A pressure-robust HHO method for the solution of the incompressible Navier-Stokes equations on general meshes

Résumé Technique : Une méthode HHO robuste à la pression pour les équations de Navier–Stokes incompressibles sur des maillages généraux

Énoncé du Problème
L'article traite de l'approximation numérique des équations de Navier–Stokes incompressibles, en se concentrant spécifiquement sur le défi d'atteindre une robustesse à la pression. Dans les discrétisations standards, les estimations d'erreur pour le champ de vitesse dépendent de la pression, ce qui entraîne de faibles performances lorsque la force de corps contient de composantes irrotationnelles importantes (c'est-à-dire des gradients de potentiel scalaire). Bien que des méthodes robustes à la pression aient été développées pour les éléments finis standards et les maillages simpliciaux correspondants, l'extension de ces propriétés aux maillages polytopaux généraux (supportant des éléments polyédriques arbitraires et des interfaces non appariées) reste un défi important. Les auteurs visent à résoudre une question ouverte de leur travail précédent [11] : si une méthode HHO (Hybrid High-Order) robuste à la pression peut être construite pour des maillages polytopaux généraux.

Méthodologie
La méthode proposée est un schéma HHO entièrement robuste à la pression, valide en deux et trois dimensions. L'innovation centrale réside dans la construction d'une reconstruction de la vitesse préservant la divergence ($R^k_T$) définie sur un sous-maillage de chaque élément de maillage $T$.

1. Maillage et Sous-maillage : La méthode opère sur un maillage polyédrique $\mathcal{M}_h$. Crucialement, elle suppose l'existence d'un sous-maillage simplicial correspondant $\mathfrak{T}_T$ au sein de chaque élément $T$. Une hypothèse géométrique spécifique est faite : tous les simplices de $\mathfrak{T}_T$ partagent un sommet commun ($x_T$), permettant des sous-maillages pyramidaux ou non pyramidaux.
2. Reconstruction préservant la divergence : Pour une vitesse discrète donnée $\mathbf{v}_T$, la reconstruction $R^k_T \mathbf{v}_T$ est obtenue en résolvant un problème mixte local sur le sous-maillage $\mathfrak{T}_T$. Ce problème recherche une fonction dans l'espace Raviart–Thomas–Nédélec $RT_k(\mathfrak{T}_T)$ qui :
   • Correspond aux composantes normales de la vitesse discrète sur les frontières de l'élément.
   • Préserve la divergence discrète (commutant avec l'opérateur de divergence discrète $D^k_T$).
   • Satisfait des conditions d'orthogonalité par rapport à l'espace Koszul $G_{c, k-1}(T)$ et l'intérieur de l'élément.
   • Cette construction évite les limitations des approches précédentes (par exemple, la dépendance aux coordonnées de Wachspress) qui exigeaient des géométries de faces restrictives ou posaient des problèmes théoriques ouverts concernant les bornes de gradient.
3. Formulation Discrète :
   • Terme Visqueux : Utilise la reconstruction de gradient HHO standard sur le sous-maillage.
   • Force de Corps : Le terme de forçage $\mathbf{f}$ est discrétisé en testant contre la vitesse reconstruite $R^k_h \mathbf{v}_h$ plutôt que contre l'inconnue discrète brute. Cela exploite la propriété de préservation de la divergence pour garantir que les forces irrotationnelles (gradients) n'affectent pas la solution de vitesse.
   • Terme Convectif : Une forme trilinéaire inédite est introduite en utilisant la vitesse reconstruite $R^k_h$ et une reconstruction de gradient enrichie $G^{2(k+1)}_{\mathfrak{T}_T}$. Cette formulation garantit la non-dissipativité et la cohérence tout en maintenant la robustesse à la pression.

Contributions Clés

• Support de Maillages Généraux : L'article apporte une réponse positive à l'extension des méthodes HHO robustes à la pression aux maillages polytopaux généraux, dépassant les restrictions précédentes limitées aux géométries simpliciaux ou polyédriques spécifiques.
• Reconstruction Novatrice : L'introduction d'une reconstruction de vitesse préservant la divergence basée sur un problème mixte local sur un sous-maillage. Cette approche est démontrée comme étant bien posée pour des degrés polynomiaux arbitraires $k \ge 0$ et des polytopes généraux, à condition que le sous-maillage satisfasse l'hypothèse du sommet commun.
• Analyse Théorique : Les auteurs établissent des estimations d'erreur rigoureuses. Ils prouvent que l'erreur de vitesse est indépendante de la pression et de la partie irrotationnelle de la force de corps (paramètre $\lambda$ dans la décomposition de Hodge). Le taux de convergence est de $O(h^{k+1})$ dans la norme énergie et de $O(h^{k+2})$ dans la norme $L^2$ pour la vitesse, sous des hypothèses de régularité standard.
• Preuve de Robustesse : Les résultats théoriques démontrent que la méthode est robuste vis-à-vis des forces de corps irrotationnelles importantes, une propriété que ne possèdent pas les schémas HHO standards.

Résultats Numériques
Les conclusions théoriques sont validées par un ensemble complet de tests numériques en deux dimensions :

1. Écoulement de Kovasznay : Les taux de convergence sont vérifiés sur des maillages de type Cartesian, Hexagonal et Kershaw. Les résultats confirment les ordres de convergence optimaux ($h^{k+1}$ pour la norme énergie, $h^{k+2}$ pour l'erreur de vitesse $L^2$) tant pour la méthode proposée que pour l'HHO standard.
2. Test de Robustesse : Un problème avec une force de corps irrotationnelle importante ($\lambda = 10^6$) est résolu. La méthode proposée reproduit la solution exacte (pour $k=1$) ou converge rapidement quelle que soit l'ampleur de $\lambda$. En revanche, la méthode HHO standard de [8] présente des erreurs importantes qui ne diminuent pas avec le raffinement du maillage, confirmant son manque de robustesse à la pression.
3. Cavité Entraînée par un Couvercle (Lid-Driven Cavity) : La méthode est appliquée au problème classique de la cavité entraînée par un couvercle à un nombre de Reynolds $Re=1000$. Les résultats s'alignent sur les solutions de référence de la littérature. De plus, lorsqu'une force de corps irrotationnelle est ajoutée, les profils de vitesse restent inchangés, alors que la méthode standard converge vers une solution différente et incorrecte.

Signification et Revendications
L'article affirme fournir une méthode HHO entièrement robuste à la pression capable de fonctionner sur des maillages généraux composés d'éléments polytopaux. La signification réside dans le fait de combler le fossé entre la flexibilité des méthodes polytopales (gestion de géométries complexes et d'interfaces non appariées) et la fidélité physique des schémas robustes à la pression (traitement correct des forces irrotationnelles). Les auteurs soulignent que leur construction repose sur un problème mixte local sur un sous-maillage, ce qui leur permet de dériver les bornes de continuité et d'approximation nécessaires sans les restrictions géométriques (par exemple, faces triangulaires uniquement) ou les problèmes théoriques ouverts (par exemple, les bornes des coordonnées de Wachspress) qui ont entravé les approches polyédriques antérieures. Ce travail étend l'applicabilité des discrétisations robustes à la pression à une classe plus large de maillages, tout en maintenant une précision d'ordre arbitraire.