📊 statistics

What Uncertainties Do We Need for Dynamical Systems?

Dit artikel presenteert een machine learning-perspectief op onzekerheidsmodellering voor dynamische systemen door onderscheid te maken tussen aleatorische en epistemische onzekerheden, hun bronnen te verduidelijken en te onderzoeken hoe onzekerheidskwantificatiedoelstellingen variëren over verschillende taken.

Oorspronkelijke auteurs: Yusuf Sale, Christopher Bülte, Felix Czaja, Joshua Stiller, Eyke Hüllermeier

Gepubliceerd 2026-06-11

📖 7 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Yusuf Sale, Christopher Bülte, Felix Czaja, Joshua Stiller, Eyke Hüllermeier

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Het Grote Plaatje: Voorspellen van de toekomst is moeilijk

Stel je voor dat je probeert te voorspellen waar een bal als volgende zal rollen. In een perfecte wereld, als je precies weet waar de bal begint, hoe hard je hem hebt geduwd en wat de vorm van de heuvel is, zou je zijn exacte pad voor altijd kunnen berekenen. Dit is een deterministisch systeem: geen verrassingen, alleen wiskunde.

Maar in de echte wereld is het rommelig. We weten niet alles perfect. Dit artikel stelt een simpele maar diepe vraag: Wanneer we proberen te voorspellen hoe dingen veranderen over een bepaalde tijd (zoals een zwaaiende pendel, het weer of de beweging van een robot), met wat voor soort "niet-weten" hebben we dan eigenlijk te maken?

De auteurs verdelen "niet-weten" in twee hoofdvormen:

Aleatorische onzekerheid (De "Ruis"): Dit is willekeur die in het systeem zelf is ingebouwd. Het is als een windvlaag die tegen de bal slaat. Hoeveel je ook bestudeert of hoeveel sensoren je ook toevoegt, je kunt de wind niet voorspellen. Het is onherleidbaar.
Epistemische onzekerheid (De "Onwetendheid"): Dit is een gebrek aan kennis. Het is alsoort als niet precies weten hoe hard je de bal hebt geduwd. Als je betere instrumenten of meer data had gehad, had je dit kunnen uitzoeken. Het is herleidbaar.

Het artikel stelt dat in dynamische systemen (dingen die veranderen over de tijd) deze twee soorten onzekerheid op complexe manieren mengen, en dat we ze anders moeten behandelen afhankelijk van wat we willen bereiken.

De Vijf Bronnen van "Niet-Weten"

De auteurs identificeren vijf specifieke plekken waar onzekerheid in onze voorspellingen sluipt. Laten we de analogie van een zwaaiende pendel gebruiken om ze uit te leggen.

1. Het Startpunt (Begintoestand)

Het Scenario: Je wilt de zwaai van de pendel voorspellen, maar je bent niet 100% zeker waar hij was toen je de timer startte. Misschien zat je liniaal er net naast.
De Onzekerheid: Dit is Epistemisch. Als je een betere camera of een nauwkeurigere liniaal had gehad, had je de startpositie exact kunnen weten.
Hoe het zich verspreidt: Zodra het proces begint, wordt deze fout meegevoerd. Als de pendel stabiel is, blijft de fout klein. Als het chaotisch is (zoals een dubbele pendel), kan die kleine fout heel snel enorm worden.

2. De Willekeurige Trillingen (Procesruis)

Het Scenario: Zelfs als je het startpunt perfect weet, wordt de pendel geraakt door kleine, willekeurige luchtstromen of trillingen van de vloer.
De Onzekerheid: Dit is Aleatorisch. Het is de "ruis" van het universum. Je kunt niet elk luchtmolecuul meten, dus deze willekeur is permanent.
Hoe het zich verspreidt: In tegen afstelling van de fout in het startpunt (die één keer gebeurt), gebeurt deze ruis elke seconde. Het is alsof je in een rechte lijn probeert te lopen terwijl iemand je steeds zachtjes van de zijkant duwt. Het pad wordt een wazige wolk in plaats van een enkele lijn.

3. De Wazige Bril (Partiële Observaties)

Het Scenario: Je kunt de hele pendel niet zien. Je hebt alleen een sensor die de hoek aangeeft, maar niet de snelheid. Of misschien is je sensor ruizig en geeft hij een iets verkeerde meting.
De Onzekerheid: Dit is Epistemisch. Je bent "blind" voor delen van het systeem.
De Oplossing: Dit is een puzzel genaamd "filtering". Je gebruikt wat je wel ziet om te raden wat je niet ziet. Als het systeem stabiel is, worden je vermoedens na verloop van tijd beter. Als het chaotisch is, zul je misschien nooit zeker zijn.

