A pressure-robust HHO method for the solution of the incompressible Navier-Stokes equations on general meshes

Resumen Técnico: Un Método HHO Robusto a la Presión para las Ecuaciones de Navier–Stokes Incompresibles en Mallas Generales

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la aproximación numérica de las ecuaciones de Navier–Stokes incompresibles, centrándose específicamente en el desafío de lograr una robustez de presión. En las discretizaciones estándar, las estimaciones de error para el campo de velocidad dependen de la presión, lo que conduce a un rendimiento deficiente cuando la fuerza corporal contiene componentes irrotacionales grandes (es decir, gradientes de un potencial escalar). Aunque se han desarrollado métodos robustos a la presión para elementos finitos estándar y mallas simpliciales coincidentes, extender estas propiedades a mallas politópicas generales (que admiten elementos poliédricos arbitrarios e interfaces no coincidentes) sigue siendo un desafío significativo. Los autores pretenden resolver una cuestión abierta de su trabajo anterior [11]: si se puede construir un método HHO (Hybrid High-Order) robusto a la presión para mallas politópicas generales.

Metodología
El método propuesto es un esquema HHO totalmente robusto a la presión válido en dos y tres dimensiones. La innovación central reside en la construcción de una reconstrucción de velocidad que preserva la divergencia ($R^k_T$) definida sobre una subtriangulación de cada elemento de la malla $T$.

1. Malla y Submalla: El método opera sobre una malla politópica $\mathcal{M}_h$. Crucialmente, asume la existencia de una submalla simplicial coincidente $\mathfrak{T}_T$ dentro de cada elemento $T$. Se realiza un supuesto geomético específico: todos los simplicios en $\mathfrak{T}_T$ comparten un vértice común ($x_T$), lo que permite submallas piramidales o no piramidales.
2. Reconstrucción que Preserva la Divergencia: Para una velocidad discreta desconocida $\mathbf{v}_T$, la reconstrucción $R^k_T \mathbf{v}_T$ se obtiene resolviendo un problema mixto local en la submalla $\mathfrak{T}_T$. Este problema busca una función en el espacio Raviart–Thomas–Nédélec $RT_k(\mathfrak{T}_T)$ que:
   • Coincida con las componentes normales de la velocidad discreta en los bordes del elemento.
   • Preserve la divergencia discreta (conmutando con el operador de divergencia discreta $D^k_T$).
   • Satisfaga condiciones de ortogonalidad con respecto al espacio Koszul $G_{c, k-1}(T)$ y al interior del elemento.
   • Esta construcción evita las limitaciones de enfoques anteriores (por ejemplo, la dependencia de las coordenadas de Wachspress) que requerían geometrías de caras restrictivas o que daban lugar a problemas teóricos abiertos respecto a las cotas de gradiente.
3. Formulación Discreta:
   • Término Viscoso: Utiliza la reconstrucción de gradiente HHO estándar sobre la submalla.
   • Fuerza Corporal: El término de fuerza $\mathbf{f}$ se discretiza probándolo contra la velocidad reconstruida $R^k_h \mathbf{v}_h$ en lugar de contra la variable discreta bruta. Esto aprovecha la propiedad de preservación de la divergencia para asegurar que las fuerzas irrotacionales (gradientes) no afecten a la solución de la velocidad.
   • Término Convectivo: Se introduce una novedosa forma trilineal utilizando la velocidad reconstruida $R^k_h$ y una reconstrucción de gradiente enriquecida $G^{2(k+1)}_{\mathfrak{T}_T}$. Esta formulación asegura la no-disipatividad y la consistencia, manteniendo al mismo tiempo la robustez de la presión.

Contribuciones Clave

• Soporte para Mallas Generales: El artículo proporciona una respuesta positiva a la extensión de los métodos HHO robustos a la presión a mallas politópicas generales, superando las restricciones previas a geometrías simpliciales o poliédricas específicas.
• Reconstrucción Novedosa: La introducción de una reconstrucción de velocidad que preserva la divergencia basada en un problema mixto local sobre una subtriangulación. Se demuestra que este enfoque es bien planteado para grados polinómicos arbitrarios $k \ge 0$ y politopos generales, siempre que la submalla cumpla con el supuesto de vértice común.
• Análisis Teórico: Los autores establecen estimaciones de error rigurosas. Demuestran que el error de velocidad es independiente de la presión y de la parte irrotacional de la fuerza corporal (parámetro $\lambda$ en la descomposición de Hodge). La tasa de convergencia es $O(h^{k+1})$ en la norma de energía y $O(h^{k+2})$ en la norma $L^2$ para la velocidad, bajo supuestos de regularidad estándar.
• Prueba de Robustez: Los resultados teóricos demuestran que el método es robusto frente a fuerzas corporales irrotacionales grandes, una propiedad que no poseen los esquemas HHO estándar.

Resultados Numéricos
Los hallazgos teóricos se validan mediante un conjunto exhaustivo de pruebas numéricas en dos dimensiones:

1. Flujo de Kovasznay: Se verifican las tasas de convergencia en mallas Cartesianas, hexagonales y de Kershaw. Los resultados confirman órdenes de convergencia óptimos ($h^{k+1}$ para la norma de energía, $h^{k+2}$ para el error de velocidad en $L^2$) tanto para el método propuesto como para el HHO estándar.
2. Prueba de Robustez: Se resuelve un problema con una fuerza corporal irrotacional grande ($\lambda = 10^6$). El método propuesto reproduce la solución exacta (para $k=1$) o converge rápidamente independientemente de la magnitud de $\lambda$. En contraste, el método HHO estándar de [8] exhibe errores grandes que no disminuyen con el refinamiento de la malla, confirmando su falta de robustez a la presión.
3. Cavidad Impulsada por una Tapa (Lid-Driven Cavity): El método se aplica al problema clásico de la cavidad impulsada por una tapa con número de Reynolds $Re=1000$. Los resultados coinciden con las soluciones de referencia de la literatura. Además, cuando se añade una fuerza corporal irrotacional, los perfiles de velocidad permanecen sin cambios, mientras que el método estándar converge a una solución diferente e incorrecta.

Significación y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar un método HHO totalmente robusto a la presión que funciona en mallas generales compuestas por elementos politópicos. La significación radica en cerrar la brecha entre la flexibilidad de los métodos politópicos (manejo de geometrías complejas e interfaces no coincidentes) y la fidelidad física de los esquemas robustos a la presión (manejo correcto de fuerzas irrotacionales). Los autores enfatizan que su construcción se basa en un problema mixto local sobre una subtriangulación, lo que les permite derivar las cotas de continuidad y aproximación necesarias sin las restricciones geométricas (por ejemplo, caras triangulares únicamente) o los problemas teóricos abiertos (por ejemplo, las cotas de las coordenadas de Wachspress) que afectaron a los enfoques poliédricos anteriores. El trabajo extiende la aplicabilidad de las discretizaciones robustas a la presión a una clase más amplia de mallas, manteniendo una precisión de orden arbitrario.