A CGMY-Hawkes Clock Model: Esscher Martingale Measures and Model-Preserving Minimal Entropy under Self-Exciting Jump Activity

Dans le monde de la finance, prédire comment les prix des actifs évoluent est une lutte constante contre l'imprévisible. Les modèles traditionnels supposent souvent que les variations de prix se produisent de manière fluide et indépendante, comme des gouttes de pluie tombant à un rythme régulier. Cependant, les marchés réels se comportent différemment. Ils sont sujets à des poussées soudaines et violentes d'activité où de grands mouvements de prix arrivent par grappes, les uns après les autres, plutôt qu'en isolation. Ce phénomène, connu sous le nom de regroupement de sauts (jump clustering), crée une distribution à queues épaisses, ce qui signifie que les événements extrêmes surviennent bien plus souvent que ne le prédisent les théories standards. Pour capturer cette réalité, les chercheurs s'appuient depuis longtemps sur deux outils mathématiques distincts. Un outil, le processus CGMY, est excellent pour décrire la taille et la fréquence de ces sauts, rendant compte des queues épaisses et de la probabilité élevée de mouvements extrêmes. L'autre outil, le processus de Hawkes, est conçu pour modéliser l'auto-excitation, où un événement déclenche une probabilité plus élevée qu'un autre événement se produise peu de temps après, créant ainsi les poussées d'activité observées. Pendant des années, ces deux concepts ont existé dans des silos séparés, et les combiner en un modèle unique et exploitable pour évaluer des actifs financiers comme les options était resté un défi important.

Une nouvelle étude menée par Imen Ben Abdelwahed comble ce fossé en introduisant un cadre unifié appelé le modèle d'horloge CGMY–Hawkes. L'idée centrale est de traiter le temps lui-même comme une variable qui s'accélère et ralentit en fonction de l'activité du marché. Imaginez une horloge standard marquant le passage du temps ; dans ce modèle, cette horloge est remplacée par une « horloge stochastique » qui tourne plus vite lorsque le marché est agité et plus lentement lorsqu'il est calme. Cette horloge est pilotée par le processus de Hawkes, qui dicte l'intensité de l'activité du marché. Les mouvements de prix réels sont ensuite générés par le processus CGMY, mais ils sont évalués non pas par rapport à l'horloge standard, mais par rapport à cette horloge auto-excitée et variable. Le résultat est un modèle où les sauts de prix se regroupent naturellement car l'horloge s'accélère pendant les périodes de haute intensité, tandis que la loi statistique régissant la taille de chaque saut individuel reste cohérente. Cette approche permet au modèle de capturer la réalité désordonnée et groupée des marchés financiers tout en restant mathématiquement traitable pour l'évaluation.

Les chercheurs ont ensuite abordé une question critique : comment attribuer un prix juste à des contrats financiers, tels que les options européennes, dans cet environnement complexe ? Dans les marchés incomplets, où les risques ne peuvent pas être parfaitement couverts, il n'existe pas de manière unique de choisir une mesure de prix. L'équipe s'est concentrée sur une méthode spécifique appelée la transformée d'Esscher, qui ajuste les probabilités de différents résultats pour garantir que le modèle est cohérent avec l'absence d'opportunités d'arbitrage. Une avancée majeure de leur travail est la découverte que cet ajustement peut être effectué sans détruire la structure du modèle. Ils ont prouvé qu'en décalant certains paramètres qui contrôlent le comportement des queues, ils pouvaient changer la mesure de prix tout en laissant la nature auto-excitante de l'horloge de Hawkes totalement intacte. Cela signifie que le comportement de « regroupement » du marché est préservé comme une propriété fondamentale du marché lui-même, plutôt que comme un artefact de la méthode de tarification.

Pour rendre le modèle utilisable pour l'évaluation, l'auteur a introduit une prime de risque proportionnelle à l'intensité actuelle du marché. Ce choix spécifique a conduit à une simplification surprenante : la condition requise pour rendre le modèle mathématiquement cohérent s'est réduite à une seule équation qui ne dépend pas des paramètres spécifiques du processus de Hawkes. En d'autres termes, l'ajustement nécessaire pour évaluer correctement l'actif est déterminé uniquement par les caractéristiques des sauts eux-mêmes, et non par la manière dont l'excitation du marché est générée. Cette découverte permet d'obtenir une solution unique au sein d'une classe spécifique de mesures, que l'auteur identifie comme la mesure de martingale à entropie minimale préservant le modèle. Cette mesure est spéciale car elle introduit le moins de « surprise » ou de déviation par rapport au modèle de marché original tout en satisfaisant les règles de tarification nécessaires. La densité de cette mesure inclut un terme stochastique spécifique qui rend compte des fluctuations de l'intensité intégrée, capturant ainsi l'aléa de l'horloge elle-même.

L'étude a également exploré ce qui se passe lorsque les chercheurs autorisent plus de flexibilité en utilisant un ajustement à deux paramètres au lieu d'un seul. Ils ont découvert que la manière la plus efficace de minimiser l'entropie dans ce cadre plus large implique d'ajuster différemment les queues positives et négatives de la distribution des sauts, plutôt que de les traiter de manière symétrique. Cette solution à deux paramètres produit une entropie légèrement plus faible que la version à un paramètre, indiquant un ajustement plus précis, bien qu'elle ne soit pas située sur la diagonale où les paramètres sont égaux. Lorsque l'auteur a appliqué ces résultats pour calculer les prix d'options d'achat européennes standards, il a comparé ses résultats exacts à une approximation courante appelée approche de champ moyen (mean-field). La méthode de champ moyen simplifie le problème en supposant que l'intensité du marché est constante et égale à sa valeur moyenne. Les chercheurs ont démontré que cette simplification est insuffisante. Leurs calculs exacts ont montré que les prix des options dépendent de manière significative des paramètres spécifiques qui régissent l'excitation du marché, comme la force avec laquelle un événement en déclenche un autre.

Dans des tests numériques utilisant des paramètres de référence, la différence entre le modèle exact et l'approximation de champ moyen était mesurable et significative. Pour une option standard avec une maturité d'un an, le prix exact diminuait à mesure que le ratio de branchement — la mesure de l'excitation d'un événement par un autre — augmentait. Par exemple, avec un ensemble spécifique de paramètres, augmenter le niveau d'excitation d'un niveau zéro à un niveau très élevé faisait chuter le prix de l'option d'environ 2,6 % par rapport à la prédiction de champ moyen. Cela se produit parce qu'une excitation plus élevée propage la distribution de l'horloge temporelle plus largement autour de sa moyenne, et la formule de prix réagit à cet étalement de manière non linéaire. L'approximation de champ moyen, en ignorant ces fluctuations, échoue à capturer cet effet. L'auteur conclut que, bien que son modèle préserve la structure essentielle du marché et fournisse une mesure de prix unique et efficace, les détails de l'évolution de l'excitation du marché comptent profondément pour l'évaluation. Il suggère que des travaux futurs pourraient étendre ce cadre à des scénarios plus complexes, tels que des modèles où les sauts de prix déclenchent eux-mêmes une nouvelle intensité, ou à la calibration de ces modèles par rapport aux données réelles du marché pour voir comment ils se comportent en pratique.