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A supercongruence fantasy on Fibonacci and Lucas (after Guillera)

受 Guillera 观察结果的启发，本文将拉马努金型超收敛关系推广到了一个更深的层面，在此层面中，斐波那契数、卢卡斯数和阿佩里数自然地显现出来。

原作者： Wadim Zudilin

发布于 2026-02-09

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原作者： Wadim Zudilin

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下，你正在观察一组用于计算 $\pi$ 值（ $\pi$ ）的神奇食谱。一个多世纪以来，我们已经掌握了一些这样的食谱，它们是由传奇印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）记录下来的。这些食谱就像是无穷级数：你将一串无穷无尽的数字相加，如果操作得当，总和会越来越接近一个包含 $\pi$ 的特定值。

最近，一位名叫赫苏斯·吉列拉（Jesús Guillera）的数学家注意到了一些令人着迷的现象。他将拉马努金的一个“无理”食谱（涉及平方根的食谱）与其“共轭”版本结合在了一起。当他将两者混合时，那些混乱的平方根抵消了，留下两个全新的、“有理”的食谱。但转折在于，这些新食谱不仅使用了简单的数字，还使用了斐波那契数（Fibonacci numbers）和卢卡斯数（Lucas numbers）（那个著名的序列，其中每个数字都是前两个数字之和：1, 1, 2, 3, 5, 8...）。

“超同余”的幻想

本文作者瓦迪姆·祖齐林（Wadim Zudilin）实际上是在说：“让我们看看能否在这些新的食谱中找到一种隐藏的模式。”

在数字的世界里，有一个概念叫做同余（congruence）。把它想象成一个时钟。如果你看 13:00，在 12 小时制的时钟上它等同于 1:00。在数学中，我们说 $13 \equiv 1 \pmod{12}$ 。

**超同余（supercongruence）**则是一个超级精确的时钟。它是一条规则，说明两个巨大的、复杂的数字之和在某种特定的时钟下是相等的（这个时钟具有非常高的刻度，具体来说是质数的幂）。

祖齐林提出了一种“幻想”（一种强有力的数学猜想），即这些基于斐波那契数的全新食谱遵循一种非常特定且严密的模式。

核心思想：“回声”效应

论文指出，如果你取这些无穷级数的局部和（即在达到无穷大之前，在第 $N$ 项处停止计算），结果在改变停止点时会表现出一种可预测的行为。

想象一下，你正在堆叠积木来建造一座塔：

常规规则： 如果你建造一座高度为 $p$ （ $p$ 是一个质数）的塔，顶部的积木具有某种属性。
超同余规则： 祖齐林猜想，如果你建造一座高度为 $p^2$ 、 $p^3$ 甚至 $p^s$ 的塔，顶部的积木并不只是随机的。它会“回声”般地反映出较小规模塔（ $p^{s-1}$ ）的结构，并乘以一个与该质数相关的特定因子。

论文声称这种“回声”模式对于以下情况都成立：

混合了标准二项式系数（组合数）的斐波那契数和卢卡斯数。
混合了类似结构的阿佩里数（Apéry numbers）（另一种用于证明某些数是无理数的著名序列）。

“有理化”技巧

论文描述了一个叫做“有理化”的过程。

第一步： 从一个包含平方根（如 $\sqrt{5}$ ）的复杂公式开始。
第二步： 创建一个“孪生”公式，其中平方根的符号被反转。
第三步： 将这两个孪生公式相加或相减。平方根消失了，留下一个仅包含整数和斐波那契/卢卡斯序列的简洁公式。

祖齐林将这一技巧应用于几个已知的公式，创建了关于 $1/\pi$ 和 $1/\pi^2$ 的新级数。随后，他检查了这些级数的“截断”版本（即部分和），以观察它们是否遵循超同余规则。

这篇论文实际在主张什么

观察： 作者通过计算机计算发现，这些新的基于斐波那契数的求和式似乎确实遵循超同余规则。例如，在某个点处的和，在模去一个高次幂的质数时，同属于一个较小点处的和的倍数。
“幻想”： 标题之所以称为“幻想”，是因为虽然计算机数据非常有力，但对于这些特定的斐波那契/卢卡斯情形，尚未像对更简单情形那样建立起完整的数学证明。作者是在提出，这些模式是真实且普遍存在的。
区别： 论文指出这些新公式与旧公式之间的一个关键区别。旧公式通常依赖于数字的简单幂次（如 $z^n$ ），它们遵循简单的单步规则。而这些新的基于斐波那契数的公式依赖于遵循更复杂、多步规则的序列。这表明存在着更深层、更复杂的算术结构。

总结

这篇论文是一个数学上的“如果……会怎样”的故事。它采用了已知的计算 $\pi$ 的食谱，融入了著名的斐波那契和卢卡斯数序列，并提出这些新的组合在通过质数的视角观察时，会遵循一种隐藏的高精度对称性（超同余）。作者通过数值验证了这一模式，并呼吁建立一个统一的理论，来解释为什么这些斐波那契数在如此深层的数学结构中表现得如此优雅。

注：本文纯属理论数学。它不讨论医学应用、工程用途或未来技术。它纯粹是关于数字的美感与模式。

技术摘要：“关于斐波那契与卢卡斯数的超收敛幻想”

