A pressure-robust HHO method for the solution of the incompressible Navier-Stokes equations on general meshes

Technische Zusammenfassung: Eine druckrobuste HHO-Methode für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen auf allgemeinen Gittern

Problemstellung
Die Arbeit befasst sich mit der numerischen Approximation der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen, wobei der Schwerpunkt auf der Herausforderung der Erzielung von Druckrobustheit liegt. In Standarddiskretisationen hängen die Fehlerschätzungen für das Geschwindigkeitsfeld oft vom Druck ab, was zu einer schlechten Performance führt, wenn die Körperkraft große irrotationale Komponenten (d. h. Gradienten eines Skalarpotentials) enthält. Während druckrobuste Methoden für Standard-Finite-Elemente und passende simpliziale Gitter entwickelt wurden, bleibt die Erweiterung dieser Eigenschaften auf allgemeine Polytopalgitter (die beliebige polyedrische Elemente und nicht-angepasste Grenzflächen unterstützen) eine erhebliche Herausforderung. Die Autoren zielen darauf ab, eine offene Frage aus ihrer vorangegangenen Arbeit [11] zu klären: Ob eine druckrobuste Hybrid High-Order (HHO)-Methode für allgemeine Polytalgitter konstruiert werden kann.

Methodik
Der vorgeschlagene Methode liegt ein voll druckrobustes HHO-Schema zugrunde, das in zwei und drei Dimensionen gültig ist. Die zentrale Innovation liegt in der Konstruktion einer lokalen divergenzerhaltenden Geschwindigkeitsrekonstruktion ($R^k_T$), die auf einer Subtriangulierung jedes Gitterelement $T$ definiert ist.

1. Gitter und Subgitter: Die Methode operiert auf einem Polyedergitter $\mathcal{M}_h$. Entscheidend ist die Annahme der Existenz eines passenden simplizialen Subgitters $\mathfrak{T}_T$ innerhalb eines jeden Elements $T$. Es wird eine spezifische geometrische Annahme getroffen, wonach alle Simplizes in $\mathfrak{T}_T$ einen gemeinsamen Knoten ($x_T$) teilen, was pyramidale oder nicht-pyramidale Subgitter ermöglicht.
2. Divergenzerhaltende Rekonstruktion: Eine gegebene diskrete Geschwindigkeitsunbekannte $\mathbf{v}_T$ wird durch eine Rekonstruktion $R^k_T \mathbf{v}_T$ gewonnen, die durch das Lösen eines lokalen gemischten Problems auf dem Subgitter $\mathfrak{T}_T$ ermittelt wird. Dieses Problem sucht eine Funktion im Raviart–Thomas–Nédélec-Raum $RT_k(\mathfrak{T}_T)$, die:
   • die Normalkomponenten der diskreten Geschwindigkeit auf den Elementgrenzen matcht,
   • die diskrete Divergenz bewahrt (kommutierend mit dem diskreten Divergenzoperator $D^k_T$),
   • Orthogonalitätsbedingungen gegenüber dem Koszul-Raum $G_{c, k-1}(T)$ und dem Inneren des Elements erfüllt.
   • Diese Konstruktion vermeidet die Einschränkungen früherer Ansätze (z. B. die Abhängigkeit von Wachspress-Koordinaten), die restriktive Face-Geometrien erforderten oder zu offenen theoretischen Problemen bezüglich der Gradientenschranken führten.
3. Diskrete Formulierung:
   • Viskoser Term: Verwendet die standardmäßige HHO-Gradientenrekonstruktion auf dem Subgitter.
   • Körperkraft: Der Kraftterm $\mathbf{f}$ wird diskretisiert, indem gegen die rekonstruierte Geschwindigkeit $R^k_h \mathbf{v}_h$ statt gegen die rohe diskrete Unbekannte getestet wird. Dies nutzt die divergenzerhaltende Eigenschaft aus, um sicherzustellen, dass irrotationale Kräfte (Gradienten) die Geschwindigkeitslösung nicht beeinflussen.
   • Konvektiver Term: Ein neuartiger trilinearer Term wird unter Verwendung der rekonstruierten Geschwindigkeit $R^k_h$ und einer angereicherten Gradientenrekonstruktion $G^{2(k+1)}_{\mathfrak{T}_T}$ eingeführt. Diese Formulierung gewährleistet Nicht-Dissipativität und Konsistenz bei gleichzeitiger Aufrechterhaltung der Druckrobustheit.

