A pressure-robust HHO method for the solution of the incompressible Navier-Stokes equations on general meshes

Sintesi Tecnica: Un metodo HHO robusto rispetto alla pressione per le equazioni di Navier–Stokes incomprimibili su mesh generiche

Definizione del Problema
Il documento affronta l'approssimazione numerica delle equazioni di Navier–Stokes incomprimibili, concentrandosi in particolare sulla sfida di ottenere la robustezza rispetto alla pressione (pressure robustness). Nelle discretizzazioni standard, le stime dell'errore per il campo di velocità dipendono dalla pressione, portando a prestazioni scarse quando la forza di corpo contiene componenti irrotazionali di grande entità (ovvero gradienti di un potenziale scalare). Sebbene siano stati sviluppati metodi robusti rispetto alla pressione per gli elementi finiti standard e per mesh simpliciali corrispondenti, estendere queste proprietà a mesh politopali generiche (che supportano arbitri elementi poliedrici e interfacce non corrispondenti) rimane una sfida significativa. Gli autori mirano a risolvere una questione aperta del loro lavoro precedente [11]: se sia possibile costruire un metodo HHO (Hybrid High-Order) press-robust per mesh politopali generiche.

Metodologia
Il metodo proposto è uno schema HHO completamente robusto rispetto alla pressione, valido in due e tre dimensioni. L'innovazione principale risiede nella costruzione di una ricostruzione della velocità che preserva la divergenza ($R^k_T$) definita su una sottotessitura di ciascun elemento della mesh $T$.

1. Mesh e Sottotessitura: Il metodo opera su una mesh poliedrica $\mathcal{M}_h$. Fondamentalmente, assume l'esistenza di una sottotessitura simpliciale corrispondente $\mathfrak{T}_T$ all'interno di ogni elemento $T$. Viene fatta una specifica assunzione geometrica secondo cui tutti i simplessi in $\mathfrak{T}_T$ condividono un vertice comune ($x_T$), permettendo sottotessiture piramidali o non piramidali.
2. Ricostruzione che Preserva la Divergenza: Per una data incognita di velocità discreta $\mathbf{v}_T$, la ricostruzione $R^k_T \mathbf{v}_T$ viene ottenuta risolvendo un problema misto locale sulla sottotessitura $\mathfrak{T}_T$. Questo problema cerca una funzione nello spazio Raviart–Thomas–Nédélec $RT_k(\mathfrak{T}_T)$ che:
   • Corrisponda alle componenti normali della velocità discreta sui bordi dell'elemento.
   • Preservi la divergenza discreta (commutando con l'operatore di divergenza discreta $D^k_T$).
   • Soddisfi le condizioni di ortogonalità rispetto allo spazio Koszul $G_{c, k-1}(T)$ e all'interno dell'elemento.
   • Questa costruzione evita i limiti degli approcci precedenti (ad esempio, la dipendenza dalle coordinate di Wachspress) che richiedevano geometrie delle facce restrittive o portavano a problemi teorici aperti riguardanti i limiti del gradiente.
3. Formulazione Discreta:
   • Termine Viscoso: Utilizza lo standard ricostruzione del gradiente HHO sulla sottotessitura.
   • Forza di Corpo: Il termine di forzante $\mathbf{f}$ viene discretizzato testandolo contro la velocità ricostruita $R^k_h \mathbf{v}_h$ anziché contro la pura incognita discreta. Ciò sfrutta la proprietà di preservazione della divergenza per garantire che le forze irrotazionali (gradienti) non influenzino la soluzione della velocità.
   • Termine Convettivo: Viene introdotta una nuova forma trilineare utilizzando la velocità ricostruita $R^k_h$ e una ricostruzione del gradiente arricchita $G^{2(k+1)}_{\mathfrak{T}_T}$. Questa formulazione garantisce non-dissipatività e coerenza, mantenendo al contempo la robustezza rispetto alla pressione.

Contributi Chiave

• Supporto per Mesh Generiche: Il documento fornisce una risposta positiva all'estensione dei metodi HHO robusti rispetto alla pressione a mesh politopali generiche, superando le precedenti restrizioni a geometrie simpliciali o poliedriche specifiche.
• Nuova Ricostruzione: L'introduzione di una ricostruzione della velocità che preserva la divergenza basata su un problema misto locale su una sottotessitura. Si dimostra che questo approccio è ben posto per arbitrarie velocità polinomiali $k \ge 0$ e per politopi generici, a condizione che la sottotessitura soddisfi l'assunzione del vertice comune.
• Analisi Teorica: Gli autori stabiliscono stime di errore rigorose. Dimostrano che l'errore della velocità è indipendente dalla pressione e dalla parte irrotazionale della forza di corpo (parametro $\lambda$ nella decomposizione di Hodge). Il tasso di convergenza è $O(h^{k+1})$ nella norma dell'energia e $O(h^{k+2})$ nella norma $L^2$ per la velocità, sotto standard assunzioni di regolarità.
• Dimostrazione della Robustezza: I risultati teorici dimostrano che il metodo è robusto rispetto a grandi forze di corpo irrotazionali, una proprietà non condivisa dai comuni schemi HHO.

Risultati Numerici
I risultati teorici sono validati attraverso un set completo di test numerici in due dimensioni:

1. Flusso Kovasznay: I tassi di convergenza sono verificati su mesh cartesiane, esagonali e di Kershaw. I risultati confermano gli ordini di convergenza ottimali ($h^{k+1}$ per la norma dell'energia, $h^{k+2}$ per l'errore della velocità $L^2$) sia per il metodo proposto che per l'HHO standard.
2. Test di Robustezza: Viene risolto un problema con una grande forza di corpo irrotazionale ($\lambda = 10^6$). Il metodo proposto riproduce la soluzione esatta (per $k=1$) o converge rapidamente indipendentemente dall'entità di $\lambda$. Al contrario, l'HHO standard di [8] mostra errori elevati che non diminuiscono con il raffinamento della mesh, confermando la sua mancanza di robustezza rispetto alla pressione.
3. Lid-Driven Cavity: Il metodo è applicato al classico problema della cavità con parete mobile (lid-driven cavity) a numero di Reynolds $Re=1000$. I risultati si allineano con le soluzioni di riferimento della letteratura. Inoltre, aggiungendo una forza di corpo irrotazionale, i profili di velocità rimangono invariati, mentre il metodo standard converge a una soluzione diversa e errata.

Significato e Rivendicazioni
Il documento rivendica di fornire un metodo HHO completamente robusto rispetto alla pressione che funziona su mesh generiche composte da elementi politopali. La significatività risiede nel colmare il divario tra la flessibilità dei metodi politopali (gestione di geometrie complesse e interfacce non corrispondenti) e la fedeltà fisica degli schemi robusti rispetto alla pressione (gestione corretta delle forze irrotazionali). Gli autori sottolineano che la loro costruzione si basa su un problema misto locale su una sottotessitura, il che permette di derivare i necessari limiti di continuità e approssimazione senza le restrizioni geometriche (ad esempio, facce solo triangolari) o i problemi teorici aperti (ad esempio, i limiti delle coordinate di Wachspress) che hanno afflitto i precedenti approcci poliedrici. Il lavoro estende l'applicabilità delle discretizzazioni robuste rispetto alla pressione a una classe più ampia di mesh, mantenendo un'accuratezza di ordine arbitrario.