A CGMY-Hawkes Clock Model: Esscher Martingale Measures and Model-Preserving Minimal Entropy under Self-Exciting Jump Activity

No mundo das finanças, prever como os preços dos ativos se movem é uma luta constante contra o imprevisível. Os modelos tradicionais costumam assumir que as mudanças de preço ocorrem de forma suave e independente, como gotas de chuva caindo a um ritmo constante. No entanto, os mercados reais comportam-se de forma diferente. Eles são propensos a surtos súbitos e violentos de atividade, onde grandes oscilações de preços chegam em agrupamentos, um após o outro, em vez de isoladamente. Este fenômeno, conhecido como agrupamento de saltos (jump clustering), cria uma distribuição de cauda pesada, o que significa que eventos extremos ocorrem com muito mais frequência do que as teorias padrão preveem. Para capturar essa realidade, pesquisadores há muito dependem de duas ferramentas matemáticas distintas. Uma ferramenta, o processo CGMY, é excelente para descrever o tamanho e a frequência desses saltos, levando em conta as caudas pesadas e a probabilidade "gorda" de movimentos extremos. A outra ferramenta, o processo de Hawkes, é projetada para modelar a autoexcitação, onde um evento desencadeia uma maior probabilidade de outro evento acontecer logo em seguida, criando os surtos de atividade observados. Durante anos, esses dois conceitos existiram em silos separados, e combiná-los em um único modelo viável para precificar ativos financeiros, como opções, permaneceu um desafio significativo.

Um novo estudo de Imen Ben Abdelwahed preenche essa lacuna ao introduzir um framework unificado chamado modelo de relógio CGMY–Hawkes. A ideia central é tratar o próprio tempo como uma variável que acelera e desacelera com base na atividade do mercado. Imagine um relógio padrão marcando a passagem do tempo; neste modelo, esse relógio é substituído por um "relógio estocástico" que corre mais rápido quando o mercado está agitado e mais devagar quando está calmo. Este relógio é impulsionado pelo processo de Hawkes, que dita a intensidade da atividade do mercado. Os movimentos reais de preço são então gerados pelo processo CGMY, mas são avaliados não em relação ao relógio padrão, mas em relação a este relógio variável e autoexcitável. O resultado é um modelo onde os saltos nos preços naturalmente se agrupam porque o relógio acelera durante períodos de alta intensidade, enquanto a lei estatística que governa o tamanho de cada salto individual permanece consistente. Esta abordagem permite que o modelo capture a realidade desordenada e agrupada dos mercados financeiros, mantendo-se matematicamente tratável o suficiente para ser útil para a precificação.

Os pesquisadores então abordaram uma questão crítica: como atribuir um preço justo a contratos financeiros, como opções europeias, dentro deste ambiente complexo? Em mercados incompletos, onde os riscos não podem ser perfeitamente protegidos (hedged), não existe uma única maneira única de escolher uma medida de precificação. A equipe focou em um método específico chamado transformada de Esscher, que ajusta as probabilidades de diferentes resultados para garantir que o modelo seja consistente com a ausência de oportunidades de arbitragem. Uma grande descoberta em seu trabalho é que este ajuste pode ser feito sem destruir a estrutura do modelo. Eles provaram que, ao deslocar certos parâmetros que controlam o comportamento de cauda dos saltos, poderiam alterar a medida de precificação deixando a natureza autoexcitável subjacente do relógio de Hawkes completamente intocada. Isso significa que o comportamento de "agrupamento" do mercado é preservado como uma propriedade fundamental do próprio mercado, e não como um artefato do método de precificação.

Para fazer o modelo funcionar para a precificação, a autora introduziu um prêmio de risco que é proporcional à intensidade atual do mercado. Esta escolha específica levou a uma simplificação surpreendente: a condição necessária para tornar o modelo matematicamente consistente reduziu-se a uma única equação que não depende dos parâmetros específicos do processo de Hawkes. Em outras palavras, o ajuste necessário para precificar o ativo corretamente é determinado apenas pelas características dos próprios saltos, não por como o entusiasmo do mercado é gerado. Esta descoberta permite uma solução única dentro de uma classe específica de medidas, que a autora identifica como a medida de martingala de entropia mínima que preserva o modelo. Esta medida é especial porque introduz a menor quantidade de "surpresa" ou desvio do modelo de mercado original, ao mesmo tempo em que satisfaz as regras de precificação necessárias. A densidade desta medida inclui um termo estocástico específico que contabiliza as flutuações da intensidade integrada, capturando a aleatoriedade do próprio relógio.

O estudo também explorou o que acontece quando os pesquisadores permitem mais flexibilidade ao usar um ajuste de dois parâmetros em vez de um único parâmetro. Eles descobriram que a maneira mais eficiente de minimizar a entropia neste cenário mais amplo envolve ajustar as caudas positiva e negativa da distribuição de saltos de forma diferente, em vez de tratá-las simetricamente. Esta solução de dois parâmetros produz uma entropia ligeiramente menor do que a versão de um único parâmetro, indicando um ajuste mais preciso, embora não esteja localizada na diagonal onde os parâmetros são iguais. Quando a autora aplicou estas descobertas para calcular os preços de opções de compra (call) europeias padrão, ela comparou seus resultados exatos contra uma aproximação comum conhecida como abordagem de campo médio (mean-field). O método de campo médio simplifica o problema assumindo que a intensidade do mercado é constante e igual ao seu valor médio. Os pesquisadores demonstraram que esta simplificação é insuficiente. Seus cálculos exatos mostraram que os preços das opções dependem significamente dos parâmetros específicos que governam a excitação do mercado, como a força com que um evento desencadeia o próximo.

Em testes numéricos usando parâmetros de referência, a diferença entre o modelo exato e a aproximação de campo médio foi mensurável e significativa. Para uma opção padrão com maturidade de um ano, o preço exato diminuiu à medida que a razão de ramificação (branching ratio) — a medida de quanto um evento excita o próximo — aumentou. Por exemplo, com um conjunto específico de parâmetros, aumentar o nível de excitação de zero para um nível muito alto fez com que o preço da opção caísse aproximadamente 2,6 por cento em relação à previsão de campo médio. Isso ocorre porque a maior excitação espalha a distribuição do relógio de tempo de forma mais ampla em torno de sua média, e a fórmula de precificação reage a este espalhamento de forma não linear. A aproximação de campo médio, ao ignorar estas flutuações, falha em capturar este efeito. A autora conclui que, embora seu modelo preserve a estrutura essencial do mercado e forneça uma medida de precificação única e eficiente, os detalhes de como o entusiasmo do mercado evolui importam profundamente para a avaliação. Eles sugerem que trabalhos futuros poderiam estender este framework para cenários mais complexos, como modelos onde os próprios saltos de preço desencadeiam nova intensidade, ou para a calibração destes modelos contra dados reais de mercado para ver o quão bem eles desempenham na prática.