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What Uncertainties Do We Need for Dynamical Systems?

Dieses Paper präsentiert eine Perspektive des maschinellen Lernens auf die Unsicherheitsmodellierung für dynamische Systeme, indem es zwischen aleatorischen und epistemischen Unsicherheiten unterscheidet, deren Quellen klärt und untersucht, wie die Ziele der Unsicherheitsquantifizierung über verschiedene Aufgaben hinweg variieren.

Ursprüngliche Autoren: Yusuf Sale, Christopher Bülte, Felix Czaja, Joshua Stiller, Eyke Hüllermeier

Veröffentlicht 2026-06-11

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Yusuf Sale, Christopher Bülte, Felix Czaja, Joshua Stiller, Eyke Hüllermeier

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Das große Ganze: Die Zukunft vorherzusagen ist schwer

Stellen Sie sich vor, Sie versuchen vorherzusagen, wohin ein Ball als Nächstes rollen wird. In einer perfekten Welt, wenn Sie genau wüssten, wo der Ball startet, wie fest Sie ihn gestoßen haben und welche Form der Hügel hat, könnten Sie seinen exakten Pfad ewig berechnen. Dies ist ein deterministisches System: Keine Überraschungen, nur Mathematik.

Aber in der realen Welt sind die Dinge chaotisch. Wir wissen nicht alles perfekt. Diese Arbeit stellt eine einfache, aber tiefgründige Frage: Wenn wir versuchen vorherzusagen, wie sich Dinge über die Zeit verändern (wie ein schwingendes Pendel, das Wetter oder die Bewegung eines Roboters), mit welcher Art von „Nicht-Wissen“ haben wir es dann tatsächlich zu tun?

Die Autoren unterteilen das „Nicht-Wissen“ in zwei Haupttypen:

Aleatorische Unsicherheit (Das „Rauschen“): Dies ist eine Zufälligkeit, die in das System selbst eingebaut ist. Es ist wie eine Windböe, die den Ball trifft. Egal wie viel Sie studieren oder wie viele Sensoren Sie hinzufügen, Sie können den Wind nicht vorhersagen. Er ist unreduzierbar.
Epistemische Unsicherheit (Die „Unwissenheit“): Dies ist ein Mangel an Wissen. Es ist so, als wüssten Sie nicht genau, wie fest Sie den Ball gestoßen haben. Wenn Sie bessere Werkzeuge oder mehr Daten hätten, könnten Sie dies herausfinden. Sie ist reduzierbar.

Die Arbeit argumentiert, dass sich diese beiden Arten von Unsicherheit in dynamischen Systemen (Dinge, die sich über die Zeit verändern) auf komplexe Weise vermischen, und dass wir sie unterschiedlich behandeln müssen, je nachdem, was wir erreichen wollen.

Die fünf Quellen des „Nicht-Wissens“

Die Autoren identifizieren fünf spezifische Stellen, an denen Unsicherheit in unsere Vorhersagen hineinschleicht. Lassen Sie uns die Analogie eines schwingenden Pendels verwenden, um sie zu erklären.

1. Der Ausgangspunkt (Anfangszustand)

Das Szenario: Sie wollen die Schwingung des Pendels vorhersagen, sind sich aber nicht zu 100 % sicher, wo es war, als Sie die Stoppuhr gestartet haben. Vielleicht war Ihr Lineal leicht ungenau.
Die Unsicherheit: Dies ist epistemisch. Wenn Sie eine bessere Kamera oder ein präziseres Lineal hätten, könnten Sie den Startpunkt genau kennen.
Wie sie sich ausbreitet: Sobald man beginnt, wird dieser kleine Fehler mitgeschleppt. Wenn das Pendel stabil ist, bleibt der Fehler klein. Wenn es chaotisch ist (wie ein Doppelpendel), kann dieser winzige Fehler sehr schnell riesig werden.

