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What Uncertainties Do We Need for Dynamical Systems?

Cet article présente une perspective d'apprentissage automatique sur la modélisation de l'incertitude pour les systèmes dynamiques en distinguant les incertitudes aléatoires et épistémiques, en clarifiant leurs sources, et en examinant comment les objectifs de quantification de l'incertitude varient selon les différentes tâches.

Auteurs originaux : Yusuf Sale, Christopher Bülte, Felix Czaja, Joshua Stiller, Eyke Hüllermeier

Publié 2026-06-11

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Yusuf Sale, Christopher Bülte, Felix Czaja, Joshua Stiller, Eyke Hüllermeier

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

La vue d'ensemble : Prédire l'avenir est difficile

Imaginez que vous essayiez de prédire où une balle va rouler ensuite. Dans un monde parfait, si vous saviez exactement où la balle commence, avec quelle force vous l'avez poussée et la forme de la colline, vous pourriez calculer son chemin exact pour toujours. C'est un système déterministe : pas de surprises, juste des mathématiques.

Mais dans le monde réel, les choses sont désordonnées. Nous ne savons pas tout parfaitement. Cet article pose une question simple mais profonde : Lorsque nous essayons de prédire comment les choses changent au fil du temps (comme un pendule qui oscille, la météo ou le mouvement d'un robot), à quel type de « non-savoir » sommes-nous réellement confrontés ?

Les auteurs divisent le « non-savoir » en deux types principaux :

L'incertitude Aléatoire (le « Bruit ») : C'est un caractère aléatoire qui est intégré au système lui-même. C'est comme une rafale de vent qui frappe la balle. Peu importe l'étude que vous faites ou le nombre de capteurs que vous ajoutez, vous ne pouvez pas prédire le vent. Elle est irréductible.
L'incertitude Épistémique (l'« Ignorance ») : C'est un manque de connaissances. C'est comme ne pas savoir exactement avec quelle force vous avez poussé la balle. Si vous aviez de meilleurs outils ou plus de données, vous pourriez découvrir cela. Elle est réductible.

L'article soutient que dans les systèmes dynamiques (les choses qui changent au fil du temps), ces deux types d'incertitude se mélangent de manières complexes, et nous devons les traiter différemment selon ce que nous essayons de faire.

Les cinq sources du « Non-Savoir »

Les auteurs identifient cinq endroits spécifiques où l'incertitude s'immisce dans nos prédictions. Utilisons l'analogie d'un Pendule Oscillant pour les expliquer.

1. Le point de départ (Condition initiale)

Le scénario : Vous voulez prédire l'oscillation du pendule, mais vous n'êtes pas sûr à 100 % de l'endroit où il se trouvait quand vous avez lancé le chronomètre. Peut-être que votre règle était légèrement décalée.
L'incertitude : Elle est Épistémique. Si vous aviez une meilleure caméra ou une règle plus précise, vous pourriez connaître le point de départ exactement.
Sa propagation : Une fois lancé, cette petite erreur est transportée. Si le pendule est stable, l'erreur peut rester petite. S'il est chaotique (comme un pendule double), cette petite erreur peut devenir énorme très rapidement.

2. Les petits tressautements aléatoires (Bruit de processus)

Le scénario : Même si vous connaissez parfaitement le point de départ, le pendule est frappé par de minuscules courants d'air aléatoires ou des vibrations provenant du sol.
L'incertitude : Elle est Aléatoire. C'est le « bruit » de l'univers. Vous ne pouvez pas mesurer chaque molécule d'air, donc ce caractère aléatoire est permanent.
Sa propagation : Contrairement à l'erreur du point de départ (qui arrive une seule fois), ce bruit se produit chaque seconde. C'est comme essayer de marcher en ligne droite alors que quelqu'un vous pousse doucement sur le côté de temps en temps. Le chemin devient un nuage flou plutôt qu'une ligne unique.

3. Les lunettes floues (Observations partielles)

Le scénario : Vous ne voyez pas tout le pendule. Vous n'avez qu'un capteur qui vous donne l'angle, mais pas la vitesse. Ou peut-être que votre capteur est bruité et donne une lecture légèrement erronée.
L'incertitude : Elle est Épistémique. Vous êtes « aveugle » à certaines parties du système.
La solution : C'est un puzzle appelé « filtrage ». Vous utilisez ce que vous voyez pour deviner ce que vous ne voyez pas. Si le système est stable, vos suppositions s'améliorent avec le temps. S'il est chaotique, vous n'en serez peut-être jamais certain.

