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What Uncertainties Do We Need for Dynamical Systems?

本文通过区分偶然不确定性与认知不确定性、阐明其来源，并探讨不同任务中不确定性量化目标的差异，从机器学习的角度对动力系统的不确定性建模进行了阐述。

原作者： Yusuf Sale, Christopher Bülte, Felix Czaja, Joshua Stiller, Eyke Hüllermeier

发布于 2026-06-11

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原作者： Yusuf Sale, Christopher Bülte, Felix Czaja, Joshua Stiller, Eyke Hüllermeier

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

大局观：预测未来很难

想象一下，你正试图预测一个球接下来会滚向哪里。在一个完美的世界里，如果你确切知道球的起始位置、你推它的力度以及斜坡的形状，你就可以计算出它永远的精确路径。这就是一个确定性系统（deterministic system）：没有意外，只有数学。

但在现实世界中，事情是混乱的。我们无法完美地了解一切。这篇论文提出了一个简单但深刻的问题：当我们试图预测事物随时间变化的方式时（比如摆动的钟摆、天气或机器人的运动），我们实际面对的是哪种类型的“未知”？

作者将“未知”分解为两种主要类型：

偶然不确定性（Aleatoric Uncertainty，即“噪声”）： 这是系统本身固有的随机性。就像一阵风吹向球。无论你研究得多么深入，或者增加多少传感器，你都无法预测风。它是不可约减的。
认知不确定性（Epistemic Uncertainty，即“无知”）： 这是知识的匮乏。就像你并不确切知道自己推了球多大力。如果你有更好的工具或更多的数据，你就能弄清楚这一点。它是可约减的。

论文指出，在动力系统（随时间变化的事物）中，这两种不确定性以复杂的方式交织在一起，我们需要根据我们要做的任务来区别对待它们。

“未知”的五个来源

作者确定了不确定性渗入我们预测的具体五个地方。让我们使用摆动的钟摆作为类比来解释它们。

1. 起始点（初始条件）

场景： 你想预测钟摆的摆动，但你不确定计时开始时它确切的位置。也许你的尺子稍微有点偏差。
不确定性： 这是认知不确定性。如果你有一台更好的摄像机或一把更精确的尺子，你就能完全知道起始点。
如何扩散： 一旦开始，这个微小的误差就会被携带下去。如果钟摆是稳定的，误差可能保持很小。如果它是混沌的（比如双摆），那个微小的误差会非常迅速地变得巨大。

2. 随机抖动（过程噪声）

场景： 即使你完美掌握了起始点，钟摆仍会被微小的随机气流或来自地板的震动所影响。
不确定性： 这是偶然不确定性。它是宇宙中的“噪声”。你无法测量每一个空气分子，所以这种随机性是永久存在的。
如何扩散： 与只发生一次的起始点误差不同，这种噪声每秒钟都在发生。这就像是在有人不断从侧面轻轻推你的情况下，试图走直线。路径会变成一片模糊的云团，而不是一条单一的线。

3. 模糊的眼镜（部分观测）

场景： 你看不见整个钟摆。你只有一个传感器告诉你角度，但不知道速度。或者你的传感器带有噪声，给出的读数略有错误。
不确定性： 这是认知不确定性。你对系统的某些部分是“盲目”的。
解决方法： 这是一个被称为“滤波（filtering）”的谜题。你利用所能看到的部分来推测你看不到的部分。如果系统是稳定的，你的猜测会随着时间的推移变得更好。如果系统是混沌的，你可能永远无法确定。

4. 错误的说明书（参数不确定性）

场景： 你知道钟摆运动的公式，但你不知道确切的数值。重力加速度是 9.8 还是 9.81？摩擦力是 0.5 还是 0.6？
不确定性： 这是认知不确定性。真实的数值是存在的，只是你还没找到它们。
危险之处： 这很棘手，因为数值上的微小错误会产生系统性偏差。这不仅仅是一个随机的晃动，这就像开车时方向盘稍微歪了一点。短途旅行中你没问题，但长途旅行后，你会到达一个完全不同的国家。

5. 错误的地图（结构不确定性）

场景： 你使用的公式完全错了。也许你假设钟摆做直线运动，但它实际上做圆周运动。或者你忘记了钟摆内部有一个你看不到的隐藏砝码。
不确定性： 这是最难的一种。从你不知道真相的角度来看，它是认知不确定性，但在性质上它是截然不同的。如果你的整个模型都是错的，仅仅通过收集更多数据是无法修复它的。这就像是用一张海洋地图在森林里导航。