2. Das zufällige Zappeln (Prozessrauschen)

Das Szenario: Selbst wenn Sie den Startpunkt perfekt kennen, wird das Pendel von winzigen, zufälligen Luftströmungen oder Vibrationen des Bodens getroffen.
Die Unsicherheit: Dies ist aleatorisch. Es ist das „Rauschen“ des Universums. Sie können nicht jedes Luftmolekül messen, also ist diese Zufälligkeit permanent.
Wie sie sich ausbreitet: Im Gegensatz zum Fehler des Startpunkts (der einmalig auftritt), tritt dieses Rauschen jede Sekunde auf. Es ist, als würde man versuchen, eine gerade Linie zu gehen, während jemand einen immer wieder sanft von der Seite stößt. Der Pfad wird zu einer verschwommenen Wolke statt zu einer einzelnen Linie.

3. Die trübe Brille (Partielle Beobachtungen)

Das Szenario: Sie können das ganze Pendel nicht sehen. Sie haben nur einen Sensor, der Ihnen den Winkel liefert, aber nicht die Geschwindigkeit. Oder vielleicht ist Ihr Sensor verrauscht und gibt Ihnen einen leicht falschen Wert.
Die Unsicherheit: Dies ist epistemisch. Sie sind für Teile des Systems „blind“.
Die Lösung: Dies ist ein Rätsel namens „Filterung“. Sie nutzen das, was Sie sehen, um zu erraten, was Sie nicht sehen. Wenn das System stabil ist, werden Ihre Vermutungen im Laufe der Zeit besser. Wenn es chaotisch ist, werden Sie vielleicht nie sicher sein.

4. Das falsche Handbuch (Parameterunsicherheit)

Das Szenario: Sie kennen die Formel, wie sich das Pendel bewegt, aber Sie kennen die genauen Zahlen nicht. Ist die Schwerkraft 9,8 oder 9,81? Ist die Reibung 0,5 oder 0,6?
Die Unsicherheit: Dies ist epistemisch. Die „wahren“ Zahlen existieren; Sie haben sie nur noch nicht gefunden.
Die Gefahr: Das ist knifflig, denn ein kleiner Fehler in den Zahlen erzeugt einen systematischen Bias. Es ist nicht nur ein zufälliges Wackeln; es ist, als würde man ein Auto mit einem leicht schiefen Lenkrad fahren. Auf einer kurzen Fahrt ist das egal. Auf einer langen Reise landet man in einem völlig anderen Land.

5. Die falsche Karte (Strukturelle Unsicherheit)

Das Szenario: Sie verwenden die völlig falsche Formel. Vielleicht haben Sie angenommen, dass das Pendel sich geradlinig bewegt, aber es bewegt sich eigentlich in einem Kreis. Oder vielleicht haben Sie vergessen, dass sich im Inneren des Pendels ein verstecktes Gewicht befindet, das Sie nicht sehen können.
Die Unsicherheit: Dies ist die schwierigste Art. Sie ist epistemisch in dem Sinne, dass Sie die Wahrheit nicht kennen, aber sie ist qualitativ anders. Sie können dies nicht einfach durch das Sammeln von mehr Daten beheben, wenn Ihr gesamtes Modell falsch ist. Es ist, als würde man versuchen, mit einer Seekarte zu navigieren, während man sich eigentlich in einem Wald befindet.

Wie die Zeit das Spiel verändert

Die Arbeit stellt einen entscheidenden Punkt fest: Welche Unsicherheit am wichtigsten ist, hängt davon ab, wie weit in die Zukunft man blickt.

Kurzfristig: Wenn Sie wissen wollen, wo das Pendel in 1 Sekunde ist, zählt der Ausgangspunkt am meisten. Es gab noch keine Zeit für den Wind oder die falsche Formel, um alles durcheinanderzubringen.
Mittelfristig: Wenn Sie 10 Sekunden vorausblicken, beginnen das zufällige Zappeln und die blinden Flecken zu dominieren. Das Rauschen summiert sich auf.
Langfristig: Wenn Sie 1 Stunde vorausblicken, übernehmen das falsche Handbuch und die falsche Karte. Selbst wenn Sie den Startpunkt perfekt kannten, wird Ihre langfristige Vorhersage völlig danebenliegen, wenn Ihre Formel leicht falsch ist oder Ihr Modell ein Teil fehlt.

Warum ist diese Unterscheidung wichtig?

Sie fragen sich vielleicht: „Warum müssen wir sie als ‚aleatorisch‘ vs. ‚epistemisch‘ bezeichnen?“

Die Antwort liegt in der Handlung.

