A CGMY-Hawkes Clock Model: Esscher Martingale Measures and Model-Preserving Minimal Entropy under Self-Exciting Jump Activity

Nel mondo della finanza, prevedere come si muovono i prezzi degli asset è una lotta costante contro l'imprevedibile. I modelli tradizionali spesso assumono che le variazioni di prezzo avvengano in modo fluido e indipendente, come gocce di pioggia che cadono a un ritmo costante. Tuttavia, i mercati reali si comportano diversamente. Sono soggetti a improvvisi e violenti scoppi di attività dove grandi oscillazioni di prezzo arrivano in gruppi, una dopo l'altra, invece che in isolamento. Questo fenomeno, noto come clustering dei salti (jump clustering), crea una distribuzione a code pesanti dei rendimenti, il che significa che gli eventi estremi accadono molto più spesso di quanto previsto dalle teorie standard. Per catturare questa realtà, i ricercatori si sono affidati da tempo a due strumenti matematici distinti. Uno strumento, il processo CGMY, è eccellente nel descrivere la dimensione e la frequenza di questi salti, tenendo conto delle code pesanti e della probabilità "grassa" di movimenti estremi. L'altro strumento, il processo di Hawkes, è progettato per modellare l'auto-eccitazione, dove un evento innesca una maggiore probabilità che un altro evento accada poco dopo, creando i ricercati scoppi di attività. Per anni, questi due concetti sono esistiti in silos separati, e combinarli in un unico modello operativo per la determinazione del prezzo di asset finanziari come le opzioni era rimasto una sfida significativa.

Un nuovo studio di Imen Ben Abdelwahed colma questo divario introducendo un quadro unificato chiamato modello a orologio CGMY–Hawkes. L'idea centrale è trattare il tempo stesso come una variabile che accelera e rallenta in base all'attività del mercato. Immaginate un orologio standard che scandisce il passare del tempo; in questo modello, quell'orologio è sostituito da un "orologio stocastico" che corre più veloce quando il mercato è agitato e più lento quando è calmo. Questo orologio è guidato dal processo di Hawkes, che detta l'intensità dell'attività di mercato. I movimenti reali dei prezzi sono quindi generati dal processo CGMY, ma sono valutati non rispetto all'orologio standard, bensì rispetto a questo orologio variabile e auto-eccitante. Il risultato è un modello in cui i salti nei prezzi si raggruppano naturalmente perché l'orologio accelera durante i periodi di alta intensità, mentre la legge statistica che governa la dimensione di ogni singolo salto rimane coerente. Questo approccio permette al modello di catturare la realtà disordinata e raggruppata dei mercati finanziari pur rimanendo matematicamente trattabile per la determinazione dei prezzi.

I ricercatori hanno poi affrontato una domanda critica: come assegniamo un prezzo equo ai contratti finanziari, come le opzioni europee, in questo ambiente complesso? Nei mercati incompleti, dove i rischi non possono essere perfettamente coperti, non esiste un unico modo per scegliere una misura di pricing. Il team si è concentrato su un metodo specifico chiamato trasformata di Esscher, che regola le probabilità di diversi esiti per garantire che il modello sia coerente con l'assenza di opportunità di arbitraggio. Una grande scoperta nel loro lavoro è che questa regolazione può essere effettuata senza distruggere la struttura del modello. Hanno dimostrato che, spostando determinati parametri che controllano il comportamento delle code dei salti, potevano cambiare la misura di pricing lasciando intatta la natura auto-eccitante dell'orologio di Hawkes. Ciò significa che il comportamento di "clustering" del mercato è preservato come una proprietà fondamentale del mercato stesso, piuttosto che come un artefatto del metodo di pricing.

Per rendere il modello utilizzabile per il pricing, l'autrice ha introdotto un premio al rischio proporzionale all'intensità attuale del mercato. Questa specifica scelta ha portato a una sorprendente semplificazione: la condizione necessaria per rendere il modello matematicamente coerente si è ridotta a un'unica equazione che non dipende dai parametri specifici del processo di Hawkes. In altre parole, la regolazione necessaria per prezzare correttamente l'asset è determinata esclusivamente dalle caratteristiche dei salti stessi, non da come viene generata l'eccitazione del mercato. Questa scoperta permette una soluzione unica all'interno di una specifica classe di misure, che l'autrice identifica come la misura di martingala a entropia minima che preserva il modello. Questa misura è speciale perché introduce il minimo grado di "sorpresa" o deviazione dal modello di mercato originale, pur soddisfacendo le regole di pricing necessarie. La densità di questa misura include un termine stocastico specifico che tiene conto delle fluttuazioni dell'intensità integrata, catturando la casualità dell'orologio stesso.

Lo studio ha anche esplorato cosa accade quando i ricercatori permettono maggiore flessibilità utilizzando una regolazione a due parametri invece di una a parametro singolo. Hanno scoperto che il modo più efficiente per minimizzare l'entropia in questo contesto più ampio prevede l'aggiustamento delle code positiva e negativa della distribuzione dei salti in modo differente, anziché trattarle simmetricamente. Questa soluzione a due parametri produce un'entropia leggermente inferiore rispetto alla versione a parametro singolo, indicando un adattamento più preciso, sebbene non si trovi sulla diagonale dove i parametri sono uguali. Quando l'autrice ha applicato queste scoperte per calcolare i prezzi di standard opzioni call europee, ha confrontato i suoi risultati esatti con un approccio comune noto come metodo mean-field. Il metodo mean-field semplifica il problema assumendo che l'intensità del mercato sia costante e uguale al suo valore medio. I ricercatori hanno dimostrato che tale semplificazione è insufficiente. I loro calcoli esatti hanno mostrato che i prezzi delle opzioni dipendono significativamente dai parametri specifici che governano l'eccitazione del mercato, come quanto fortemente un evento ne innesca un altro.

In test numerici utilizzando parametri benchmark, la differenza tra il modello esatto e l'approssimazione mean-field era misurabile e significativa. Per un'opzione standard con scadenza a un anno, il prezzo esatto diminuiva all'aumentare del rapporto di branching — la misura di quanto un evento eccita il successivo. Ad esempio, con un set specifico di parametri, aumentare il livello di eccitazione da zero a un livello molto alto ha causato una diminuzione del prezzo dell'opzione di circa il 2,6 percento rispetto alla previsione mean-field. Ciò accade perché un'eccitazione più elevata distribuisce la distribuzione dell'orologio temporale più ampiamente attorno alla sua media, e la formula di pricing reagisce a questa dispersione in modo non lineare. L'approssimazione mean-field, ignorando queste fluttuazioni, non riesce a catturare questo effetto. L'autrice conclude che, sebbene il suo modello preservi la struttura essenziale del mercato e fornisca una misura di pricing unica ed efficiente, i dettagli di come evolve l'eccitazione del mercato sono fondamentali per la valutazione. Suggerisce che lavori futuri potrebbero estendere questo framework a scenari più complessi, come modelli in cui i salti di prezzo stessi innescano un'ulteriore intensità, o alla calibrazione di questi modelli rispetto ai dati reali di mercato per vedere quanto bene funzionano nella pratica.