A CGMY-Hawkes Clock Model: Esscher Martingale Measures and Model-Preserving Minimal Entropy under Self-Exciting Jump Activity

금융 세계에서 자산 가격의 움직임을 예측하는 것은 예측 불가능함에 맞선 끊임없는 투쟁입니다. 전통적인 모델들은 종종 가격 변화가 마치 일정한 속도로 떨어지는 빗방울처럼 매끄럽고 독립적으로 발생한다고 가정합니다. 그러나 실제 시장은 다르게 행동합니다. 시장은 갑작스럽고 격렬한 활동의 폭발이 일어나기 쉬우며, 이로 인해 큰 가격 변동이 고립되어 나타나기보다는 연쇄적으로 발생하는 '클러스터(군집)' 현상을 보입니다. 점프 클러스터링(jump clustering)이라고 알려진 이 현상은 수익률의 두꺼운 꼬리 분포(heavy-tailed distribution)를 만들어내며, 이는 극단적인 사건이 표준 이론이 예측하는 것보다 훨씬 더 자주 발생함을 의미합니다. 이러한 현실을 포착하기 위해 연구자들은 오랫동안 두 가지 별개의 수학적 도구에 의존해 왔습니다. 하나인 CGMY 프로세스는 점프의 크기와 빈도를 설명하는 데 탁월하며, 두꺼운 꼬리와 극단적인 움직임의 높은 확률을 반영합니다. 다른 도구인 호크스 프로세스(Hawkes process)는 한 사건이 곧이어 다른 사건이 발생할 가능성을 높이는 자기 흥분(self-excitation) 현상을 모델링하도록 설계되었으며, 이를 통해 관찰되는 활동의 폭발을 만들어냅니다. 수년 동안 이 두 개념은 서로 분리된 영역에 존재해 왔으며, 옵션과 같은 금융 자산의 가격을 책정하기 위해 이들을 하나의 실행 가능한 모델로 결합하는 것은 중대한 과제로 남아 있었습니다.

이먼 벤 압델와헤드(Imen Ben Abdelwahed)의 새로운 연구는 'CGMY-호크스 시계(CGMY–Hawkes clock)' 모델이라는 통합된 프레임워크를 도입함으로써 이 간극을 메웁니다. 핵심 아이디어는 시간 그 자체를 시장 활동에 따라 빨라지거나 느려지는 변수로 취급하는 것입니다. 표준 시계가 시간의 흐름을 일정하게 기록한다고 상상해 보십시오. 이 모델에서는 이 시계가 시장이 요동칠 때는 빨라지고 평온할 때는 느려지는 '확률적 시계(stochastic clock)'로 대체됩니다. 이 시계는 시장의 강도를 결정하는 호크스 프로세스에 의해 구동됩니다. 실제 가격 움직임은 CGMY 프로세스에 의해 생성되지만, 이는 표준 시계가 아니라 이 가변적이고 자기 흥분적인 시계를 기준으로 평가됩니다. 그 결과, 가격의 점프는 시계가 고강도 기간 동안 빨라지기 때문에 자연스럽게 서로 뭉치게 되며, 개별 점프의 크기를 지배하는 통계적 법칙은 일관되게 유지됩니다. 이 접근 방식은 금융 시장의 무질서하고 군집된 현실을 포착하면서도, 가격 책정에 유용할 만큼 수학적으로 다루기 쉬운 상태를 유지합니다.

그 후 연구진은 다음과 같은 중요한 질문을 던졌습니다: 이 복잡한 환경 내에서 유럽형 옵션과 같은 금융 계약에 어떻게 공정한 가격을 부여할 것인가? 위험을 완벽하게 헤지할 수 없는 불완전 시장에서는 모델의 척도를 선택하는 단 하나의 유일한 방법이 존재하지 않습니다. 연구팀은 에셔 변환(Essler transform)이라 불리는 특정 방법에 집중했는데, 이는 모델이 차익 거래 기회가 없는 상태와 일치하도록 다양한 결과의 확률을 조정하는 방식입니다. 이들의 작업에서 주요한 돌파구는 이러한 조정이 모델의 구조를 파괴하지 않고 수행될 수 있다는 발견입니다. 그들은 점프의 꼬리 행동을 제어하는 특정 매개변수들을 이동시킴으로써, 호크스 시계의 본질적인 자기 흥분 특성은 전혀 건드리지 않은 채 가격 척도를 변경할 수 있음을 증명했습니다. 이는 시장의 '클러스터링' 행동이 가격 책정 방식의 부산물이 아니라, 시장 자체의 근본적인 속성으로서 보존됨을 의미합니다.