Wenn Sie epistemische Unsicherheit (Unwissenheit) haben, ist die beste Handlung zu lernen. Nutzen Sie bessere Sensoren, führen Sie mehr Experimente durch oder verfeinern Sie Ihr Modell. Sie können die Unsicherheit verringern.
Wenn Sie aleatorische Unsicherheit (Rauschen) haben, hilft Lernen nicht. Sie können den Wind nicht „weglernen“. Stattdessen müssen Sie sich anpassen. Sie müssen ein System bauen, das robust genug ist, um mit der Zufälligkeit umzugehen (z. B. ein Roboter, der das Gleichgewicht halten kann, auch wenn er angestoßen wird).

Die Verbindung zum Maschinellen Lernen

Die Arbeit schließt mit dem Blick darauf, wie Maschinelles Lernen (ML) hineinpasst.

ML hilft dynamischen Systemen: ML ist großartig darin, komplexe Muster zu finden (wie etwa ein neuronales Netz zu nutzen, um das „falsche Handbuch“ oder die „falsche Karte“ zu erraten). Es kann die Regeln des Spiels aus Daten lernen.
Dynamische Systeme helfen ML: Die Mathematik, die zur Verfolgung beweglicher Objekte verwendet wird (wie Kalman-Filter), wird nun eingesetzt, um KI intelligenter darin zu machen, Sequenzen zu lernen und Entscheidungen über die Zeit hinweg zu treffen.

Das Fazit

Die Arbeit sagt nicht einfach nur, dass „Unsicherheit schlecht“ ist. Sie sagt: Unsicherheit ist ein Prozess. Sie verändert ihre Gestalt, während die Zeit vergeht. Um die Zukunft eines sich bewegenden Systems vorherzusagen, müssen wir wissen, woher die Unsicherheit kommt (vom Start, vom Rauschen, von den Sensoren, von den Parametern oder vom Modell selbst) und wann sie zum größten Problem werden wird. Nur dann können wir entscheiden, ob wir mehr Daten sammeln oder ein robusteres System bauen müssen.

Technisches Resümee: Welche Unsicherheiten benötigen wir für dynamische Systeme?

Problemstellung

Die Unterscheidung zwischen aleatorischer Unsicherheit (irreduzibler Zufall, der einem Prozess inhärent ist) und epistemischer Unsicherheit (reduzierbare Unsicherheit, die aus mangelndem Wissen resultiert) ist im überwachten maschinellen Lernen (Supervised Machine Learning) gut etabliert. Diese Dichotomie wurde jedoch im Kontext von dynamischen Systemen deutlich weniger Beachtung gefunden, trotz der wachsenden Schnittmenge zwischen maschinellem Lernen (ML) und dynamischen Systemen (z. B. neuronale Differentialgleichungen, Scientific ML und datengesteuerte Regelung).

Das zentrale Problem, das diese Arbeit adressiert, ist das Fehlen eines klaren Rahmens zur Identifizierung dessen, welche Unsicherheiten für dynamische Systeme notwendig sind. Konkret versuchen die Autoren:

Die Quellen der Unsicherheit in dynamischen Systemen zu unterslagen.
Zu klären, ob diese Quellen aleatorisch oder epistemisch sind.
Zu bestimmen, wie sich die Ziele der Repräsentation und Quantifizierung von Unsicherheit über verschiedene Aufgaben hinweg (z. B. Prognose, Regelung, Verifikation) verändern.

Die Arbeit argumentiert, dass die Klassifizierung einer Quelle als aleatorisch oder epistemisch nicht eine intrinsische Eigenschaft der Quelle selbst ist, sondern stark von der Aufgabe, den Modellannahmen und dem Objekt des Interesses abhängt.

