`It from Bit': is there a second law of quantum complexity?

技术摘要：“从比特到万物”：是否存在量子复杂性的第二定律？

问题陈述
经典热力学第二定律规定了熵的增加，但对于在达到热平衡（热寂）后长期演化的物理系统而言，该定律显得不足。虽然热力学平衡意味着处于最大熵的静态状态，但量子系统仍在希尔伯特空间内持续演化，探索指数级数量的正交态。这种现象被称为“热寂后的生命”，最初在黑洞信息佯谬中被提及——即黑洞的内部体积和引力作用在系统达到最大熵后仍会无限增长。为了解决这一问题，苏斯金德（Susskind）及其同事提出了“量子复杂性第二定律”的猜想，认为量子态的计算复杂性会持续增加，直到饱和于一个与 $\exp(S_{\text{max}})$ 成比例的值。然而，这一定律的理论基础仍具有推测性，且其在黑洞之外的适用性尚未得到充分确立。本文旨在从基本的信息论原理出发，推导出这一定律并确定其精确的时间演化过程。

方法论
作者采用了一种对经典力学和统计热力学进行的信息论重新诠释，用以推导量子复杂性的动力学。该方法论通过以下步骤进行：

1. 最小作用量的熵增解释： 本文将莫佩尔图最小作用量原理（$\delta A = 0$）重新诠释为“最小熵增定律”。通过分析与粒子路径相关的相空间作用量条带（$\Delta A$），作者证明了可及微观态的数量（$\Omega$）与以普朗克常数（$h$）为单位的作用量面积成正比。因此，最小作用量路径对应于系统在固定能量下的最小熵（最小不确定性）路径。这使最小作用量原理与普里戈金（Prigogine）在平衡点附近的最小熵产生原理相一致。
2. 准静态信息量子化： 该推导依赖于前作 [7] 中开发的“准静态信息量子化规则”。该规则结合了 WKB 半经典能量量子化与兰道尔-西拉德（Landauer-Szilard）信息-能量等效原理。它假设信息特征值（$I_n$）是通过信息热力学势阱 $V(t) = -T(t)\Delta S(t)$ 的时间积分进行量子化的，其中 $\Delta S$ 代表可用信息（即缺失信息的缺乏）。
3. 将信息映射至复杂性： 作者建立了量子态的量子化信息特征值 $|I_n|$ 与“无复杂性”（uncomplexity, $U_n$）之间的直接关系。无复杂性被定义为用于量子计算的资源（$U_n = C_{\text{max}} - C_n$）。通过将信息特征值与偏离平衡态的距离等同起来，作者推导出了复杂性 $C_n$ 与信息含量之间的指数关系。

主要贡献与结果

• 量子复杂性第二定律的推导： 本文通过准静态信息量子化规则，成功推导了被猜想的量子复杂性第二定律。研究表明，对于处于热平衡状态的系统（$t > t_0$），其量子态复杂性的演化遵循：
  $$C(t) = C_{\text{max}} \exp(-1/t)$$
  其中 $C_{\text{max}}$ 是由平衡熵决定的饱和值（$C_{\text{max}} \sim \exp(S_{\text{max}})$）。
• 时间演化的精细化： 推导出的函数形式 $C(t) = C_{\text{max}} \exp(-1/t)$ 比此前假设的线性增长提供了更详细的预测。作者展示了虽然在中间时间阶段（约 $t \approx 1/2$ 时）复杂性增长率 $v(t) = dC/dt$大致恒定，但在长时间极限下会以$t^{-2}$ 的速率衰减，从而确保渐近饱和。这解决了无界线性增长的问题，因为后者会与希尔伯特空间的有限性相矛盾。
• 非平衡态动力学： 分析扩展到了非平衡情况（$0 < t < t_0$）。在此机制下，本文预测量子复杂性可能随时间减少，而“无复杂性”则会增长，并饱和于一个由环境偏离平衡态程度（$V_0$）所决定的值。这表明，非平衡态的制备可以为量子系统的计算资源进行“补充”。
• 普适行为： 复杂性演化的函数形式被证明是普适的，它源于量子化规则的积分结构，而非特定信息势阱的具体形状。

意义
本文声称为量子复杂性第二定律提供了根本性的理论支撑，使其从一个基于全息对偶（AdS/CFT）的猜想，转变为一个可以从适用于机械系统的广义信息论原理中推导出的结果。通过将“从比特到万物”的哲学与最小作用量原理联系起来，作者认为物理系统自然倾向于经济地消耗其信息资源。推导出的定律捕捉到了经典热力学第二定律所遗漏的“热寂后的生命”演化过程，并为量子复杂性的饱和动力学提供了一个可证伪的预测，该预测可以通过模型计算和模拟进行检验。此外，通过识别非平衡态中的无复杂性增长，本文为理解膨胀宇宙或受驱动系统中秩序与信息的涌现提供了机制。