时间如何改变游戏规则

论文提出了一个关键点：哪种不确定性最重要，取决于你向未来观察多远。

短期： 如果你想知道 1 秒钟后钟摆在哪里，起始点最为重要。此时，风或错误的公式还没有时间来破坏预测。
中期： 如果你观察 10 秒钟之后，随机抖动和盲点开始占据主导地位。噪声开始累积。
长期： 如果你观察 1 小时之后，错误的说明书和错误的地图会接管一切。即使你完美掌握了起始点，如果你的公式稍有偏差，或者你的模型缺失了某个部分，你的长期预测将会完全偏离。

为什么这种区分很重要？

你可能会问：“为什么我们需要把它们标记为‘偶然’对比‘认知’？”

答案在于行动。

如果你面临的是认知不确定性（无知），最好的行动是学习。获取更好的传感器、进行更多的实验或完善你的模型。你可以减少这种不确定性。
如果你面临的是偶然不确定性（噪声），学习是没有帮助的。你无法通过“学习”来消除风的影响。相反，你必须适应。你需要构建一个足够鲁棒（robust）的系统来处理随机性（例如，一个即使被推搡也能保持平衡的机器人）。

与机器学习的联系

论文最后探讨了机器学习（ML）如何与之契合。

机器学习助力动力系统： 机器学习擅长发现复杂的模式（例如，使用神经网络来推测“错误的说明书”或“错误的地图”）。它可以从数据中学习游戏的规则。
动力系统助力机器学习： 用于追踪移动物体的数学方法（如卡尔曼滤波）现在正被用于让 AI 在学习序列和随时间做出决策方面变得更加聪明。

核心总结

这篇论文并不仅仅说“不确定性是坏的”。它说：不确定性是一个过程。 它会随着时间的推移而改变形态。要预测一个移动系统的未来，我们需要知道不确定性来自哪里（起始点、噪声、传感器、参数，还是模型本身），以及它何时会成为最大的问题。只有这样，我们才能决定是去收集更多数据，还是去构建一个更鲁棒的系统。

技术摘要：动力系统需要什么样的不确定性？

问题陈述

在监督式机器学习中，偶然不确定性（aleatoric uncertainty，过程固有的不可还原的随机性）与认知不确定性（epistemic uncertainty，由知识缺乏引起的的可还原不确定性）之间的区别已得到公认。然而，尽管机器学习（ML）与动力系统（如神经微分方程、科学机器学习和数据驱动控制）之间的交集日益增加，这种二分法在动力系统背景下受到的关注却显著较少。

本文解决的核心问题是缺乏一个明确的框架来识别动力系统需要什么样的不确定性。具体而言，作者试图：

重新审视动力系统中的不确定性来源。
澄清这些来源是属于偶然性的还是认知性的。
确定表示和量化不确定性的目标如何随不同任务（如预测、控制、验证）而变化。

本文认为，将某一来源归类为偶然性或认知性，并不取决于其本身，而是高度依赖于任务、建模假设以及研究对象。

方法论与框架

本文采用概念分析而非提出新算法或进行经验实验。其方法论包括：

形式化基准： 作者从标准的确定性连续时间自治动力系统开始，该系统由初值问题 $\dot{x}(t) = f(x(t)), x(0) = x_0$ 定义。
对不确定性来源进行分类： 他们系统地向该基准引入了五种不同的不确定性来源，并分析了每种来源如何影响状态分布的演化：
- S1：初始条件不确定性： 用概率分布 $p_0$ 取代点值 $x_0$ 。其演化由**刘维尔方程（Liouville equation）**支配。
- S2：过程噪声： 用随机微分方程（SDE）取代 ODE，其中噪声被持续注入。其演化由**福克-普朗克方程（Fokker-Planck equation）**支配。
- S3：部分观测： 引入观测方程 $y_k = h(x(t_k)) + v_k$ 。这导致了滤波问题，通过预测-更新循环（例如卡尔曼滤波器）来更新不确定性。
- S4：参数不确定性： 将演化律 $f_\theta$ 的参数 $\theta$ 视为未知量。这种不确定性随时间系统性地传播，使误差复合，并可能改变系统的定性行为（例如，分岔）。
- S5：结构不确定性： 处理模型形式本身不正确的情况（例如，错误的函数形式、缺失的状态变量或错误的动力学类型）。
分析相互作用： 作者讨论了这些来源如何复合，以及它们的相对主导地位如何在不同预测时界内发生转移（短期由初始条件主导，长期由参数和结构主导）。
任务驱动的分类： 本文根据特定任务（预测、系统辨识、控制、验证）评估了这些来源的偶然性/认知性本质。