4. Le mauvais manuel (Incertitude des paramètres)

Le scénario : Vous connaissez la formule de mouvement du pendule, mais vous ne connaissez pas les chiffres exacts. La gravité est-elle de 9,8 ou 9,81 ? La friction est-elle de 0,5 ou 0,6 ?
L'incertitude : Elle est Épistémique. Les « vrais » chiffres existent ; vous ne les avez juste pas encore trouvés.
Le danger : C'est délicat car une petite erreur dans les chiffres crée un biais systématique. Ce n'est pas juste un vacillement aléatoire ; c'est comme conduire une voiture avec un volant légèrement de travers. Sur un court trajet, tout va bien. Sur un long trajet, vous finissez dans un pays complètement différent.

5. La mauvaise carte (Incertitude structurelle)

Le scénario : Vous utilisez la mauvaise formule entière. Peut-être avez-vous supposé que le pendule se déplace en ligne droite, alors qu'en réalité il se déplace en cercle. Ou peut-être avez-vous oublié qu'il y a un poids caché à l'intérieur du pendule que vous ne pouvez pas voir.
L'incertitude : C'est la plus difficile. Elle est Épistémique dans le sens où vous ne connaissez pas la vérité, mais elle est qualitativement différente. Vous ne pouvez pas corriger cela simplement en collectant plus de données si votre modèle entier est faux. C'est comme essayer de naviguer avec une carte de l'océan alors que vous êtes en fait dans une forêt.

Comment le temps change la donne

L'article souligne un point crucial : L'incertitude la plus importante dépend de la distance dans le futur vers laquelle vous regardez.

À court terme : Si vous voulez savoir où se trouve le pendule dans 1 seconde, le Point de départ est le plus important. Le vent ou la mauvaise formule n'ont pas encore eu le temps de tout gâcher.
À moyen terme : Si vous regardez 10 secondes plus loin, les Petits tressautements aléatoires et les Angles morts commencent à dominer. Le bruit s'accumule.
À long terme : Si vous regardez 1 heure plus loin, le Mauvais manuel et la Mauvaise carte prennent le dessus. Même si vous connaissiez parfaitement le point de départ, si votre formule est légèrement fausse ou si votre modèle manque une pièce, votre prédiction à long terme sera complètement erronée.

Pourquoi cette distinction est-elle importante ?

Vous pourriez demander : « Pourquoi avons-nous besoin de les étiqueter comme "Aléatoire" vs "Épistémique" ? »

La réponse réside dans l'Action.

Si vous avez une incertitude Épistémique (ignorance), la meilleure action est d'apprendre. Obtenez de meilleurs capteurs, menez de nouvelles expériences ou affinez votre modèle. Vous pouvez réduire l'incertitude.
Si vous avez une incertitude Aléatoire (bruit), apprendre ne servira à rien. Vous ne pouvez pas « apprendre à éliminer » le vent. Au lieu de cela, vous devez vous adapter. Vous devez construire un système capable de gérer l'aléatoire (par exemple, un robot capable de garder l'équilibre même lorsqu'il est poussé).

La connexion avec le Machine Learning

L'article conclut en examinant comment le Machine Learning (ML) s'intègre dans tout cela.

Le ML aide les Systèmes Dynamiques : Le ML est excellent pour trouver des motifs complexes (comme utiliser un réseau de neurones pour deviner le « Mauvais Manuel » ou la « Mauvaise Carte »). Il peut apprendre les règles du jeu à partir des données.
Les Systèmes Dynamiques aident le ML : Les mathématiques utilisées pour suivre des objets en mouvement (comme les filtres de Kalman) sont désormais utilisées pour rendre l'IA plus intelligente dans l'apprentissage de séquences et la prise de décision au fil du temps.

Ce qu'il faut retenir

L'article ne dit pas seulement que « l'incertitude est mauvaise ». Il dit : L'incertitude est un processus. Elle change de forme à mesure que le temps passe. Pour prédire l'avenir d'un système en mouvement, nous devons savoir d'où vient l'incertitude (le départ, le bruit, les capteurs, les paramètres ou le modèle lui-même) et quand elle deviendra le problème principal. Ce n'est qu'alors que nous pourrons décider s'il faut collecter plus de données ou construire un système plus robuste.

