A CGMY-Hawkes Clock Model: Esscher Martingale Measures and Model-Preserving Minimal Entropy under Self-Exciting Jump Activity

In de wereld van de financiële sector is het voorspellen van de bewegingen van activaprijzen een constante strijd tegen het onvoorspelbare. Traditionele modellen gaan er vaak van uit dat prijsveranderingen vloeiend en onafhankelijk plaatsvinden, zoals regendruppels die met een gestage snelheid vallen. De werkelijke markten gedragen zich echter anders. Ze zijn gevoelig voor plotselinge, gewelddadige uitbarstingen van activiteit waarbij grote prijsschommelingen in clusters verschijnen, één na de andere, in plaats van geïsoleerd te voorkomen. Dit fenomeen, bekend als jump clustering (sprongclustering), creëert een heavy-tailed distributie van rendementen, wat betekent dat extreme gebeurtenissen veel vaker voorkomen dan standaardtheorieën voorspellen. Om deze realiteit te vatten, hebben onderzoekers zich lang beroepen op twee afzonderlijke wiskundige instrumenten. Het ene instrument, het CGMY-proces, is uitstekend in het beschrijven van de omvang en frequentie van deze sprongen, waarbij rekening wordt gehouden met de heavy tails en de "vette" waarschijnlijkheid van extreme bewegingen. Het andere instrument, het Hawkes-proces, is ontworpen om zelfexcitatie te modelleren, waarbij een gebeurtenis de kans vergroot dat er kort daarna een andere gebeurtenis plaatsvindt, wat de geobserveerde uitbarstingen van activiteit creëert. Jarenlang bestonden deze twee concepten in aparte silo's, en het combineren ervan tot één werkbaar model voor het prijzen van financiële activa zoals opties bleef een aanzienlijke uitdaging.

Een nieuwe studie door Imen Ben Abdelwahed overbrugt deze kloof door een verenigd kader te introduceren genaamd het CGMY–Hawkes klokmodel. Het kernidee is om de tijd zelf te behandelen als een variabele die versnelt en vertraagt op basis van de marktactiviteit. Stel je een standaardklok voor die de passage van de tijd bijhoudt; in dit model wordt die klok vervangen door een "stochastische klok" die sneller loopt wanneer de markt onrustig is en langzamer wanneer de markt rustig is. Deze klok wordt aangedreven door het Hawkes-proces, dat de intensiteit van de marktactiviteit bepaalt. De werkelijke prijsbewegingen worden vervolgens gegenereerd door het CGMY-proces, maar deze worden niet geëvalueerd tegen de standaardklok, maar tegen deze variabele, zelfexciterende klok. Het resultaat is een model waarin de sprongen in prijs natuurlijk samenklonteren omdat de klok versnelt tijdens perioden van hoge intensiteit, terwijl de statistische wet die de omvang van elke individuele sprong beheerst, consistent blijft. Deze aanpak stelt het model in staat om de rommelige, geclusterde realiteit van financiële markten te vatten, terwijl het wiskundig hanteerbaar blijft voor prijsbepaling.

De onderzoekers pakten vervolgens een cruciale vraag aan: hoe kennen we een eerlijke prijs toe aan financiële contracten, zoals Europese opties, binnen deze complexe omgeving? In incomplete markten, waar risico's niet perfect kunnen worden afgedekt, is er geen enkele unieke manier om een prijsmaatstaf te kiezen. Het team richtte zich op een specifieke methode genaamd de Esscher-transformatie, die de waarschijnlijkheden van verschillende uitkomsten aanpast om ervoor te zorgen dat het model consistent is met de afwezigheid van arbitragekansen. Een grote doorbraak in hun werk is de ontdekking dat deze aanpassing kan worden gedaan zonder de structuur van het model te vernietigen. Ze bewezen dat door bepaalde parameters die het gedrag van de staarten (tails) van de sprongen controleren te verschuiven, zij de prijsmaatstaf konden veranderen terwijl de onderliggende zelfexciterende aard van de Hawkes-klok volledig onaangetast bleef. Dit betekent dat het "clustering"-gedrag van de markt behouden blijft als een fundamentele eigenschap van de markt zelf, in plaats van een artefact van de prijsbepalingsmethode.