核心贡献

1. 动力系统不确定性的分类法

本文提供了一个针对动力系统特有的不确定性来源的结构化分解，将其与静态机器学习设置区分开来。一个关键见解是不确定性的时间特性：

初始条件不确定性被注入一次，并由流（flow）进行变换。
过程噪声被持续注入。
参数不确定性表现为一种系统性偏差，随时间复合，影响整个轨迹历史。

2. 任务相关的类型分类

作者挑战了“某种来源本质上是偶然性或认知性”的观点。他们证明分类取决于建模选择：

初始条件的偶然性 vs. 认知性： 如果 $x_0$ 是一个固定但未知的量，通过不完美的传感器进行估计，则不确定性是认知性的。如果 $x_0$ 是代表自然变异性的随机变量（例如，人类每次释放单摆的方式都不同），则它是偶然性的。
结构不确定性： 本文强调结构不确定性（关于“正确的模型”的不确定性）在性质上是不同的。与可以在给定模型类内减少的参数不确定性不同，结构不确定性涉及无法在固定假设空间内通过额外数据解决的“未知之未知”。

3. 不确定性量化的任务驱动需求

本文认为，区分偶然性和认知性不确定性的效用是任务相关的：

预测/滤波： 主要研究对象是状态 $x(t)$ 。
控制： 这种区别在操作上至关重要。认知性不确定性具有“信息价值”，可以通过对系统采取行动（探索）来减少，而偶然性不确定性则不能。
验证： 不确定性被转化为可达集，以保证安全性。

4. 建模视角

作者回顾了现有的及潜在的建模方法：

概率论： 标准分布（一阶）能很好地捕捉偶然不确定性。针对认知不确定性，提出了二阶分布（分布之上的分布），但这类方法可能在计算上具有挑战性，且如果真实情况是一个精确但未知的量，则可能在概念上并无必要。
基于集合的表示： 本文指出**微分包含（differential inclusions）和信度集（credal sets，概率分布的集合）**在表示认知不确定性方面的效用，并认为在某些语境下，它们比概率分布更适合捕捉“无知”（ignorance）。

结果与发现

作为一篇概念性论文，其“结果”是理论见解和澄清：

时界相关的支配地位： 本文确立了不同的不确定性来源在不同时间尺度上占据主导地位。初始条件主导短期；过程噪声在中间时界累积；而参数/结构不确定性在长期内占据主导，决定了系统的吸引子。
定性转变： 参数不确定性可以导致系统行为的定性变化（例如，区分稳定平衡与混沌），而不仅仅是定量偏差。
标准概率模型的局限性： 本文指出，如果机器学习中的标准概率模型未能区分可还原与不可还原的不确定性，那么它们在动力系统领域可能是不充分的，特别是在控制设置中。

重要性与主张

本文声称其重要性在于提供了机器学习视角下的动力系统不确定性建模，这是一个比监督学习研究得更少的领域。

概念澄清： 它澄清了偶然性-认知性二分法并非数据源的固定属性，而是建模设置和特定问题的结果。
领域桥接： 它强调了机器学习与动力系统之间的双向关系，即机器学习为动力系统提供了灵活的函数逼近器（如神经 ODE），而动力系统为机器学习提供了框架（如滤波、可达性分析）。
未来方向： 本文确定了未来的研究机会，包括：
- 将监督学习中的二阶方法应用于动力系统的轨迹层面。
- 开发新的不确定性量化度量，重点关注派生量（例如，稳定时间、进入某个区域的概率），而非仅仅是状态不确定性。
- 应对表示结构不确定性（“未知之未知”）的困难。

作者保持了谦逊的态度，将这项工作定位为一种视角和对重新审视基本假设的呼吁，而非提出特定的新算法或展示在基准测试上的卓越性能。