Methodik und Rahmenwerk

Die Arbeit verwendet eine konzeptionelle Analyse anstelle des Vorschlags eines neuen Algorithmus oder der Durchführung empirischer Experimente. Die Methodik umfasst:

Formalisierung der Baseline: Die Autoren beginnen mit dem Standard-deterministischen, kontinuierlichen, autonomen dynamischen System, definiert durch das Anfangswertproblem $\dot{x}(t) = f(x(t)), x(0) = x_0$ .
Kategorisierung der Unsicherheitsquellen: Sie führen systematisch fünf verschiedene Quellen der Unsicherheit in diese Baseline ein und analysieren, wie jede die Evolution der Zustandsverteilung beeinflusst:
- S1: Unsicherheit der Anfangsbedingungen: Ersetzung des punktwertigen $x_0$ durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $p_0$ . Die Evolution wird durch die Liouville-Gleichung gesteuert.
- S2: Prozessrauschen: Ersetzung der ODE durch eine stochastische Differentialgleichung (SDE), bei der kontinuierlich Rauschen injiziert wird. Die Evolution wird durch die Fokker-Planck-Gleichung gesteuert.
- S3: Partielle Beobachtungen: Einführung einer Beobachtungsgleichung $y_k = h(x(t_k)) + v_k$ . Dies führt zum Filterproblem, bei dem die Unsicherheit über Prädikt-Update-Zyklen (z. B. Kalman-Filter) aktualisiert wird.
- S4: Parametersicherheit: Behandlung der Parameter $\theta$ des Evolutionsgesetzes $f_\theta$ als unbekannt. Diese Unsicherheit propagiert systematisch durch die Zeit, akkumuliert Fehler und kann potenziell das qualitative Verhalten (z. B. Bifurkationen) des Systems verändern.
- S5: Strukturelle Unsicherheit: Adressierung von Fällen, in denen die Modellform selbst inkorrekt ist (z. B. falsche Funktionsform, fehlende Zustandsvariablen oder falscher Dynamiktyp).
Analyse von Interaktionen: Die Autoren diskutieren, wie diese Quellen kumulieren und wie sich ihre relative Dominanz über verschiedene Vorhersagehorizonte verschiebt (kurzfristig dominiert durch Anfangsbedingungen, langfristig durch Parameter und Struktur).
Aufgabenabhängige Klassifizierung: Die Arbeit evaluiert die aleatorische/epistemische Natur dieser Quellen basierend auf spezifischen Aufgaben (Prognose, Systemidentifikation, Regelung, Verifikation).

Zentrale Beiträge

1. Eine Taxonomie der Unsicherheiten dynamischer Systeme

Die Arbeit liefert eine strukturierte Aufschlüsselung der Unsicherheitsquellen, die spezifisch für dynamische Systeme sind und sich von statischen ML-Settings unterscheiden. Eine zentrale Erkenntnis ist die zeitliche Natur der Unsicherheitspropagation:

Unsicherheit der Anfangsbedingungen wird einmal injiziert und durch den Fluss transformiert.
Prozessrauschen wird kontinuierlich injiziert.
Parametersicherheit wirkt als systematischer Bias, der über die Zeit kumuliert und die gesamte Trajektoriengeschichte beeinflusst.

2. Kontextabhängige Klassifizierung von Unsicherheitstypen

Die Autoren stellen die Vorstellung in Frage, dass eine Quelle inhärent aleatorisch oder epistemisch ist. Sie zeigen, dass die Klassifizierung von den Modellierungsentscheidungen abhängt:

Aleatorische vs. epistemische Anfangsbedingungen: Wenn $x_0$ eine feste, aber unbekannte Größe ist, die aus unvollkommenen Sensoren geschätzt wird, ist die Unsicherheit epistemisch. Wenn $x_0$ eine Zufallsvariable darstellt, die natürliche Variabilität repräsentiert (z. B. ein Mensch, der ein Pendel jedes Mal anders loslässt), ist sie aleatorisch.
Strukturelle Unsicherheit: Die Arbeit hebt hervor, dass strukturelle Unsicherheit (Unsicherheit über "das richtige Modell") qualitativ verschieden ist. Im Gegensatz zur Parametersicherheit, die innerhalb einer Modellklasse reduziert werden kann, beinhaltet strukturelle Unsicherheit "unbekannte Unbekannte", die durch zusätzliche Daten innerhalb eines festen Hypothesenraums nicht aufgelöst werden können.

3. Aufgabengetriebene Notwendigkeit der Unsicherheitsquantifizierung

Die Arbeit argumentiert, dass der Nutzen der Unterscheidung zwischen aleatorischer und epistemischer Unsicherheit aufgabenabhängig ist:

Prognose/Filterung: Das primäre Objekt des Interesses ist der Zustand $x(t)$ .
Regelung: Die Unterscheidung ist operativ entscheidend. Epistemische Unsicherheit besitzt einen "Informationswert" und kann durch das Agieren am System (Exploration) reduziert werden, während aleatorische Unsicherheit dies nicht kann.
Verifikation: Unsicherheit wird in erreichbare Mengen übersetzt, um Sicherheit zu garantieren.