Om het model bruikbaar te maken voor prijsbepaling, introduceerde de auteur een risicopremie die proportioneel is aan de huidige intensiteit van de markt. Deze specifieke keuze leidde tot een verrassende vereenvoudiging: de voorwaarde die vereist is om het model wiskundig consistent te maken, reduceerde tot een enkele vergelijking die niet afhankelijk is van de specifieke parameters van het Hawkes-proces. Met andere woorden, de aanpassing die nodig is om het actief correct te prijzen, wordt uitsluitend bepaald door de kenmerken van de sprongen zelf, en niet door hoe de marktonrust wordt gegenereerd. Deze bevinding maakt een unieke oplossing mogelijk binnen een specifieke klasse van maten, die de auteur identificeert als de model-preserverende minimale entropie-martingaalmaat. Deze maat is bijzonder omdat deze de minste "verrassing" of afwijking introduceert ten opzichte van het oorspronkelijke markmodel, terwijl nog steeds aan de noodzakelijke prijsregels wordt voldaan. De dichtheid van deze maat bevat een specifieke stochastische term die rekening houdt met de fluctuaties van de geïntegreerde intensiteit, waarmee de willekeur van de klok zelf wordt gevangen.

De studie onderzocht ook wat er gebeurt als de onderzoekers meer flexibiliteit toestaan door een tweeparameter-aanpassing te gebruiken in plaats van een enkelvoudige aanpassing. Ze ontdekten dat de meest efficiënte manier om de entropie te minimaliseren in deze bredere setting het is om de positieve en negatieve staarten van de sprongverdeling verschillend aan te passen, in plaats van ze symmetrisch te behandelen. Deze tweeparameter-oplossing levert een iets lagere entropie op dan de enkelvoudige parameterversie, wat wijst op een nauwkeurigere passing, hoewel deze niet op de diagonaal ligt waar de parameters gelijk zijn. Wanneer de auteur deze bevindingen toepaste om de prijzen van standaard Europese callopties te berekenen, vergeleken zij hun exacte resultaten met een veelgebruikelijke benadering die bekend staat als de mean-field-benadering. De mean-field-methode vereenvoudigt het probleem door aan te nemen dat de marktintensiteit constant is en gelijk aan zijn gemiddelde waarde. De onderzoekers toonden aan dat deze vereenvoudiging onvoldoende is. Hun exacte berekeningen lieten zien dat optieprijzen significant afhangen van de specifieke parameters die de excitatie van de markt beheersen, zoals hoe sterk een gebeurtenis de volgende triggert.

In numerieke tests met benchmarkparameters was het verschil tussen het exacte model en de mean-field-benadering meetbaar en betekenisvol. Voor een standaardoptie met een looptijd van één jaar daalde de exacte prijs naarmate de branching ratio — de maatstaf voor hoeveel één gebeurtenis de volgende exciteert — toenam. Bijvoorbeeld, met een specifieke set parameters veroorzaakte het verhogen van het excitatieniveau van nul naar een zeer hoog niveau een daling van ongeveer 2,6 procent in de optieprijs vergeleken met de mean-field-voorspelling. Dit komt doordat een hogere excitatie de distributie van de tijdklok breder verspreidt rond zijn gemiddelde, en de prijsformule op deze spreiding reageert op een niet-lineaire manier. De mean-field-benadering, die deze fluctuaties negeert, slaagt er niet in dit effect te vangen. De auteur concludeert dat hoewel hun model de essentiële structuur van de markt bewaart en een unieke, efficiënte prijsmaatstaf biedt, de details van hoe de marktonrust evolueert diepgaand van belang zijn voor de waardering. Zij suggereren dat toekomstig werk dit kader kan uitbreiden naar complexere scenario's, zoals modellen waarbij de prijsprongen zelf verdere intensiteit triggeren, of naar de kalibratie van deze modellen tegen echte marktgegevens om te zien hoe goed ze in de praktijk presteren.