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A supercongruence fantasy on Fibonacci and Lucas (after Guillera)

Motivé par les observations de Guillera, cet article généralise les supercongruences de type Ramanujan à un niveau plus profond où les nombres de Fibonacci, de Lucas et d'Apéry émergent naturellement.

Auteurs originaux : Wadim Zudilin

Publié 2026-02-09

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Wadim Zudilin

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que vous regardez un ensemble de recettes magiques que les mathématiciens utilisent pour calculer la valeur de Pi ( $\pi$ ). Depuis plus d'un siècle, nous connaissons certaines de ces recettes, écrites par le légendaire mathématicien indien Srinivasa Ramanujan. Ces recettes sont comme des sommes infinies : vous additionnez une liste sans fin de nombres et, si vous procédez correctement, le total se rapproche de plus en plus d'une valeur spécifique impliquant $\pi$ .

Récemment, un mathématicien nommé Jesús Guillera a remarqué quelque chose de fascinant. Il a pris l'une des « recettes irrationnelles » de Ramanujan (une impliquant des racines carrées) et l'a combinée avec une version « conjuguée » d'elle-même. En les mélangeant, les racines carrées désordonnées se sont annulées, laissant derrière elles deux toutes nouvelles recettes « rationnelles ». Mais voici le rebondissement : ces nouvelles recettes n'utilisaient pas seulement des nombres simples ; elles utilisaient des nombres de Fibonacci et de Lucas (la célèbre séquence où chaque nombre est la somme des deux précédents : 1, 1, 2, 3, 5, 8...).

La « Fantaisie » des supercongruences

L'auteur de ce papier, Wadadim Zudilin, dit essentiellement : « Voyons si nous pouvons trouver un motif caché dans ces nouvelles recettes. »

Dans le monde des nombres, il existe un concept appelé congruence. Considérez cela comme une horloge. Si vous regardz l'heure à 13h00, c'est la même chose qu'à 1h00 sur une horloge de 12 heures. En mathématiques, nous disons que $13 \equiv 1 \pmod{12}$ .

Une supercongruence est comme une horloge ultra-précise. C'est une règle qui stipule que deux sommes de nombres énormes et compliquées sont égales entre elles non seulement sur une horloge normale, mais sur une horloge avec un très grand nombre d'heures (spécifiquement, des puissances de nombres premiers).

Zudilin propose une « fantaisie » (une conjecture mathématique forte) selon laquelle ces nouvelles recettes basées sur Fibonacci suivent un motif très spécifique et rigide.

Le papier suggère que si vous prenez une somme partielle de ces sommes infinies (en vous arrêtant après $N$ termes au lieu d'aller jusqu'à l'infini), le résultat se comporte de manière prévisible lorsque vous modifiez le point d'arrêt.

Imaginez que vous empilez des blocs pour construire une tour.

La règle normale : Si vous construisez une tour de hauteur $p$ (où $p$ est un nombre premier), le bloc supérieur possède une certaine propriété.
La règle de la supercongruence : Zudilin suppose que si vous construisez une tour de hauteur $p^2$ , $p^3$ , ou même $p^s$ , le bloc supérieur n'est pas seulement aléatoire. Il « fait écho » à la structure de la tour plus petite ( $p^{s-1}$ ), multiplié par un facteur spécifique lié au nombre premier.

Le papier affirme que ce motif d'« écho » est vrai pour :

Les nombres de Fibonacci et de Lucas mélangés avec des coefficients binomiaux standards (combinaisons).
Les nombres d'Apéry (une autre séquence célèbre utilisée pour prouver que certains nombres sont irrationnels) mélangés à des structures similaires.

L'astuce de la « rationalisation »

Le papier décrit un processus appelé « rationalisation ».

Étape 1 : Commencez avec une formule complexe impliquant des racines carrées (comme $\sqrt{5}$ ).
Étape 2 : Créez une formule « jumelle » où le signe de la racine carrée est inversé.
Étape 3 : Additionnez ou soustrayez ces jumeaux. Les racines carrées disparaissent, et vous vous retrouvez avec une formule propre impliquant uniquement des nombres entiers et les séquences de Fibonacci/Lucas.