4. De Verkeerde Handleiding (Parameteronzekerheid)

Het Scenario: Je kent de formule voor hoe de pendel beweegt, maar je weet de exacte getallen niet. Is de zwaartekracht 9,8 of 9,81? Is de wrijving 0,5 of 0,6?
De Onzekerheid: Dit is Epistemisch. De "ware" getallen bestaan; je hebt ze alleen nog niet gevonden.
Het Gevaar: Dit is lastig omdat een kleine fout in de getallen een systematische bias creëert. Het is niet zomaar een willekeurige trilling; het is alsof je een auto rijdt met een stuur dat net iets scheef staat. Over een kort ritje ben je prima. Over een lange rit eindig je in een totaal ander land.

5. De Verkeerde Kaart (Structurele Onzekerheid)

Het Scenario: Je gebruikt de verkeerde formule volledig. Misschien nam je aan dat de pendel in een rechte lijn beweegt, maar beweegt hij in werkelijkheid in een cirkel. Of misschien ben je vergeten dat er een verborgen gewicht in de pendel zit dat je niet kunt zien.
De Onzekerheid: Dit is het moeilijkste soort. Het is Epistemisch in de zin dat je de waarheid niet weet, maar het is kwalitatief anders. Je kunt dit niet oplossen door simpelweg meer data te verzamelen als je hele model fout is. Het is alsof je probeert te navigeren met een kaart van de oceaan terwijl je eigenlijk in een bos bent.

Hoe Tijd het Spel Verandert

Het artikel maakt een cruciaal punt: Welke onzekerheid het belangrijkst is, hangt af van hoe ver je in de toekomst kijkt.

Korte termijn: Als je wilt weten waar de pendel over 1 seconde is, is het Startpunt het belangrijkst. Er is nog geen tijd geweest voor de wind of de verkeerde formule om de boel te verstoren.
Middellange termijn: Als je 10 seconden vooruit kijkt, beginnen de Willekeurige Trillingen en de Blinde Vlekken te domineren. De ruis stapelt zich op.
Lange termijn: Als je 1 uur vooruit kijkt, nemen de Verkeerde Handleiding en de Verkeerde Kaart het over. Zelfs als je het startpunt perfect wist, als je formule een beetje fout is of je model een onderdeel mist, zal je voorspelling op de lange termijn volledig van de rails lopen.

Waarom is dit onderscheid belangrijk?

Je zou kunnen vragen: "Waarom moeten we ze labelen als 'Aleatorisch' versus 'Epistemisch'?"

Het antwoord ligt in Actie.

Als je Epistemische onzekerheid hebt (onwetendheid), is de beste actie om te leren. Gebruik betere sensoren, voer meer experimenten uit of verfijn je model. Je kunt de onzekerheid verminderen.
Als je Aleatorische onzekerheid hebt (ruis), helpt leren niet. Je kunt de wind niet "leren weg te halen". In plaats daarvan moet je adapteren. Je moet een systeem bouwen dat robuust genoeg is om met de willekeur om te gaan (bijvoorbeeld een robot die in balans kan blijven, zelfs als hij wordt geduwd).

De Connectie met Machine Learning

Het artikel concludeert door te kijken naar hoe Machine Learning (ML) hierin past.

ML helpt Dynamische Systemen: ML is erg goed in het vinden van complexe patronen (zoals het gebruik van een neuraal netwerk om de "Verkeerde Handleiding" of de "Verkeerde Kaart" te raden). Het kan de regels van het spel leren van data.
Dynamische Systemen helpen ML: De wiskunde die wordt gebruikt om bewegende objecten te volgen (zoals Kalman-filters) wordt nu gebruikt om AI slimmer te maken in het leren van sequenties en het nemen van beslissingen over de tijd.

De Kernboodschap

Het artikel zegt niet alleen dat "onzekerheid slecht is". Het zegt: Onzekerheid is een proces. Het verandert van vorm naarmate de tijd verstrijkt. Om de toekomst van een bewegend systeem te voorspellen, moeten we weten waar de onzekerheid vandaan komt (het begin, de ruis, de sensoren, de parameters of het model zelf) en wanneer het de grootste problemen zal veroorzaken. Alleen dan kunnen we beslissen of we meer data moeten verzamelen of een robuuster systeem moeten bouwen.

Technische Samenvatting: Welke onzekerheden hebben we nodig voor dynamische systemen?