Résumé Technique : Quelles incertitudes avons-nous besoin pour les systèmes dynamiques ?

Énoncé du Problème

La distinction entre l'incertitude aléatoire (le caractère aléatoire irréductible inhérent à un processus) et l'incertitude épistémique (l'incertitude réductible découlant d'un manque de connaissances) est bien établie dans l'apprentissage automatique supervisé. Cependant, cette dichotomie a reçu nettement moins d'attention dans le contexte des systèmes dynamiques, malgré l'intersection croissante entre l'apprentissage automatique (ML) et les systèmes dynamiques (ex: équations différentielles neuronales, ML scientifique, et contrôle piloté par les données).

Le problème central abordé par cet article est l'absence d'un cadre clair pour identifier quelles incertitudes sont nécessaires pour les systèmes dynamiques. Plus précisément, les auteurs cherchent à :

Revoir les sources d'incertitude dans les systèmes dynamiques.
Clarifier si ces sources sont aléatoires ou épistémiques.
Déterminer comment les objectifs de représentation et de quantification de l'incertitude varient selon les différentes tâches (ex: prévision, contrôle, vérification).

L'article soutient que la classification d'une source comme étant aléatoire ou épistémique n'est pas intrinsèque à la source elle-même, mais dépend fortement de la tâche, des hypothèses de modélisation et de l'objet d'intérêt.

Méthodologie et Cadre

L'article emploie une analyse conceptuelle plutôt que de proposer un nouvel algorithme ou de mener des expériences empiriques. La méthodologie comprend :

Formalisation de la base : Les auteurs partent du système dynamique autonome continu déterministe standard défini par le problème de valeur initiale $\dot{x}(t) = f(x(t)), x(0) = x_0$ .
Catégorisation des sources d'incertitude : Ils introduisent systématiquement cinq sources distinctes d'incertitude dans cette base, en analysant comment chacune affecte l'évolution de la distribution d'état :
- S1 : Incertitude de la condition initiale : Remplacement de la valeur ponctuelle $x_0$ par une distribution de probabilité $p_0$ . L'évolution est régie par l'équation de Liouville.
- S2 : Bruit de processus : Remplacement de l'EDO par une équation différentielle stochastique (EDS) où le bruit est injecté en continu. L'évolution est régie par l'équation de Fokker-Planck.
- S3 : Observations partielles : Introduction d'une équation d'observation $y_k = h(x(t_k)) + v_k$ . Cela conduit au problème de filtrage, où l'incertitude est mise à jour via des cycles prédiction-mise à jour (ex: filtres de Kalman).
- S4 : Incertitude des paramètres : Traitement des paramètres $\theta$ de la loi d'évolution $f_\theta$ comme étant inconnus. Cette incertitude se propage systématiquement à travers le temps, aggravant les erreurs et pouvant potentiellement altérer le comportement qualitatif (ex: bifurcations) du système.
- S5 : Incertitude structurelle : Traitement des cas où la forme même du modèle est incorrecte (ex: mauvaise forme fonctionnelle, variables d'état manquantes, ou mauvais type de dynamique).
Analyse des interactions : Les auteurs discutent de la manière dont ces sources se cumulent et comment leur dominance relative change sur différents horizons de prédiction (court terme dominé par les conditions initiales, long terme par les paramètres et la structure).
Classification dépendante de la tâche : L'article évalue la nature aléatoire/épistémique de ces sources en fonction de tâches spécifiques (prévision, identification de système, contrôle, vérification).

Contributions Clés

1. Une taxonomie des incertitudes des systèmes dynamiques

L'article fournit une décomposition structurée des sources d'incertitude spécifiques aux systèmes dynamiques, les distinguant des contextes statiques du ML. Une idée clé est la nature temporelle de la propagation de l'incertitude :

L'incertitude de la condition initiale est injectée une seule fois et transformée par le flot.
Le bruit de processus est injecté en continu.
L'incertitude des paramètres agit comme un biais systématique qui s'accumule au fil du temps, influençant l'historique complet de la trajectoire.

