A CGMY-Hawkes Clock Model: Esscher Martingale Measures and Model-Preserving Minimal Entropy under Self-Exciting Jump Activity

في عالم التمويل، يعد التنبؤ بكيفية تحرك أسعار الأصول صراعاً مستمراً ضد عدم اليقين. غالباً ما تفترض النماذج التقليدية أن تغيرات الأسعار تحدث بسلاسة واستقلالية، مثل قطرات المطر التي تسقط بمعدل ثابت. ومع ذلك، تتصرف الأسواق الحقيقية بشكل مختلف؛ فهي عرضة لنوبات مفاجئة وعنيفة من النشاط حيث تصل تقلبات الأسعار الكبيرة في مجموعات متتالية، واحدة تلو الأخرى، بدلاً من حدوثها كحالات معزولة. هذه الظاهرة، المعروفة باسم "تكتل القفزات" (jump clustering)، تخلق توزيعاً ذا ذيول ثقيلة للعوائد، مما يعني أن الأحداث المتطرفة تحدث بشكل أكثر تواتراً مما تتنبأ به النظريات القياسية. ولتجسيد هذا الواقع، اعتمد الباحثون لفترة طويلة على أداتين رياضيتين متميزتين. إحدى الأداتين هي عملية "CGMY"، وهي ممتازة في وصف حجم وتكرار هذه القفزات، حيث تأخذ في الاعتبار الذيول الثقيلة والاحتمالية العالية للتحركات المتطرفة. أما الأداة الأخرى فهي عملية "هوكز" (Hawkes process)، المصممة لنمذجة "التحفيز الذاتي"، حيث يؤدي وقوع حدث ما إلى زيادة احتمالية وقوع حدث آخر بعده بفترة وجيزة، مما يخلق هذه النوبات الملحوظة من النشاط. ولسنوات، وُجدت هاتان المفهومتان في مسارات منفصلة، وظل دمجهما في نموذج واحد قابل للتطبيق لتسعير الأصول المالية مثل الخيارات تحدياً كبيراً.

تقدم دراسة جديدة لإيمان بن عبد الوهاب جسراً لهذا الفجوة من خلال تقديم إطار موحد يسمى نموذج "ساعة CGMY-Hawkes". الفكرة الجوهرية هي التعامل مع الوقت نفسه كمتغير يتسارع ويتباطأ بناءً على نشاط السوق. تخيل ساعة قياسية تدق لتعبر عن مرور الوقت؛ في هذا النموذج، تُستبدل هذه الساعة بـ "ساعة عشوائية" (stochastic clock) تعمل بشكل أسرع عندما يكون السوق مضطرباً وأبطأ عندما يكون هادئاً. هذه الساعة مدفوعة بعملية "هوكز"، التي تحدد شدة نشاط السوق. ومن ثم، يتم توليد تحركات الأسعار الفعلية بواسطة عملية "CGMY"، ولكن لا يتم تقييمها مقابل الساعة القياسية، بل مقابل هذه الساعة المتغيرة ذات التحفيز الذاتي. والنتيجة هي نموذج تتكتل فيه قفزات الأسعار بشكل طبيعي لأن الساعة تتسارع خلال فترات الكثافة العالية، بينما يظل القانون الإحصائي الذي يحكم حجم كل قفزة فردية ثابتاً. يسمح هذا النهج للنموذج بالتقاط واقع الأسواق المالية الفوضوي والمتكتل، مع بقائه قابلاً للمعالجة رياضياً بما يكفي ليكون مفيداً في التسعير.

ثم تناول الباحثون سؤالاً حاسماً: كيف نحدد سعراً عادلاً للعقود المالية، مثل الخيارات الأوروبية، ضمن هذه البيئة المعقدة؟ في الأسواق غير المكتملة، حيث لا يمكن التحوط من المخاطر بشكل مثالي، لا توجد طريقة فريدة واحدة لاختيار مقياس التسعير. ركز الفريق على طريقة محددة تسمى "تحويل إيسر" (Essler transform)، والتي تعدل احتمالات النتائج المختلفة لضمان اتساق النموذج مع غياب فرص المراجحة. ويعد الاكتشاف الكبير في عملهم هو أن هذا التعديل يمكن إجراؤه دون تدمير بنية النموذج. فقد أثبتوا أنه من خلال تغيير بعض المعلمات (parameters) التي تتحكم في سلوك الذيول، يمكنهم تغيير مقياس التسعير مع ترك الطبيعة ذاتية التحفيز لساعة "هوكز" دون مساس تماماً. وهذا يعني أن سلوك "التكتل" في السوق يظل محفوظاً كخاصية جوهرية للسوق، وليس مجرد نتاج لطريقة التسعير.