Zudilin applique cette astuce à plusieurs formules connues, créant de nouvelles séries pour $1/\pi$ et $1/\pi^2$ . Il vérifie ensuite les versions « tronquées » de ces séries (les sommes partielles) pour voir si elles obéissent aux règles de supercongruence.

Ce que le papier affirme réellement

Observation : L'auteur a effectué des calculs informatiques et observé que ces nouvelles sommes basées sur Fibonacci semblent effectivement suivre les règles de supercongruence. Par exemple, la somme jusqu'à un certain point est congruente à un multiple de la somme jusqu'à un point plus petit, modulo une puissance élevée d'un nombre premier.
La « Fantaisie » : Le titre l'appelle une « fantaisie » car, bien que les données informatiques soient solides, une preuve mathématique formelle pour ces cas spécifiques de Fibonacci/Lucas n'est pas encore pleinement établie de la même manière que pour les cas plus simples. L'auteur propose que ces motifs sont réels et universels pour cette classe de nombres.
La Différence : Le papier note une différence clé entre ces nouvelles formules et les anciennes. Les anciennes formules reposaient souvent sur de simples puissances de nombres (comme $z^n$ ), qui suivent une règle simple en une étape. Les nouvelles formules basées sur Fibonacci reposent sur des séquences qui suivent des règles plus complexes, à plusieurs étapes. Cela suggère une couche de structure arithmétique plus profonde et plus compliquée.

En résumé

Ce papier est une histoire de « et si » mathématique. Il prend des recettes connues pour calculer $\pi$ , y mélange les célèbres séquences de nombres de Fibonacci et de Lucas, et propose que ces nouvelles combinaisons obéissent à une symétrie cachée de haute précision (supercongruence) lorsqu'on les examine à travers le prisme des nombres premiers. L'auteur a vérifié ce motif numériquement et appelle à une théorie unifiée pour expliquer pourquoi ces nombres de Fibonacci se comportent si élégamment dans ces structures mathématiques profondes.

Note : Le papier est purement mathématique théorique. Il ne traite pas d'applications médicales, d'usages d'ingénierie ou de technologies futures. Il s'agit strictement de la beauté et des motifs des nombres.

Résumé Technique : « Une fantaisie de supercongruences sur les nombres de Fibonacci et de Lucas »

Énoncé du problème
L'article traite de l'extension des supercongruences de type Ramanujan, qui relient traditionnellement des séries hypergéométriques tronquées à des valeurs de $\pi$ et de ses puissances modulo des puissances de nombres premiers. Alors que les travaux précédents de Guillera et d'autres ont établi des séries de type Ramanujan « rationnelles » en combinant des formules irrationnelles avec leurs conjugués algébriques, ces séries rationnelles impliquent généralement des coefficients binomiaux standards. Le problème central exploré ici est de savoir si une telle « rationalisation » peut être étendue à des séries où les coefficients impliquent des nombres de Fibonacci ( $F_n$ ) et de Lucas ( $L_n$ ), ainsi que des nombres d'Apéry. L'auteur étudie si ces séquences, qui satisfont des récurrences linéaires d'ordre supérieur, peuvent générer de nouvelles familles de séries pour $1/\pi$ et $1/\pi^2$ présentant des propriétés de supercongruence analogues modulo $p^k$ .

Méthodologie
La méthodologie est principalement observationnelle et numérique, guidée par l'« esprit » des découvertes antérieures de Guillera. L'approche consiste en :

La rationalisation de séries irrationnelles : En partant de séries de type Ramanujan connues (impliquant par exemple $\sqrt{5}$ ou $\sqrt{6}$ ), l'auteur les combine avec leurs conjugués algébriques. Ce processus élimine les termes irrationnels pour produire des séries à coefficients rationnels.
L'introduction de termes de Fibonacci/Lucas : Dans les séries rationnelles résultantes, les coefficients sont exprimés en termes de $F_n$ et $L_n$ (ou de séquences généralisées $U_n, V_n$ dérivées de $\sqrt{6}$ ).
Vérification numérique des supercongruences : L'auteur définit des sommes tronquées ( $S_1(N)$ à $S_6(N)$ ) correspondant à ces nouvelles séries. À l'aide de preuves computationnelles, l'article teste si ces sommes satisfont des supercongruences de la forme :
$S(p^s) \equiv \chi(p) p^k S(p^{s-1}) \pmod{p^{m s}}$
où $\chi(p)$ est un symbole de Legendre, $p$ est un nombre premier, et $s \geq 1$ .
Analyse des fonctions génératrices : Pour faciliter les vérifications numériques, l'article dérive les fonctions génératrices des séquences « raréfiées » (par exemple $F_{8n}, L_{8n}, F_{15n}$ ) impliquées dans les sommes, démontant qu'elles satisfont des récurrences linéaires à coefficients rationnels constants d'ordre supérieur à 1.