모델을 가격 책정에 적용하기 위해 저자는 시장 강도에 비례하는 위험 프리미엄을 도입했습니다. 이 특정 선택은 놀라운 단순화를 가져왔습니다: 모델을 수학적으로 일관되게 만드는 조건이 호크스 프로세스의 특정 매개변수에 의존하지 않는 단 하나의 방정식으로 축소되었습니다. 즉, 자산을 올바르게 가격 책정하기 위해 필요한 조정은 시장의 흥분이 어떻게 생성되는지가 아니라, 점프 자체의 특성에 의해서만 결정된다는 것입니다. 이 발견은 특정 클래스의 척도 내에서 유일한 해를 허용하며, 저자는 이를 '모델 보존 최소 엔트로피 마틴게일 척도(model-preserving minimal entropy martingale measure)'라고 명명했습니다. 이 척도는 원래의 시장 모델로부터 발생하는 '놀라움'이나 편차를 최소화하면서도 필요한 가격 책정 규칙을 충족한다는 점에서 특별합니다. 이 척도의 밀도 함수에는 시계 자체의 무작위성을 포착하기 위해 적분된 강도의 변동을 설명하는 특정 확률적 항이 포함되어 있습니다.

연구는 또한 연구자들이 단일 매개변수 조정 대신 두 개의 매개변수를 사용하는 더 유연한 설정을 허용했을 때 어떤 일이 일어나는지 탐구했습니다. 그들은 더 넓은 설정에서 엔트로피를 최소화하는 가장 효율적인 방법은 점프 분포의 양(+)과 음(-)의 꼬리를 대칭적으로 다루는 것이 아니라 다르게 조정하는 것임을 발견했습니다. 이 두 매개변수 솔루션은 단일 매개변수 버전보다 약간 더 낮은 엔트로피를 산출하며, 이는 두 매개변수가 같아지는 대각선 상에 위치하지 않음을 나타냅니다. 저자가 이 발견을 표준 유럽형 콜 옵션 가격 계산에 적용했을 때, 연구진은 그 정확한 결과값을 '평균장(mean-field)' 접근법이라 불리는 일반적인 근사치와 비교했습니다. 평균장 방법은 시장 강도가 평균값과 동일하다고 가정하여 문제를 단순화합니다. 연구진은 이러한 단순화가 불충분하다는 것을 입증했습니다. 그들의 정확한 계산에 따르면, 옵션 가격은 한 사건이 다음 사건을 얼마나 강하게 유발하는지와 같은 시장의 흥분을 결정하는 특정 매개변수들에 따라 유의미하게 달라집니다.

벤치마크 매개변수를 사용한 수치 테스트에서, 정확한 모델과 평균장 근사치 사이의 차이는 측정 가능하고 의미 있는 수준이었습니다. 1년 만기인 표준 옵션의 경우, 정확한 모델의 가격은 분지비(branching ratio, 한 사건이 다음 사건을 얼마나 흥분시키는지에 대한 척도)가 증가함에 따라 감소했습니다. 예를 들어, 특정 매개변수 세트에서 흥분 수준을 0에서 매우 높은 수준으로 높이면, 옵션 가격은 평균장 예측에 비해 약 2.6% 하락합니다. 이는 높은 흥분이 시간 시계의 분포를 평균 주변으로 더 넓게 퍼뜨리기 때문이며, 가격 공식은 이러한 확산에 대해 비선형적으로 반응합니다. 평균장 근사는 이러한 변동을 무시함으로써 이 효과를 포착하지 못합니다. 저자는 자신의 모델이 시장의 필수적인 구조를 보존하고 유일하며 효율적인 가격 척도를 제공하지만, 시장의 흥분이 어떻게 진화하는지에 대한 세부 사항이 가치 평가에 매우 중요하다는 결론을 내립니다. 그들은 향후 연구가 가격 점프 자체가 추가적인 강도를 유발하는 모델이나, 이 모델을 실제 시장 데이터에 맞춰 보정(calibration)하여 실제 시장에서 얼마나 잘 작동하는지 확인하는 등의 더 복잡한 시나리오로 확장될 수 있음을 시사합니다.