4. Modellierungsperspektiven

Die Autoren rezensieren bestehende und potenzielle Modellierungsansätze:

Wahrscheinlichkeitstheorie: Standardverteilungen (erster Ordnung) erfassen aleatorische Unsicherheit gut. Second-Order-Verteilungen (Verteilungen über Verteilungen) werden für epistemische Unsicherheit vorgeschlagen, können aber rechenintensiv und konzeptionell unnötig sein, wenn die Grundwahrheit eine präzise, aber unbekannte Größe ist.
Mengenbasierte Repräsentationen: Die Arbeit weist auf den Nutzen von Differenz-Inklusionen und Credal-Sets (Mengen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen) hin, um epistemische Unsicherheit zu repräsentieren, und argumentiert, dass diese für die Darstellung von Unwissenheit in bestimmten Kontexten besser geeignet sein könnten als Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Ergebnisse und Erkenntnisse

Als konzeptionelle Arbeit liegen die "Ergebnisse" in theoretischen Einsichten und Klärungen:

Horizontabhängige Dominanz: Die Arbeit stellt fest, dass verschiedene Unsicherheitsquellen auf unterschiedlichen Zeitskalen dominieren. Anfangsbedingungen dominieren kurze Horizonte; Prozessrauschen akkumuliert über mittlere Horizonte; und Parametersicherheit sowie strukturelle Unsicherheit dominieren lange Horizonte und bestimmen den Attraktor des Systems.
Qualitative Verschiebungen: Parametersicherheit kann zu qualitativen Änderungen im Systemverhalten führen (z. B. Unterscheidung zwischen stabilem Gleichgewicht und Chaos) anstatt nur zu quantitativen Abweichungen.
Limitierungen Standardmäßiger Probabilistischer Modelle: Die Arbeit legt nahe, dass standardmäßige probabilistische Modelle in ML unzureichend für dynamische Systeme sein könnten, wenn sie versäumen, zwischen reduzierbarer und irreduzierbarer Unsicherheit zu unterscheiden, insbesondere in Regelungsszenarien.

Bedeutung und Behauptungen

Die Arbeit beansprucht, eine Perspektive des maschinellen Lernens auf die Unsicherheitsmodellierung für dynamische Systeme zu bieten – ein Feld, das im Vergleich zum überwachten Lernen weniger untersucht wurde.

Klärung von Konzepten: Sie klärt, dass die aleatorisch-epistemische Dichotomie keine feste Eigenschaft einer Datenquelle ist, sondern ein Resultat des Modellierungsaufbaus und der spezifischen Fragestellung.
Brückenbildung zwischen Fachgebieten: Sie hebt die wechselseitige Beziehung zwischen ML und dynamischen Systemen hervor und stellt fest, wie ML flexible Funktionsapproximatoren (z. B. Neural ODEs) für dynamische Systeme bereitstellt, während dynamische Systeme Frameworks (z. B. Filterung, Reichweitenanalyse) für ML liefern.
Zukünftige Richtungen: Die Arbeit identifiziert Möglichkeiten für zukünftige Arbeiten, darunter:
- Die Anpassung von Second-Order-Methoden aus dem überwachten Lernen auf die Trajektoriebene dynamischer Systeme.
- Die Entwicklung neuer Maße zur Quantifizierung von Unsicherheit, die sich auf abgeleitete Größen (z. B. Zeit bis zur Stabilisierung, Wahrscheinlichkeit des Eintritts in eine Region) konzentrieren, anstatt nur auf die Zustandsunsicherheit.
- Die Adressierung der Schwierigkeit, strukturelle Unsicherheit ("unbekannte Unbekannte") darzustellen.

Die Autoren nehmen eine bescheidene Haltung ein und rahmen die Arbeit als Perspektive und Aufruf zur Überprüfung grundlegender Annahmen, anstatt als Vorschlag eines spezifischen neuen Algorithmus oder eines Nachweis überlegener Performance auf Benchmarks.