2. Classification contextuelle des types d'incertitude

Les auteurs contestent l'idée qu'une source est intrinsèquement aléatoire ou épistémique. Ils démontrent que la classification dépend des choix de modélisation :

Conditions initiales Aléatoires vs Épistémiques : Si $x_0$ est une quantité fixe mais inconnue estimée à partir de capteurs imparfaits, l'incertitude est épistémique. Si $x_0$ est une variable aléatoire représentant une variabilité naturelle (ex: un humain lâchant un pendule différemment à chaque fois), elle est aléatoire.
Incertitude structurelle : L'article souligne que l'incertitude structurelle (l'incertitude sur "le bon modèle") est qualitativement distincte. Contrairement à l'incertitude des paramètres, qui peut être réduite au sein d'une classe de modèles, l'incertitude structurelle implique des "inconnus inconnus" qui ne peuvent être résolus par des données supplémentaires au sein d'un espace d'hypothèses fixe.

3. Nécessité de la quantification de l'incertitude pilotée par la tâche

L'article soutient que l'utilité de distinguer l'incertitude aléatoire de l'incertitude épistémique est dépendante de la tâche :

Prévision/Filtrage : L'objet d'intérêt principal est l'état $x(t)$ .
Contrôle : La distinction est opérationnellement critique. L'incertitude épistémique possède une "valeur de l'information" et peut être réduite en agissant sur le système (exploration), contrairement à l'incertitude aléatoire.
Vérification : L'incertitude est traduite en ensembles atteignables pour garantir la sécurité.

4. Perspectives de modélisation

Les auteurs passent en revue les approches de modélisation existantes et potentielles :

Théorie des probabilités : Les distributions standards (premier ordre) capturent bien l'incertitude aléatoire. Des distributions de second ordre (distributions sur les distributions) sont proposées pour l'incertitude épistémique, mais peuvent être conceptuellement difficiles ou inutiles si la vérité terrain est une quantité précise mais inconnue.
Représentations basées sur des ensembles : L'article note l'utilité des inclusions différentielles et des ensembles créels (ensembles de distributions de probabilité) pour représenter l'incertitude épistémique, arguant qu'ils peuvent être plus adaptés pour capturer l'ignorance que les distributions de probabilité dans certains contextes.

Résultats et Conclusions

En tant qu'article conceptuel, les "résultats" sont des intuitions théoriques et des clarifications :

Dominance dépendante de l'horizon : L'article établit que différentes sources d'incertitude dominent à différentes échelles de temps. Les conditions initiales dominent les horizons courts ; le bruit de processus s'accumule sur les horizons intermédiaires ; et l'incertitude des paramètres/structure domine les horizons longs, déterminant l'attracteur du système.
Changements qualitatifs : L'incertitude des paramètres peut conduire à des changements qualitatifs dans le comportement du système (ex: distinguer un équilibre stable du chaos) plutôt qu'à de simples déviations quantitatives.
Limites des modèles probabilistes standards : L'article suggère que les modèles probabilistes standards en ML peuvent être insuffisants pour les systèmes dynamiques s'ils échouent à distinguer l'incertitude réductible de l'irréductible, particulièrement dans les contextes de contrôle.

Signification et Revendications

L'article revendique sa pertinence en fournissant une perspective de l'apprentissage automatique sur la modélisation de l'incertitude pour les systèmes dynamiques, un domaine qui a été moins étudié que l'apprentissage supervisé.

Clarification des concepts : Il clarifie que la dichotomie aléatoire-épistémique n'est pas une propriété fixe d'une source de données, mais le résultat de la configuration de la modélisation et de la question spécifique posée.
Pont entre les domaines : Il souligne la relation bidirectionnelle entre le ML et les systèmes dynamiques, notant comment le ML fournit des approximateurs de fonctions flexibles (ex: Neural ODEs) pour les systèmes dynamiques, tandis que les systèmes dynamiques fournissent des cadres (ex: filtrage, analyse de reachabilité) pour le ML.
Directions futures : L'article identifie des opportunités pour des travaux futurs, notamment :
- L'adaptation des méthodes de second ordre du ML supervisé au niveau de la trajectoire des systèmes dynamiques.
- Le développement de nouvelles mesures de quantification de l'incertitude qui se concentrent sur les quantités dérivées (ex: temps de stabilisation, probabilité d'entrer dans une région) plutôt que seulement sur l'incertitude d'état.
- L'abordage de la difficulté de représenter l'incertitude structurelle ("inconnus inconnus").

Les auteurs maintiennent une position modeste, présentant ce travail comme une perspective et un appel à revoir les hypothèses fondamentales plutôt que comme la proposition d'un nouvel algorithme spécifique ou une démonstration de performance supérieure sur des benchmarks.