问题陈述
本文探讨了拉马努金型超收敛（Ramanujan-type supercongruences）的扩展。这类超收敛传统上将截断的双曲几何级数与 $\pi$ 及其幂次对素数幂次的模运算联系起来。虽然 Guillera 等人的前人工作通过将无理公式与其代数共轭结合，建立了“有理型”拉马努金类级数，但这些有理级数通常涉及标准的二项式系数。本文探讨的核心问题是：这种“有理化”过程是否可以扩展到那些其系数涉及斐波那契数 ( $F_n$ ) 和卢卡斯数 ( $L_n$ ) 以及 阿佩里数 (Apéry numbers) 的级数中。作者研究了这些满足高阶线性递推关系的序列，是否能产生新的、在模 $p^k$ 下表现出类似超收敛性质的 $1/\pi$ 和 $1/\pi^2$ 系列。

方法论
其方法论主要是观察性和数值性的，受 Guillera 先前发现的“精神”驱动。该方法包括：

无理级数有理化： 从已知的无理拉马努金型级数（例如涉及 $\sqrt{5}$ 或 $\sqrt{6}$ 的级数）出发，作者将其与它们的代数共轭结合。这一过程消除了无理项，从而产生具有有理系数的级数。
引入斐波那契/卢卡斯项： 在得到的有理级数中，将系数表示为 $F_n$ 和 $L_n$ （或由 $\sqrt{6}$ 导出的广义序列 $U_n, V_n$ ）的形式。
超收敛的数值验证： 作者定义了与这些新级数相对应的截断和 $S_1(N)$ 至 $S_6(N)$ 。通过计算证据，本文测试了这些和是否满足如下形式的超收敛：
$S(p^s) \equiv \chi(p) p^k S(p^{s-1}) \pmod{p^{m s}}$
其中 $\chi(p)$ 是勒让德符号， $p$ 是素数， $s \geq 1$ 。
生成函数分析： 为了便于数值检查，本文推导了级数中所涉及的“稀疏化”序列（例如 $F_{8n}, L_{8n}, F_{15n}$ ）的生成函数，证明它们满足阶数大于 1 的常有理系数线性递推关系。

主要贡献与结果
本文提出了若干关于涉及斐波那契数和卢卡斯数超收敛的新猜想：

第一层级（模 $p^3$ 与 $p^5$ ）：
- 通过结合涉及 $\sqrt{5}$ 的 Guillera 的 $1/\pi$ 级数，作者推导出了两个包含 $F_{8n}$ 和 $L_{8n}$ 的新级数（方程 3 和 4）。
- 猜想： 截断和 $S_1(N)$ 和 $S_2(N)$ 满足模 $p^3$ （以及对于更高次幂为 $p^{3s}$ ）的超收敛。具体为：
  $S_1(p^s) \equiv \left(\frac{-5}{p}\right) p S_1(p^{s-1}) \pmod{p^{3s}}$
  $S_2(p^s) \equiv \left(\frac{-1}{p}\right) p S_2(p^{s-1}) \pmod{p^{3s}}$
- 对于较短的截断（在 $(p^s+1)/2$ 处）也提出了类似的收敛关系。
第二层级（模 $p^5$ ）：
- 应用相同的逻辑于涉及 $\sqrt{5}$ 及更高次二项式系数的 $1/\pi^2$ 级数，作者构建了涉及 $F_{15n}$ 和 $L_{15n}$ 的级数 $S_3(N)$ 和 $S_4(N)$ 。
- 猜想： 这些和满足更强的模 $p^5$ 超收敛：
  $S_3(p^s) \equiv \left(\frac{5}{p}\right) p^2 S_3(p^{s-1}) \pmod{p^{5s}}$
  $S_4(p^s) \equiv p^2 S_4(p^{s-1}) \pmod{p^{5s}}$
阿佩里型推广：
- 作者将框架扩展到了包括阿佩里数 ( $A_n$ ) 以及与 $\sqrt{6}$ 相关的序列 $U_n, V_n$ 。
- 猜想： 和 $S_5(N)$ 与 $S_6(N)$ 分别满足模 $p^3$ 的超收敛，其特定的勒让德符号分别为 $\left(\frac{-3}{p}\right)$ 和 $\left(\frac{-2}{p}\right)$ 。文中注意到一个特例（ $S_6(31)$ ）。

意义与主张
本文谦逊地将其定位为一种“幻想”或数值观察的集合，而非对这些收敛性的证明。其意义在于：

泛化性： 它提出将拉马努金型级数“有理化”以包含斐波那契数和卢卡斯数的现象是一种可泛化的算术模式，而非孤立的奇闻异事。
结构差异： 作者强调了经典拉马努金公式（其系数通常来自满足 1 阶递推关系的序列，如纯幂次）与这些新型“类斐波那契”版本之间的主要区别。后者涉及满足高阶线性递推关系的序列，这暗示了一种更深层、但尚未解释的算术结构。
对理论的呼吁： 本文最后指出，尽管关于“纯双曲几何与有理型”超收敛已有大量研究，但目前尚缺乏一个统一的概念框架来解释这些基于斐波那契和阿佩里的实例。其主要贡献在于识别了这些模式，并邀请数学界开发一个理论框架来解释它们。

这项工作高度依赖于对这些收敛性的“数值观察”，将严格的证明留作未来研究的开放课题。

技术摘要：“关于斐波那契与卢卡斯数的超收敛幻想”

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