The Drinfeld-Grinberg-Kazhdan theorem and embedding codimension of the arc space

技術的要約：ドリンフェルト–グリンバーグ–カズダンの定理と弧空間の埋め込み余次元

問題提起
代数多様体 $X$ の弧空間 $X_\infty$ の幾何学は、$X$ の特異性に関する重要な情報を编码している。中心的な研究対象は、特定の離散的値 $\nu$ を誘導する弧の閉包である極大離散的集合 $C_\nu(X)$ である。ドリンフェルト–グリンバーグ–カズダン（DGK）の定理は、$k$-有理な弧 $\alpha$ が特異点集合に含まれない場合、形式近傍 $(X_\infty, \alpha)$ が有限型のスキーム $Z$（「有限形式モデル」）と形式アフィン空間の積と同型であることを確立しているが、この結果は以前、完全体上の $k$-有理点に限定されていた。

一般的な弧（任意の剰余体を持つ弧）の形式モデルと、極大離散的集合の生成的弧 $\alpha_\nu$ の形式モデルとの関係は、未解決の重要な問題である。具体的には、極大離散的集合 $C_\nu(X)$ の既約部分集合における埋め込み余次元 $ecodim(\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha})$ の挙動、特にその定数性と $X$ の滑らかさとの関連性が不明確である。

手法
本論文は、係数体の構成を明示的に行うことを避けることで一般化を阻害する要因となる、任意の剰余体を持つ弧へのDGK定理の一般化という戦略を採用している。

1. DGK定理の一般化： 著者は、Drinfeld [14] の証明を、任意の剰余体を持つ弧 $\beta \in X_\infty \setminus (\text{Sing } X)_\infty$ へと拡張する。証明は、Drinfeld の変形理論的アプローチに従う：

   • 完全交差への還元： ヤコビアンの小因子を用いた開近傍の議論を通じて、問題を $X$ が完全交差である場合に還元する。
   • 形式モデルのスキーム： 多項式のワイエルシュトラスの準備定理および除法の定理から導かれる条件を課すことで、「有限形式モデル」をパラメータ化する有限型のスキーム $Z$ を構成する。
   • 変形の全単射： 弧空間における $\alpha$ での変形の関手と、像の点 $\mu(\alpha)$ におけるスキーム $Z \times \mathbb{A}^\infty$ との間の自然な全単射を確立する。
   • 剰余体の拡大： 非 $k$-有理な弧を扱うために、線形射影によって誘導される剰余体の有限分離拡大に関する [12] の結果を利用する。これにより、係数体の係数体を明示的に構成することなく、係数体の有限分離拡大の範囲内で形式近傍の間の同型を構成することが可能となる。

2. 埋め込み余次元の解析： 本論文では、非Noether的環（具体的にはプロ対象の圏における準adic環）に対する埋め込み余次元を定義し、その挙動を調査する。

   • 上半連続性： 有限型のスキームにおいて、埋め込み余次元は一般には上半連続ではないが、特異点集合に含まれない任意の既約閉部分集合上で非空な開集合において定数となることを示す。
   • 極大離散的集合への適用： 一般化されたDGK定理を極大離散的集合 $C_\nu(X)$ に適用し、一般の弧における埋め込み余次元と、極大離散的弧の埋め込み余次元との関係を明らかにする。

3. 滑らかさの決定： 埋め込み余次元が 0 である弧を特徴付ける Bourqui と Sebag [6] の定理を拡張する。埋め込み余次元の定数性と、有理点の存在（体の非可算性または弧の安定性によって保証される）を組み合わせることで、埋め込み余次元の消滅と基本多様体の滑らかさを関連付ける。

主要な貢献と結果

• 定理 A (一般化されたDGK定理)： 完全体 $k$ 上の局所的に有限型のスキーム $X$ と、$\beta \notin (\text{Sing } X)_\infty$ である弧に対し、$\beta$ を含む局所閉部分スキーム $V$、有限型のスキーム $Z$、および $\mu: V \to Z \times \mathbb{A}^N$ という射が存在し、すべての $\alpha \in V$ に対して、形式近傍 $(X_\infty, \alpha)$ は係数体の有限分離拡大の範囲内で $(Z \times \mathbb{A}^N, \mu(\alpha))$ と同型である。これは、$k$-有理点に関する元のDGK定理を完全に回収する。
• 定理 B (埋め込み余次元の定数性)： $(\text{Sing } X)_\infty$ に含まれない任意の既約閉部分集合 $W \subset X_\infty$ に対して、関数 $\alpha \mapsto ecodim(\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha})$ は有限であり、$W$ の非空な開集合上で定数である。したがって、任意の極大離散的集合 $C_\nu(X)$ について、一般的な $k$-有理な弧の有限形式モデルの埋め込み余次元は、極大離散的弧 $\alpha_\nu$ の局所環の埋め込み余次元に等しい。
• 定理 C (滑らかさの決定)： $k$ を完全体、$X$ を多様体、$\alpha \in X_\infty$ とする。$k$ が非可算であるか、あるいは $\alpha$ が安定であると仮定する。$X$ が $\alpha(0)$ において幾何学的に一分岐（geometrically unibranch）であるならば、$ecodim(\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha}) = 0$ であることと $X$ が $\alpha(0)$ で滑らかであることは同値である。これは、特定の条件下で非 $k$-有理な弧に対する Bourqui と Sebag の結果を一般化したものである。

意義と限界
本論文は、任意の剰余体を持つ点の弧における弧空間の局所幾何学を研究するための厳密な枠組みを提供し、従来の議論を特徴づけていた $k$-有理点への制限を取り除いている。埋め込み余次元が極大離散的集合上で定数であることを確立することで、有限形式モデルと特異性の不変量（Matherの不変量など）との正確な関係を理解するための一歩を踏み出している。

しかし、著者は、一般的な弧と生成的弧の間の形式モデルの関係は依然として微妙であることを明記している。埋め込み余次元は定数であるが、最小の形式モデルの次元および埋め込み次元は、一般的な弧と生成的弧の間で異なる可能性がある（曲線に関する先行研究で見られるように）。本論文は、問い 3.18 を提起している。すなわち、「$C_\nu(X)$ 内の一般的な $k$-有理な弧の最小形式モデルの埋め込み次元は、生成的弧 $\alpha_\nu$ の最小形式モデルの埋め込み次元と一致するか？」という問いである。著者は、定理 A が必要な道具を提供しているものの、正確な回答はまだ明白ではないと示唆している。

さらに、本論文は、安定な弧における局所環の正則性に関する Reguera の問い 2.10 に取り組んでいる。定理 3.23 は、$X$ が 幾何学的 に一分岐であるというより強い仮定の下で、これに肯定的な回答を与える。一方で、命題 3.24 を通じて、もし $X$ が（幾何学的には一分岐ではなく）単に一分岐であるならば、局所環 $\mathcal{O}_{X_\infty, \alpha}$ は正則でない（あるいは還元すらされていない）にもかかわらず、埋め込み余次元が 0 になる可能性があることを示しており、Regera の元の問いが複数の幾何学的枝を持つ場合には未解決のままであることを示している。