Contributions clés et résultats
L'article présente plusieurs nouvelles conjectures concernant les supercongruences impliquant les nombres de Fibonacci et de Lucas :

Niveau 1 (Modulo $p^3$ et $p^5$ ) :
- En combinant les séries de Guillera pour $1/\pi$ (impliquant $\sqrt{5}$ ), l'auteur dérive deux nouvelles séries (Équations 3 et 4) contenant $F_{8n}$ et $L_{8n}$ .
- Conjecture : Les sommes tronquées $S_1(N)$ et $S_2(N)$ satisfont des supercongruences modulo $p^3$ (et $p^{3s}$ pour des puissances supérieures). Spécifiquement :
  $S_1(p^s) \equiv \left(\frac{-5}{p}\right) p S_1(p^{s-1}) \pmod{p^{3s}}$
  $S_2(p^s) \equiv \left(\frac{-1}{p}\right) p S_2(p^{s-1}) \pmod{p^{3s}}$
- Des congruences similaires sont proposées pour des troncatures plus courtes (à $(p^s+1)/2$ ).
Niveau 2 (Modulo $p^5$ ) :
- En appliquant la même logique à une série pour $1/\pi^2$ (impliquant $\sqrt{5}$ et des puissances supérieures de coefficients binomiaux), l'auteur construit les séries $S_3(N)$ et $S_4(N)$ impliquant $F_{15n}$ et $L_{15n}$ .
- Conjecture : Ces sommes satisfont des supercongruences plus fortes modulo $p^5$ :
  $S_3(p^s) \equiv \left(\frac{5}{p}\right) p^2 S_3(p^{s-1}) \pmod{p^{5s}}$
  $S_4(p^s) \equiv p^2 S_4(p^{s-1}) \pmod{p^{5s}}$
Généralisation de type Apéry :
- L'auteur étend le cadre pour inclure les nombres d'Apéry ( $A_n$ ) et les séquences $U_n, V_n$ liées à $\sqrt{6}$ .
- Conjecture : Les sommes $S_5(N)$ et $S_6(N)$ satisfont des supercongruences modulo $p^3$ , avec les symboles de Legendre $\left(\frac{-3}{p}\right)$ et $\left(\frac{-2}{p}\right)$ , respectivement. Une exception unique ( $S_6(31)$ ) est notée.

Signification et affirmations
L'article se présente modestement comme une « fantaisie » ou une collection d'observations numériques plutôt que comme une preuve de ces congruences. Sa signification réside dans :

La généralisation : Il propose que le phénomène de « rationalisation » des séries de type Ramanujan pour inclure les nombres de Fibonacci et de Lucas est un motif arithmétique généralisable, et non une curiosité isolée.
Différence structurelle : L'auteur souligne une différence fondamentale entre les formules de Ramanujan classiques (où les coefficients proviennent souvent de séquences satisfaisant des récurrences d'ordre 1, comme des puissances pures) et ces nouvelles versions « de type Fibonacci ». Ces dernières impliquent des séquences satisfaisant des récurrences linéaires d'ordre supérieur, suggérant une structure arithmétique plus profonde, bien qu'inexpliquée.
Appel à la théorie : L'article conclut en notant que, bien qu'il existe un corpus substantiel de travaux sur les supercongruences « purement hypergéométriques et rationnelles », il n'existe actuellement aucun cadre conceptuel unificateur pour ces cas basés sur Fibonacci et Apéry. La contribution principale est l'identification de ces motifs et l'invitation faite à la communauté mathématique de développer un cadre théorique pour les expliquer.

Le travail repose largement sur l'« observation numérique » de ces congruences, laissant la preuve rigoureuse comme un problème ouvert pour des recherches futures.

Résumé Technique : « Une fantaisie de supercongruences sur les nombres de Fibonacci et de Lucas »

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