A CGMY-Hawkes Clock Model: Esscher Martingale Measures and Model-Preserving Minimal Entropy under Self-Exciting Jump Activity

En el mundo de las finanzas, predecir cómo se mueven los precios de los activos es una lucha constante contra lo impredecible. Los modelos tradicionales suelen asumir que los cambios de precios ocurren de manera fluida e independiente, como gotas de lluvia cayendo a un ritmo constante. Sin embargo, los mercados reales se comportan de manera diferente. Son propensos a estallidos repentinos y violentos de actividad donde grandes oscilaciones de precios llegan en grupos, uno tras otro, en lugar de de forma aislada. Este fenómeno, conocido como agrupación de saltos (jump clustering), crea una distribución de colas pesadas, lo que significa que los eventos extremos ocurren con mucha más frecuencia de lo que predicen las teorías estándar. Para capturar esta realidad, los investigadores han dependido durante mucho tiempo de dos herramientas matemáticas distintas. Una herramienta, el proceso CGMY, es excelente para describir el tamaño y la frecuencia de estos saltos, dando cuenta de las colas pesadas y la "probabilidad gorda" de movimientos extremos. La otra herramienta, el proceso de Hawkes, está diseñada para modelar la autoexcitación, donde un evento desencadena una mayor probabilidad de que ocurra otro evento poco después, creando los estallidos de actividad observados. Durante años, estos dos conceptos existieron en silos separados, y combinarlos en un modelo único y funcional para la valoración de activos financieros como las opciones había representado un desafío significativo.

Un nuevo estudio de Imen Ben Abdelwahed cierra esta brecha introduciendo un marco unificado llamado modelo de reloj CGMY–Hawkes. La idea central es tratar el tiempo mismo como una variable que se acelera y se desacelera según la actividad del mercado. Imagine un reloj estándar marcando el paso del tiempo; en este modelo, ese reloj es reemplazado por un "reloj estocástico" que corre más rápido cuando el mercado está agitado y más lento cuando está tranquilo. Este reloj es impulsado por el proceso de Hawkes, que dicta la intensidad de la actividad del mercado. Los movimientos de precios reales son entonces generados por el proceso CGMY, pero se evalúan no contra el reloj estándar, sino contra este reloj variable y autoexcitante. El resultado es un modelo donde los saltos en los precios se agrupan naturalmente porque el reloj se acelera durante los períodos de alta intensidad, mientras que la ley estadística que gobierna el tamaño de cada salto individual permanece constante. Este enfoque permite al modelo capturar la realidad desordenada y agrupada de los mercados financieros, manteniendo al mismo tiempo la tractabilidad matemática necesaria para su utilidad en la valoración.

Los investigadores abordaron entonces una pregunta crítica: ¿cómo asignamos un precio justo a los contratos financieros, como las opciones europeas, dentro de este entorno complejo? En mercados incompletos, donde los riesgos no pueden cubrirse perfectamente, no existe una única forma de elegir una medida de valoración. El equipo se centró en un método específico llamado transformada de Esscher, que ajusta las probabilidades de los diferentes resultados para asegurar que el modelo sea consistente con la ausencia de oportunidades de arbitraje. Un gran avance en su trabajo es el descubrimiento de que este ajuste puede realizarse sin destruir la estructura del modelo. Demostraron que, al desplazar ciertos parámetros que controlan el comportamiento de las colas de los saltos, podían cambiar la medida de valoración dejando intacta la naturaleza autoexcitante subyacente del reloj de Hawkes. Esto significa que el comportamiento de "agrupación" del mercado se preserva como una propiedad fundamental del propio mercado, en lugar de ser un artefacto del método de valoración.

Para que el modelo funcione para la valoración, la autora introdujo una prima de riesgo que es proporcional a la intensidad actual del mercado. Esta elección específica condujo a una simplificación sorprendente: la condición requerida para hacer que el modelo sea matemáticamente consistente se redujo a una sola ecuación que no depende de los parámetros específicos del proceso de Hawkes. En otras palabras, el ajuste necesario para valorar correctamente el activo está determinado únicamente por las características de los propios saltos, no por cómo se genera la excitación del mercado. Este hallazgo permite una solución única dentro de una clase específica de medidas, que la autora identifica como la medida de martingala de entropía mínima que preserva el modelo. Esta medida es especial porque introduce la menor cantidad de "sorpresa" o desviación del modelo de mercado original, cumpliendo al mismo tiempo con las reglas de valoración necesarias. La densidad de esta medida incluye un término estocástico específico que da cuenta de las fluctuaciones de la intensidad integrada, capturando la aleatoriedad del propio reloj.

El estudio también exploró qué sucede cuando los investigadores permiten más flexibilidad utilizando un ajuste de dos parámetros en lugar de uno solo. Encontraron que la forma más eficiente de minimizar la entropía en este escenario más amplio implica ajustar las colas positiva y negativa de la distribución de saltos de manera diferente, en lugar de tratarlas simétricamente. Esta solución de dos parámetros produce una entropia ligeramente menor que la versión de un solo parámetro, lo que indica un ajuste más preciso, aunque no se localiza en la diagonal donde los parámetros son iguales. Cuando la autora aplicó estos hallazgos para calcular los precios de las opciones europeas de compra (call) estándar, comparó sus resultados exactos contra una aproximación común conocida como el enfoque de campo medio (mean-field). El método de campo medio simplifica el problema asumiendo que la intensidad del mercado es constante e igual a su valor promedio. Los investigadores demostraron que esta simplificación es insuficiente. Sus cálculos exactos mostraron que los precios de las opciones dependen significativamente de los parámetros específicos que gobiernan la excitación del mercado, como la fuerza con la que un evento desencadena al siguiente.

En pruebas numéricas utilizando parámetros de referencia, la diferencia entre el modelo exacto y la aproximación de campo medio fue mensurable y significativa. Para una opción estándar con un año de vencimiento, el precio exacto disminuía a medida que aumentaba la razón de ramificación (branching ratio)—la medida de cuánto un evento excita al siguiente. Por ejemplo, con un conjunto específico de parámetros, aumentar el nivel de excitación de cero a un nivel muy alto causó que el precio de la opción cayera aproximadamente un 2,6 por ciento en comparación con la predicción de campo medio. Esto ocurre porque una mayor excitación dispersa la distribución del reloj de tiempo de manera más amplia alrededor de su promedio, y la fórmula de valoración reacciona a esta dispersión de forma no lineal. La aproximación de campo medio, al ignorar estas fluctuaciones, no logra capturar este efecto. La autora concluye que, si bien su modelo preserva la estructura esencial del mercado y proporciona una medida de valoración única y eficiente, los detalles de cómo evoluciona la excitación del mercado importan profundamente para la valoración. Sugieren que el trabajo futuro podría extender este marco a escenarios más complejos, como modelos donde los propios saltos de precios desencadenan una mayor intensidad, o a la calibración de estos modelos frente a datos de mercado del mundo real para ver cómo funcionan en la práctica.