Probleemstelling

Het onderscheid tussen aleatorische onzekerheid (onherleidbare willekeur inherent aan een proces) en epistemische onzekerheid (reduceerbare onzekerheid voortvloeiend uit een gebrek aan kennis) is goed gevestigd in supervised machine learning. Deze dichotomie heeft echter aanzienlijk minder aandacht gekregen in de context van dynamische systemen, ondanks de groeiende intersectie tussen machine learning (ML) en dynamische systemen (bijv. neurale differentiaalvergelijkingen, scientific ML en data-gedreven controle).

Het centrale probleem dat in dit artikel wordt behandeld, is het gebrek aan een duidelijk kader voor het identificeren van welke onzekerheden noodzakelijk zijn voor dynamische systemen. Specifiek trachten de auteurs:

De bronnen van onzekerheid in dynamische systemen te herzien.
Te verduidelijken of deze bronnen aleatorisch of epistemisch zijn.
Te bepalen hoe de doelstellingen van het representeren en kwantificeren van onzekerheid variëren over verschillende taken (bijv. forecasting, controle, verificatie).

Het artikel betoogt dat de classificatie van een bron als aleatorisch of epistemisch niet inherent is aan de bron zelf, maar sterk afhangt van de taak, de modelleringsaannames en het object van belang.

Methodologie en Kader

Het artikel hanteert een conceptuele analyse in plaats van het voorstellen van een nieuw algoritme of het uitvoeren van empirische experimenten. De methodologie omvat:

Formalisering van de Baseline: De auteurs beginnen met het standaard deterministische continue-tijd autonome dynamische systeem gedefinieerd door het initiële waardeprobleem $\dot{x}(t) = f(x(t)), x(0) = x_0$ .
Categorisering van Onzekerheidsbronnen: Zij introduceren systematisch vijf verschillende bronnen van onzekerheid in deze baseline, waarbij ze analyseren hoe elk de evolutie van de toestandsdistributie beïnvloedt:
- S1: Onzekerheid in de begincondities: Het vervangen van de puntwaardige $x_0$ door een waarschijnlijkheidsverdeling $p_0$ . De evolutie wordt beheerst door de Liouville-vergelijking.
- S2: Procesruis: Het vervangen van de ODE door een Stochastische Differentiaalvergelijking (SDE) waarbij continu ruis wordt geïnjecteerd. De evolutie wordt beheerst door de Fokker-Planck-vergelijking.
- S3: Partiële Observaties: Het introduceren van een observatievergelijking $y_k = h(x(t_k)) + v_k$ . Dit leidt tot het filteringprobleem, waarbij onzekerheid wordt bijgewerkt via predict-update cycli (bijv. Kalman-filters).
- S4: Parameteronzekerheid: Het behandelen van de parameters $\theta$ van de evolutiewet $f_\theta$ als onbekend. Deze onzekerheid plant zich systematisch door de tijd voort, stapelt fouten op en kan de kwalitatieve gedragingen (bijv. bifurcaties) van het systeem potentieel veranderen.
- S5: Structurele Onzekerheid: Het adresseren van gevallen waarin de modelvorm zelf incorrect is (bijv. verkeerde functionele vorm, ontbrekende toestandsvariabelen of verkeerde dynamische types).
Analyse van Interacties: De auteurs bespreken hoe deze bronnen van onzekerheid samenkomen en hoe hun relatieve dominantie verschuift over verschillende voorspellingshorizonten (kortetermijn gedomineerd door begincondities, langetermijn door parameters en structuur).
Taakafhankelijke Classificatie: Het artikel evalueert de aleatorische/epistemische aard van deze bronnen op basis van specifieke taken (forecasting, systeemidentificatie, controle, verificatie).

Belangrijkste Bijdragen

1. Een Taxonomie van Onzekerheden in Dynamische Systemen

Het artikel biedt een gestructureerde uitsplitsing van onzekerheidsbronnen die specifiek zijn voor dynamische systemen, en onderscheidt deze van statische ML-settings. Een kerninzicht is de temporele aard van onzekerheidsproperagatie:

Onzekerheid in de begincondities wordt eenmalig geïnjecteerd en getransformeerd door de flow.
Procesruis wordt continu geïnjecteerd.
Parameteronzekerheid werkt als een systematische bias die zich over de tijd stapelt en de gehele trajectgeschiedenis beïnvloedt.

2. Contextafhankelijke Classificatie van Onzekerheidstypes

De auteurs dagen het idee uit dat een bron inherent aleatorisch of epistemisch is. Ze demonstreren dat de classificatie afhangt van modelleringskeuzes:

Aleatorische vs. Epistemische Begincondities: Als $x_0$ een vaste maar onbekende grootheid is die wordt geschat met imperfecte sensoren, dan is de onzekerheid epistemisch. Als $x_0$ een willekeurige variabele is die natuurlijke variabiliteit vertegenwoordigt (bijv. een mens die telkens anders een pendel loslaat), dan is het aleatorisch.
Structurele Onzekerheid: Het artikel benadrukt dat structurele onzekerheid (onzekerheid over "het juiste model") kwalitatief verschillend is. In tegen tegenstelling tot parameteronzekerheid, die binnen een modelklasse kan worden verminderd, betreft structurele onzekerheid "onbekende onbekenden" die niet kunnen worden opgelost door extra data binnen een vaste hypotheseruimte.

