A pressure-robust HHO method for the solution of the incompressible Navier-Stokes equations on general meshes

Resumo Técnico: Um Método HHO Robusto à Pressão para as Equações de Navier–Stokes Incompressíveis em Malhas Gerais

Problema
O artigo aborda a aproximação numérica das equações de Navier–Stokes incompressíveis, focando especificamente no desafio de alcançar a robustez à pressão. Em discretizações padrão, as estimativas de erro para o campo de velocidade dependem da pressão, o que leva ao baixo desempenho quando a força de corpo contém componentes irrotacionais significativas (ou seja, gradientes de um potencial escalar). Embora métodos robustos à pressão tenham sido desenvolvidos para elementos finitos padrão e malhas simpliciais correspondentes, estender essas propriedades para malhas politópicas gerais (suportando elementos poliédricos arbitrários e interfaces não correspondentes) permanece um desafio significativo. Os autores visam resolver uma questão aberta de seu trabalho anterior [11]: se um método HHO (Hybrid High-Order) robusto à pressão pode ser construído para malhas politópicas gerais.

Metodologia
O método proposto é um esquema HHO totalmente robusto à pressão, válido em duas e três dimensões. A inovação central reside na construção de uma reconstrução de velocidade que preserva a divergência ($R^k_T$) definida em uma subtriangulação de cada elemento da malha $T$.

1. Malha e Submalha: O método opera em uma malha politópica $\mathcal{M}_h$. Crucialmente, ele assume a existência de uma submalha simplicial correspondente $\mathfrak{T}_T$ dentro de cada elemento $T$. Uma suposição geométrica específica é feita de que todos os simplícios em $\mathfrak{T}_T$ compartilham um vértice comum ($x_T$), permitindo submalhas piramidais ou não piramidais.
2. Reconstrução que Preserva a Divergência: Para uma dada incógnita de velocidade discreta $\mathbf{v}_T$, a reconstrução $R^k_T \mathbf{v}_T$ é obtida resolvendo um problema misto local na submalha $\mathfrak{T}_T$. Este problema busca uma função no espaço Raviart–Thomas–Nédélec $RT_k(\mathfrak{T}_T)$ que:
   • Corresponda às componentes normais da velocidade discreta nas fronteiras do elemento.
   • Preserve a divergência discreta (comutando com o operador de divergência discreta $D^k_T$).
   • Satisfaça condições de ortogonalidade em relação ao espaço Koszul $G_{c, k-1}(T)$ e ao interior do elemento.
   • Esta construção evita as limitações de abordagens anteriores (por exemplo, a dependência de coordenadas de Wachspress) que exigiam geometrias de faces restritivas ou levavam a problemas teóricos abertos em relação aos limites de gradiente.
3. Formulação Discreta:
   • Termo Viscoso: Utiliza a reconstrução de gradiente HHO padrão na submalha.
   • Força de Corpo: O termo de força $\mathbf{f}$ é discretizado testando contra a velocidade reconstruída $R^k_h \mathbf{v}_h$ em vez da incógnita discreta bruta. Isso aproveita a propriedade de preservação da divergência para garantir que forças irrotacionais (gradientes) não afetem a solução da velocidade.
   • Termo Convectivo: Uma forma trilinear inovadora é introduzida usando a velocidade reconstruída $R^k_h$ e uma reconstrução de gradiente enriquecida $G^{2(k+1)}_{\mathfrak{T}_T}$. Esta formulação garante a não-dissipatividade e consistência, mantendo a robustez à pressão.

Principais Contribuições

• Suporte a Malhas Gerais: O artigo fornece uma resposta positiva à extensão dos métodos HHO robustos à pressão para malhas politópicas gerais, superando restrições anteriores a malhas simpliciais ou geometrias poliédricas específicas.
• Reconstrução Inovadora: A introdução de uma reconstrução de velocidade que preserva a divergência baseada em um problema misto local em uma subtriangulação. Mostra-se que esta abordagem é bem posta para graus polinomiais arbitrários $k \ge 0$ e polítopos gerais, desde que a submalha satisfaça a suposição de vértice comum.
• Análise Teórica: Os autores estabelecem estimativas de erro rigorosas. Eles provam que o erro de velocidade é independente da pressão e da parte irrotacional da força de corpo (parâmetro $\lambda$ na decomposição de Hodge). A taxa de convergência é $O(h^{k+1})$ na norma de energia e $O(h^{k+2})$ na norma $L^2$ para a velocidade, sob suposições de regularidade padrão.
• Prova de Robustez: Resultados teóricos demonstram que o método é robusto em relação a grandes forças de corpo irrotacionais, uma propriedade não compartilhada pelos esquemas HHO padrão.

Resultos Numéricos
As descobertas teóricas são validadas através de um conjunto abrangente de testes numéricos em duas dimensões:

1. Fluxo de Kovasznay: As taxas de convergência são verificadas em malhas Cartesianas, hexagonais e de Kershaw. Os resultados confirmam ordens de convergência ótimas ($h^{k+1}$ para a norma de energia, $h^{k+2}$ para o erro de velocidade $L^2$) tanto para o método proposto quanto para o HHO padrão.
2. Teste de Robustez: Um problema com uma grande força de corpo irrotacional ($\lambda = 10^6$) é resolvido. O método proposto reproduz a solução exata (para $k=1$) ou converge rapidamente, independentemente da magnitude de $\lambda$. Em contraste, o método HHO padrão de [8] exibe erros grandes que não diminuem com o refinamento da malha, confirmando sua falta de robustez à pressão.
3. Cavidade Impulsionada por Tampa (Lid-Driven Cavity): O método é aplicado ao clássico problema da cavidade impulsionada por tampa para o número de Reynolds $Re=1000$. Os resultados alinham-se com as soluções de referência da literatura. Além disso, quando uma força de corpo irrotacional é adicionada, os perfis de velocidade permanecem inalterados, enquanto o método padrão converge para uma solução diferente e incorreta.

Significância e Alegações
O artigo afirma fornecer um método HHO totalmente robusto à pressão que funciona em malhas gerais compostas por elementos politópicos. A significância reside em unir a flexibilidade dos métodos politópicos (lidando com geometrias complexas e interfaces não correspondentes) e a fidelidade física dos esquemas robustos à pressão (tratando corretamente forças irrotacionais). Os autores enfatizam que sua construção depende de um problema misto local em uma subtriangulação, o que lhes permite derivar limites de continuidade e aproximação necessários sem as restrições geométricas (por exemplo, apenas faces triangulares) ou problemas teóricos abertos (por exemplo, limites de coordenadas de Wachspress) que atormentaram as abordagens poliédricas anteriores. O trabalho estende a aplicabilidade das discretizações robustas à pressão para uma classe mais ampla de malhas, mantendo a precisão de ordem arbitrária.