento da codimensão de imbedimento, $ecodim(\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha})$, através de subconjuntos irredutíveis do espaço de arcos, requer esclarecimento, particularmente quanto à sua constância e à sua relação com a suavidade de $X$.

Metodologia
O artigo emprega uma estratégia de generalização do teorema DGK para arcos com corpos resíduos arbitrários, evitando a construção explícita de corpos de coeficientes que frequentemente obstrui a generalização.

1. Generalização do Teorema DGK: O autor estende a prova de Drinfeld [14] para arcos $\beta \in X_\infty \setminus (\text{Sing } X)_\infty$ com corpos resíduos arbitrários. A prova segue a abordagem de teoria de deformação de Drinfeld:

   • Redução a Interseções Completas: O problema é reduzido ao caso onde $X$ é uma interseção completa via um argumento de vizinhança aberta envolvendo o menor de Jacobian.
   • Esquema de Modelos Formais: Um esquema $Z$ de tipo finito é construído para parametrizar os "modelos formais finitos". Isso envolve a definição de um esquema $W$ de polinômios e a imposição de condições derivadas dos teoremas de preparação e divisão de Weierstrass.
   • Bijeção de Deformação: Uma bijeção natural é estabelecida entre os funtores de deformações do espaço de arcos em $\alpha$ e o esquema $Z \times \mathbb{A}^\infty$ no ponto imagem $\mu(\alpha)$.
   • Extensões de Corpos Resíduos: Para lidar com arcos não $k$-racionais, o autor utiliza resultados de [12] referentes a extensões separáveis finitas de corpos resíduos induzidas por projeções lineares. Isso permite a construção de um isomorfismo entre vizinhanças formais até uma extensão separável finita de corpos de coeficientes, sem construir explicitamente o corpo de coeficientes em si.

2. Análise da Codimensão de Imbedimento: O artigo define a codimensão de imbedimento para anéis não-Noetherianos (especificamente anéis quasi-ádicos na categoria de pro-objetos) e investiga seu comportamento.

   • Semicontinuidade Superior: Mostra-se que, para esquemas de tipo finito, a codimensão de imbedimento não é geralmente semicontínua superiormente, mas torna-se constante em um subconjunto aberto não vazio de qualquer subconjunto fechado irredutível não contido no lugar singular.
   • Aplicação a Conjuntos Divisoriais Maximais: O teorema DGK generalizado é aplicado aos conjuntos divisoriais maximais $C_\nu(X)$ para relacionar a codimensão de imbedimento de arcos gerais em $C_\nu(X)$ com a do arco genérico $\alpha_\nu$.

3. Caracterização da Suavidade: O artigo estende um teorema de Bourqui e Sebag [6] que caracteriza arcos com codimensão de imbedimento 0. Ao combinar a constância da codimensão de imbedimento com a existência de pontos racionais (garantida pela incontabilidade do corpo ou pela estabilidade do arco), o autor relaciona o desaparecimento da codimensão de imbedimento com a suavidade da variedade base.

Contribuições Principais e Resultados

• Teorema A (Teorema DGK Generalizado): Para um esquema $X$ localmente de tipo finito sobre um corpo perfeito $k$ e um arco $\beta \notin (\text{Sing } X)_\infty$, existe um subesquema localmente fechado $V$ contendo $\beta$, um esquema de tipo finito $Z$, e um morfismo $\mu: V \to Z \times \mathbb{A}^N$ tal que, para todo $\alpha \in V$, a vizinhança formal $(X_\infty, \alpha)$ é isomórfica a $(Z \times \mathbb{A}^N, \mu(\alpha))$ até uma extensão separável finita de corpos de coeficientes. Isso recupera totalmente o teorema DGK original para pontos $k$-racionais.
• Teorema B (Constância da Codimensão de Imbedimento): Para qualquer subconjunto fechado irredutível $W \subset X_\infty$ não contido em $(\text{Sing } X)_\infty$, a função $\alpha \mapsto ecodim(\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha})$ é finita e constante em um subconjunto aberto não vazio de $W$. Consequentemente, para qualquer conjunto divisorial maximal $C_\nu(X)$, a codimensão de imbedimento de um modelo formal finito para um arco $k$-racional geral é igual à do arco divisorial maximal $\alpha_\nu$.
• Teorema C (Caracterização da Suavidade): Seja $k$ um corpo perfeito, $X$ uma variedade, e $\alpha \in X_\infty$. Assumindo que $k$ é incontável ou que $\alpha$ é estável, se $X$ é geometricamente unibranch em $\alpha(0)$, então $ecodim(\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha}) = 0$ se, e somente se, $X$ é suave em $\alpha(0)$. Isso generaliza o resultado de Bourqui e Sebag para arcos não $k$-racionais sob condições específicas.

Significância e Limitações
O artigo fornece um arcabouço rigoroso para o estudo da geometria local dos espaços de arcos em pontos com corpos resíduos arbitrários, removendo a restrição a pontos $k$-racionais que caracterizava trabalhos anteriores. Ao estabelecer a constância da codimensão de imbedimento em conjuntos divisoriais maximais, oferece um passo para compreender a relação precisa entre modelos formais finitos e invariantes de singularidade (como as discrepâncias de Mather).

Contudo, o autor nota explicitamente que a relação entre os modelos formais de arcos gerais e o arco genérico permanece sutil. Embora a codimensão de imbedimento seja constante, a dimensão e a dimensão de imbedimento dos modelos formais mínimos podem diferir entre arcos gerais e o arco genérico (como observado em trabalhos anteriores sobre curvas). O artigo levanta a Questão 3.18: se a dimensão de imbedimento do modelo formal mínimo de um arco $k$-racional geral em $C_\nu(X)$ é igual à do modelo formal mínimo do arco genérico $\alpha_\nu$. O autor sugere que, embora o Teorema A forneça as ferramentas necessárias, uma resposta precisa ainda não é óbvia.

Além disso, o artigo aborda a Questão 2.10 de Reguera referente à regularidade do anel local em um arco estável. O Teorema 3.23 fornece uma resposta positiva sob a hipótese mais forte de que $X$ é geometricamente unibranch. O artigo demonstra via Proposição 3.24 que, se $X$ é apenas unibranch (mas não geometricamente unibranch), o anel local $\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha}$ pode ter codimensão de imbedimento 0 sem ser regular (ou mesmo reduzido), indicando que a questão original de Reguera permanece em aberto para o caso de múltiplas ramificações geométricas.