Zentrale Beiträge

• Unterstützung allgemeiner Gitter: Die Arbeit liefert eine positive Antwort auf die Erweiterung druckrobuster HHO-Methoden auf allgemeine Gitter, die aus polytopalen Elementen bestehen, und überwindet damit frühere Beschränkungen auf simpliziale oder spezifische polyedrische Geometrien.
• Neuartige Rekonstruktion: Die Einführung einer divergenzerhaltenden Geschwindigkeitsrekonstruktion basierend auf einem lokalen gemischten Problem auf einer Subtriangulierung. Dieser Ansatz zeigt sich für beliebige Polynomgrade $k \ge 0$ und allgemeine Polytope als wohldefiniert, sofern das Subgitter die gemeinsame-Knoten-Annahme erfüllt.
• Theoretische Analyse: Die Autoren etablieren rigorose Fehlerschätzungen. Sie beweisen, dass der Geschwindigkeitsfehler unabhängig vom Druck und dem irrationalen Teil der Körperkraft (Parameter $\lambda$ in der Hodge-Zerlegung) ist. Die Konvergenzrate beträgt $O(h^{k+1})$ in der Energienorm und $O(h^{k+2})$ in der $L^2$-Norm für die Geschwindigkeit unter Standard-Regularitätsannahmen.
• Robustheitsbeweis: Theoretische Ergebnisse zeigen, dass die Methode gegenüber großen irrationalen Körperkräften robust ist – eine Eigenschaft, die Standard-HHO-Schemata nicht besitzen.

Numerische Ergebnisse
Die theoretischen Erkenntnisse werden durch eine umfassende Reihe von numerischen Tests in zwei Dimensionen validiert:

1. Kovasznay-Strömung: Konvergenzraten werden auf kartesischen, hexagonalen und Kershaw-Gittern verifiziert. Die Ergebnisse bestätigen optimale Konvergenzordnungen ($h^{k+1}$ für die Energienorm, $h^{k+2}$ für den $L^2$-Geschwindigkeitsfehler) sowohl für die vorgeschlagene Methode als auch für die Standard-HHO.
2. Robustheitstest: Ein Problem mit einer großen irrationalen Körperkraft ($\lambda = 10^6$) wird gelöst. Die vorgeschlagene Methode reproduziert die exakte Lösung (für $k=1$) oder konvergiert unabhängig von der Größenordnung von $\lambda$ schnell. Im Gegensatz dazu zeigt die Standard-HHO-Methode von [8] große Fehler, die mit der Netzverfeinerung nicht abnehmen, was deren mangelnde Druckrobustheit bestätigt.
3. Lid-Driven Cavity (Deckelgetriebene Kavität): Die Methode wird auf das klassische Lid-Driven-Cavity-Problem bei einer Reynoldszahl von $Re=1000$ angewendet. Die Ergebnisse stimmen mit Referenzlösungen aus der Literatur überein. Darüber hinaus bleibt das Geschwindigkeitsprofil unverändert, wenn eine irrotationale Körperkraft hinzugefügt wird, während die Standardmethode zu einer anderen, falschen Lösung konvergiert.

Bedeutung und Ansprüche
Die Arbeit beansprucht, eine vollständig druckrobuste HHO-Methode bereitzustellen, die auf allgemeinen Gittern aus polytopalen Elementen funktioniert. Die Bedeutung liegt in der Überbrückung der Lücke zwischen der Flexibilität von Polytopalmethoden (Handhabung komplexer Geometrien und nicht-angepasster Grenzflächen) und der physikalischen Treue druckrobuster Schemata (korrekte Handhabung irrationaler Kräfte). Die Autoren betonen, dass ihre Konstruktion auf einem lokalen gemischten Problem auf einer Subtriangulierung basiert, was es ihnen ermöglicht, notwendige Stetigkeits- und Approximationsschranken ohne die geometrischen Einschränkungen (z. B. nur dreieckige Flächen) oder die offenen theoretischen Probleme (z. B. Wachspress-Koordinaten-Schranken) abzuleiten, die frühere polyedrische Ansätze plagten. Die Arbeit erweitert die Anwendbarkeit druckrobuster Diskretisationen auf eine breitere Klasse von Gittern bei gleichzeitiger Beibehaltung beliebiger Ordnung der Genauigkeit.