ولجعل النموذج يعمل في عملية التسعير، قدمت المؤلفة علاوة مخاطرة تتناسب طردياً مع الكثافة الحالية للسوق. أدى هذا الخيار المحدد إلى تبسيط مذهل: حيث تقلص الشرط المطلوب لجعل النموذج متسقاً رياضياً إلى معادلة واحدة لا تعتمد على المعلمات المحددة لعملية "هوكز". بعبارة أخرى، فإن التعديل اللازم لتسعير الأصل بشكل صحيح يتحدد فقط من خلال خصائص القفزات نفسها، وليس بكيفية تولد إثارة السوق. يتيح هذا الاكتشاف حلاً فريداً ضمن فئة معينة من المقاييس، والتي حددتها المؤلفة بأنها "مقياس مارنتجال لإنتروبيا الحد الأدنى الحافظ للنموذج" (model-preserving minimal entropy martingale measure). هذا المقياس خاص لأنه يقدم أقل قدر من "المفاجأة" أو الانحراف عن نموذج السوق الأصلي مع الاستمرار في تلبية قواعد التسعير الضرورية. ويتضمن كثافة هذا المقياس حداً عشوائياً محدداً يأخذ في الاعتبار تقلبات الكثافة المتكاملة، مما يلتقط عشوائية الساعة نفسها.

كما استكشفت الدراسة ما يحدث عندما يسمح الباحثون بمزيد من المرونة باستخدام تعديل بمعلمتين بدلاً من معلمة واحدة. ووجدوا أن الطريقة الأكثر كفاءة لتقليل الإنتروبيا في هذا السياق الأوسع تتضمن تعديل الذيول الإيجابية والسلبية لتوزيع القفزات بشكل مختلف، بدلاً من معاملتها بشكل متماثل. ينتج عن هذا الحل ذي المعلمتين إنتروبيا أقل قليلاً من نسخة المعلمة الواحدة، مما يشير إلى ملاءمة أكثر دقة، رغم أنه لا يقع على القطر حيث تكون المعلمتان متساويتين. وعندما طبقت المؤلفة هذه النتيات لحساب أسعار خيارات الشراء الأوروبية القياسية، قارنت نتائجها الدقيقة بتقدير شائع يُعرف باسم "نهج المجال المتوسط" (mean-field approach). يبسط منهج المجال المتوسط المسألة بافتراض أن كثافة السوق ثابتة وتساوي قيمتها المتوسطة. وقد أظهر الباحثون أن هذا التبسيط غير كافٍ؛ حيث أظهرت حساباتهم الدقيقة أن أسعار الخيارات تعتمد بشكل كبير على المعلمات المحددة التي تحكم إثارة السوق، مثل مدى قوة تأثير حدث واحد على الآخر.

وفي الاختبارات العددية باستخدام معلمات مرجعية، كان الفرق بين النموذج الدقيق وتقدير المجال المتوسط ملموساً وذا دلالة. فبالنسبة لخيار قياسي بمدة استحقاق سنة واحدة، انخفض سعر الخيار الدقيق مع زيادة "نسبة التفرع" (branching ratio) — وهي مقياس لمدى إثارة حدث واحد للحدث التالي. فعلى سبيل المثال، أدى رفع مستوى الإثارة من الصفر إلى مستوى عالٍ جداً إلى انخفاض سعر الخيار بنسبة تقارب 2.6 بالمائة مقارنة بتنبؤ المجال المتوسط. يحدث هذا لأن الإثارة العالية تنشر توزيع ساعة الوقت بشكل أوسع حول متوسطها، وتتفاعل صيغة التسعير مع هذا الانتشار بطريقة غير خطية. إن تقريب المجال المتوسط، من خلال تجاهله لهذه التقلبات، يفشل في التقاط هذا التأثير. وتخلص المؤلفة إلى أنه بينما يحافظ نموذجها على البنية الأساسية للسوق ويوفر مقياس تسعير فريداً وفعالاً، فإن تفاصيل كيفية تطور إثارة السوق تهم بعمق لعملية التقييم. وتقترح أن العمل المستقبلي يمكن أن يوسع هذا الإطار ليشمل سيناريوهات أكثر تعقيداً، مثل النماذج التي تحفز فيها قفزات الأسعار نفسها مزيداً من الكثافة، أو معايرة هذه النماذج مقابل بيانات السوق الحقيقية لمعرفة مدى أدائها في الممارسة العملية.