A supercongruence fantasy on Fibonacci and Lucas (after Guillera)

Resumen Técnico: "Una fantasía de supercongruencias sobre Fibonacci y Lucas"

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la extensión de las supercongruencias de tipo Ramanujan, que tradicionalmente relacionan series hipergeométricas truncadas con valores de $\pi$ y sus potencias módulo potencias de primos. Mientras que el trabajo previo de Guillera y otros estableció series de tipo Ramanujan "racionales" combinando fórmulas irracionales con sus conjugados algebraicos, estas series racionales típicamente involucran coeficientes binomiales estándar. El problema central explorado aquí es si dicha "racionalización" puede extenderse a series donde los coeficientes involucran números de Fibonacci ($F_n$) y Lucas ($L_n$), así como números de Apéry. El autor investiga si estas secuencias, que satisfacen recurrencias lineales de orden superior, pueden generar nuevas familias de series para $1/\pi$ y $1/\pi^2$ que exhiban propiedades de supercongruencia análogas módulo $p^k$.

Metodología
La metodología es primordialmente observacional y numérica, impulsada por el "espíritu" de los descubrimientos previos de Guillera. El enfoque involucra:

1. Racionalización de Series Irracionales: Partiendo de series de tipo Ramanujan conocidas (por ejemplo, aquellas que involucran $\sqrt{5}$ o $\sqrt{6}$), el autor las combina con sus conjugados algebraicos. Este proceso elimina los términos irracionales para producir series con coeficientes racionales.
2. Introducción de Términos de Fibonacci/Lucas: En las series racionales resultantes, los coeficientes se expresan en términos de $F_n$ y $L_n$ (o secuencias generalizadas $U_n, V_n$ derivadas de $\sqrt{6}$).
3. Verificación Numérica de Supercongruencias: El autor define sumas truncadas ($S_1(N)$ a través de $S_6(N)$) correspondientes a estas nuevas series. Utilizando evidencia computacional, el artículo pone a prueba si estas sumas satisfacen supercongruencias de la forma:
   $$S(p^s) \equiv \chi(p) p^k S(p^{s-1}) \pmod{p^{m s}}$$
   donde $\chi(p)$ es un símbolo de Legendre, $p$ es un primo, y $s \geq 1$.
4. Análisis de la Función Generadora: Para facilitar las comprobaciones numéricas, el artículo deriva funciones generadoras para las secuencias "rarefactas" (por ejemplo, $F_{8n}, L_{8n}, F_{15n}$) involucradas en las sumas, demostrando que satisfacen recurrencias lineales con coeficientes racionales constantes de orden mayor a 1.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo presenta varias nuevas conjeturas sobre supercongruencias que involucran números de Fibonacci y Lucas:

• Nivel 1 (Módulo $p^3$ y $p^5$):

  • Al combinar las series de Guillera para $1/\pi$ (que involucran $\sqrt{5}$), el autor deriva dos nuevas series (Ecuaciones 3 y 4) que contienen $F_{8n}$ y $L_{8n}$.
  • Conjetura: Las sumas truncadas $S_1(N)$ y $S_2(N)$ satisfacen supercongruencias módulo $p^3$ (y $p^{3s}$ para potencias superiores). Específicamente:
    $$S_1(p^s) \equiv \left(\frac{-5}{p}\right) p S_1(p^{s-1}) \pmod{p^{3s}}$$
    $$S_2(p^s) \equiv \left(\frac{-1}{p}\right) p S_2(p^{s-1}) \pmod{p^{3s}}$$
  • Se proponen congruencias similares para truncamientos más cortos (en $(p^s+1)/2$).

• Nivel 2 (Módulo $p^5$):

  • Aplicando la misma lógica a una serie para $1/\pi^2$ (que involucra $\sqrt{5}$ y potencias superiores de coeficientes binomiales), el autor construye las series $S_3(N)$ y $S_4(N)$ que involucran $F_{15n}$ y $L_{15n}$.
  • Conjetura: Estas sumas satisfacen supercongruencias más fuertes módulo $p^5$:
    $$S_3(p^s) \equiv \left(\frac{5}{p}\right) p^2 S_3(p^{s-1}) \pmod{p^{5s}}$$
    $$S_4(p^s) \equiv p^2 S_4(p^{s-1}) \pmod{p^{5s}}$$

• Generalización de Tipo Apéry:

  • El autor extiende el marco para incluir números de Apéry ($A_n$) y secuencias $U_n, V_n$ relacionadas con $\sqrt{6}$.
  • Conjetura: Las sumas $S_5(N)$ y $S_6(N)$ satisfacen supercongruencias módulo $p^3$, con símbolos de Legendre específicos $\left(\frac{-3}{p}\right)$ y $\left(\frac{-2}{p}\right)$, respectivamente. Se nota una única excepción ($S_6(31)$).

Significancia y Reivindicaciones
El artículo se enmarca modestamente como una "fantasía" o una colección de observaciones numéricas en lugar de una prueba de estas congruencias. Su significancia radica en:

1. Generalización: Propone que el fenómeno de "racionalizar" las series de tipo Ramanujan para incluir números de Fibonacci y Lucas es un patrón aritmético generalizable, no una curiosidad aislada.
2. Diferencia Estructural: El autor destaca una diferencia principal entre las fórmulas clásicas de Ramanujan (donde los coeficientes a menudo provienen de secuencias que satisfacen recurrencias de orden 1, como potencias puras) y estas nuevas versiones "tipo Fibonacci". Estas últimas involucran secuencias que satisfacen recurrencias lineales de orden superior, lo que sugiere una estructura aritmética más profunda, aunque aún no explicada.
3. Llamado a la Teoría: El artículo concluye señalando que, si bien existe un cuerpo sustancial de trabajo sobre supercongruencias "puramente hipergeométricas y racionales", actualmente no existe un marco conceptual unificador para estos casos basados en Fibonacci y Apéry. La contribución principal es la identificación de estos patrones y la invitación a la comunidad matemática para desarrollar un marco teórico que los explique.

El trabajo depende fuertemente de la "observación numérica" de estas congruencias, dejando la prueba rigurosa como un problema abierto para investigaciones futuras.