A supercongruence fantasy on Fibonacci and Lucas (after Guillera)

Resumo Técnico: "Uma Fantasia de Supercongruência sobre Fibonacci e Lucas"

Enunciado do Problema
O artigo aborda a extensão das supercongruências do tipo Ramanujan, que tradicionalmente relacionam séries hipergeométricas truncadas a valores de $\pi$ e suas potências módulo potências de primos. Embora trabalhos anteriores de Guillera e outros tenham estabelecido séries do tipo Ramanujan "racionais" ao combinar fórmulas irracionais com seus conjugados algébricos, essas séries racionais tipicamente envolvem coeficientes binomiais padrão. O problema central explorado aqui é se tal "racionalização" pode ser estendida para séries onde os coeficientes envolvem números de Fibonacci ($F_n$) e Lucas ($L_n$), bem como números de Apéry. O autor investiga se essas sequências, que satisfazem recorrências lineares de ordem superior, podem gerar novas famílias de séries para $1/\pi$ e $1/\pi^2$ que exibam propriedades de supercongruência análogas modulo $p^k$.

Metodologia
A metodologia é primordialmente observacional e numérica, impulsionada pelo "espírito" de descobertas anteriores de Guillera. A abordagem envolve:

1. Racionalização de Séries Irracionais: Partindo de conhecidas séries do tipo Ramanujan irracionais (por exemplo, aquelas envolvendo $\sqrt{5}$ ou $\sqrt{6}$), o autor combina estas com seus conjugados algébricos. Esse processo elimina termos irracionais para produzir séries com coeficientes racionais.
2. Introdução de Termos de Fibonacci/Lucas: Nas séries racionais resultantes, os coeficientes são expressos em termos de $F_n$ e $L_n$ (ou sequências generalizadas $U_n, V_n$ derivadas de $\sqrt{6}$).
3. Verificação Numérica de Supercongruências: O autor define somas truncadas ($S_1(N)$ através de $S_6(N)$) correspondentes a essas novas séries. Utilizando evidência computacional, o artigo testa se essas somas satisfazem supercongruências da forma:
   $$S(p^s) \equiv \chi(p) p^k S(p^{s-1}) \pmod{p^{m s}}$$
   onde $\chi(p)$ é um símbolo de Legendre, $p$ é um primo, e $s \geq 1$.
4. Análise de Função Geradora: Para facilitar as verificações numéricas, o artigo deriva funções geradoras para as sequências "rarefatas" (por exemplo, $F_{8n}, L_{8n}, F_{15n}$) envolvidas nas somas, demonstrando que elas satisfazem recorrências lineares com coeficientes racionais constantes de ordem maior que 1.

Contribuições Principais e Resultados
O artigo apresenta várias novas conjecturas sobre supercongruências envolvendo números de Fibonacci e Lucas:

• Nível 1 (Módulo $p^3$ e $p^5$):

  • Ao combinar as séries de Guillera para $1/\pi$ (envolvendo $\sqrt{5}$), o autor deriva duas novas séries (Equações 3 e 4) contendo $F_{8n}$ e $L_{8n}$.
  • Conjectura: As somas truncadas $S_1(N)$ e $S_2(N)$ satisfazem supercongruências módulo $p^3$ (e $p^{3s}$ para potências superiores). Especificamente:
    $$S_1(p^s) \equiv \left(\frac{-5}{p}\right) p S_1(p^{s-1}) \pmod{p^{3s}}$$
    $$S_2(p^s) \equiv \left(\frac{-1}{p}\right) p S_2(p^{s-1}) \pmod{p^{3s}}$$
  • Congruências semelhantes são propostas para truncamentos mais curtos (em $(p^s+1)/2$).

• Nível 2 (Módulo $p^5$):

  • Aplicando a mesma lógica a uma série para $1/\pi^2$ (envolvendo $\sqrt{5}$ e potências superiores de coeficientes binomiais), o autor constrói as séries $S_3(N)$ e $S_4(N)$ envolvendo $F_{15n}$ e $L_{15n}$.
  • Conjectura: Estas somas satisfazem supercongruências mais fortes módulo $p^5$:
    $$S_3(p^s) \equiv \left(\frac{5}{p}\right) p^2 S_3(p^{s-1}) \pmod{p^{5s}}$$
    $$S_4(p^s) \equiv p^2 S_4(p^{s-1}) \pmod{p^{5s}}$$

• Generalização do Tipo Apéry:

  • O autor estende o arcabouço para incluir números de Apéry ($A_n$) e sequências $U_n, V_n$ relacionadas a $\sqrt{6}$.
  • Conjectura: As somas $S_5(N)$ e $S_6(N)$ satisfazem supercongruências módulo $p^3$, com símbolos de Legendre específicos $\left(\frac{-3}{p}\right)$ e $\left(\frac{-2}{p}\right)$, respectivamente. Uma única exceção ($S_6(31)$) é observada.

Significância e Alegações
O artigo enquadra-se modestamente como uma "fantasia" ou uma coleção de observações numéricas, em vez de uma prova destas congruências. Sua significância reside em:

1. Generalização: Propõe que o fenômeno de "racionalizar" séries do tipo Ramanujan para incluir números de Fibonacci e Lucas é um padrão aritmético generalizável, e não uma curiosidade isolada.
2. Diferença Estrutural: O autor destaca uma diferença principal entre as fórmulas clássicas de Ramanujan (onde os coeficientes frequentemente vêm de sequências que satisfazem recorrências de ordem 1, como potências puras) e estas novas versões "tipo Fibonacci". Estas últimas envolvem sequências que satisfazem recorrências lineares de ordem superior, sugerindo uma estrutura aritmética mais profunda, porém ainda não explicada.
3. Chamado à Teoria: O artigo conclui observando que, embora exista um corpo substancial de trabalho sobre supercongruências "hipergeométricas puras e racionais", não existe atualmente um arcabouço conceitual unificador para estes casos baseados em Fibonacci e Apéry. A principal contribuição é a identificação destes padrões e o convite para que a comunidade matemática desenvolva um arcabouço teórico para explicá-los.

O trabalho baseia-se fortemente na "observação numérica" destas congruências, deixando a prova rigorosa como um problema em aberto para pesquisas futuras.