3. Taakgestuurde Noodzaak van Onzekerheidskwantificering

Het artikel stelt dat het nut van het ontrafelen van aleatorische en epistemische onzekerheid taakafhankelijk is:

Forecasting/Filtering: Het primaire object van belang is de toestand $x(t)$ .
Controle: Het onderscheid is operationeel cruciaal. Epistemische onzekerheid heeft een "waarde van informatie" en kan worden verminderd door op het systeem in te werken (exploratie), terwijl aleatorische onzekerheid dat niet kan.
Verificatie: Onzekerheid wordt vertaald naar bereikbare verzamelingen (reachable sets) om veiligheid te garanderen.

4. Modelleringsperspectieven

De auteurs beoordelen bestaande en potentiële modelleringsbenaderingen:

Waarschijnlijkheidstheorie: Standaarddistributies (eerste-orde) vatten aleatorische onzekerheid goed. Tweede-orde distributies (distributies over distributies) worden voorgesteld voor epistemische onzekerheid, maar kunnen computationeel uitdagend zijn en conceptueel onnodig als de grondwaarheid een precieze maar onbekende grootheid is.
Set-gebaseerde Representaties: Het artikel merkt het nut op van differentiele inclusies en credal sets (verzamelingen van waarschijnlijkheidsverdelingen) voor het representeren van epistemische onzekerheid, en voert aan dat deze mogelijk geschikter zijn voor het vastleggen van onwetendheid dan waarschijnlijkheidsverdelingen in bepaalde contexten.

Resultaten en Bevindingen

Als conceptueel artikel zijn de "resultaten" theoretische inzichten en verhelderingen:

Horizon-afhankelijke Dominantie: Het artikel stelt vast dat verschillende onzekerheidsbronnen domineren op verschillende tijdschalen. Begincondities domineren korte horizonten; procesruis accumuleert over intermediaire horizonten; en parameter/structurele onzekerheid domineert lange horizonten, wat de attractor van het systeem bepaalt.
Kwalitatieve Verschuivingen: Parameteronzekerheid kan leiden tot kwalitatieve veranderingen in het gedrag van het systeem (bijv. het onderscheiden tussen een stabiel evenwicht en chaos) in plaats van alleen kwantitatieve afwijkingen.
Beperkingen van Standaard Probabilistische Modellen: Het artikel suggereert dat standaard probabilistische modellen in ML mogelijk onvoldoende zijn voor dynamische systemen als ze er niet in slagen om reduceerbare en irreducibele onzekerheid te onderscheiden, met name in controle-omgevingen.

Betekenis en Claims

Het artikel claimt betekenis te hebben door een machine learning perspectief te bieden op onzekerheidsmodellering voor dynamische systemen, een veld dat minder is bestudeerd dan supervised learning.

Verheldering van Concepten: Het verheldert dat de aleatorisch-epistemische dichotomie geen vaste eigenschap van een databron is, maar een resultaat van de modelleringsopstelling en de specifieke vraag die gesteld wordt.
Overbruggen van Velden: Het benadrukt de tweezijdige relatie tussen ML en dynamische systemen, waarbij wordt opgemerkt hoe ML flexibele functiebenaderingen (bijv. Neural ODEs) biedt voor dynamische systemen, terwijl dynamische systemen kaders (bijv. filtering, reachability analysis) bieden voor ML.
Toekomstige Richtingen: Het artikel identificeert kansen voor toekomstig werk, waaronder:
- Het aanpassen van tweede-orde methoden van supervised learning naar het trajectniveau van dynamische systemen.
- Het ontwikkelen van nieuwe onzekerheidskwantificatiemaatstaven die zich richten op afgeleide grootheden (bijv. tijd tot stabilisatie, waarschijnlijkheid van het betreden van een regio) in plaats van alleen de toestand-onzekerheid.
- Het adresseren van de moeilijkheid van het representeren van structurele onzekerheid ("onbekende onbekenden").

De auteurs hanteren een bescheiden houding en presenteren het werk als een perspectief en een oproep om fundamentele aannames te herzien, in plaats van een voorstel voor een specifiek nieuw algoritme of een demonstratie van superieure prestaties op benchmarks.