A pressure-robust HHO method for the solution of the incompressible Navier-Stokes equations on general meshes

Technische Samenvatting: Een druk-robuuste HHO-methode voor de incompressibele Navier–Stokes-vergelijkingen op algemene rasters

Probleemstelling
Het artikel behandelt de numerieke benadering van de incompressibele Navier–Stokes-vergelijkingen, met een specifieke focus op de uitdaging om druk-robuustheid te bereiken. In standaard discretisaties zijn de foutschattingen voor het snelheidveld vaak afhankelijk van de druk, wat leidt tot slechte prestaties wanneer de lichaamskracht grote irrotationele componenten bevat (d.w.z. gradiënten van een scalaire potentiaal). Hoewel druk-robuuste methoden zijn ontwikkeld voor standaard eindige elementen en overeenkomende simpliciële rasters, blijft het uitbreiden van deze eigenschappen naar algemene polytopale rasters (die willekeurige polyedrische elementen en niet-overeenkomende interfaces ondersteunen) een aanzienlijke uitdaging. De auteurs beogen een openstaande vraag uit hun eerdere werk [11] op te lossen: of een druk-robuuste Hybrid High-Order (HHO) methode kan worden geconstrueerd voor algemene polytopale rasters.

Methodologie
De voorgestelde methode is een volledig druk-robuuste HHO-methode die geldig is in twee en drie dimensies. De kerninnovatie ligt in de constructie van een lokale divergentie-preserverende snelheidsreconstructie ($R^k_T$) gedefinieerd op een subtriangulatie van elk rooster-element $T$.

1. Raster en Subraster: De methode werkt op een polytopaal raster $\mathcal{M}_h$. Cruciaal is dat er een overeenkomend simplicieel subraster $\mathfrak{T}_T$ binnen elk element $T$ wordt verondersteld. Er wordt een specifieke geometrische aanname gedaan dat alle simplices in $\mathfrak{T}_T$ een gemeenschappelijk vertex ($x_T$) delen, wat piramidale of niet-piramidale subrasters mogelijk maakt.
2. Divergentie-preserverende Reconstructie: Voor een gegeven discrete snelheidsonbekende $\mathbf{v}_T$ wordt de reconstructie $R^k_T \mathbf{v}_T$ verkregen door een lokaal gemengd probleem op het subraster $\mathfrak{T}_T$ op te lossen. Dit probleem zoekt een functie in de Raviart–Thomas–Nédélec-ruimte $RT_k(\mathfrak{T}_T)$ die:
   • De normale componenten van de discrete snelheid op de elementgrenzen matcht.
   • De discrete divergentie behoudt (commuteert met de discrete divergentie-operator $D^k_T$).
   • Voldoet aan orthogonaliteitsvoorwaarden ten opzichte van de Koszul-ruimte $G_{c, k-1}(T)$ en het binnenste van het element.
   • Deze constructie vermijdt de beperkingen van eerdere benaderingen (bijv. de afhankelijkheid van Wachspress-coördinaten) die restrictieve gezichtsgeometrieën vereisten of leidden tot open theoretische problemen met betrekking tot gradiëntbounds.
3. Discrete Formulering:
   • Viskeuze Term: Gebruikt de standaard HHO-gradiëntreconstructie op het subraster.
   • Lichaamskracht: De forceringsterm $\mathbf{f}$ wordt gediscretiseerd door te testen tegen de gereconstrueerde snelheid $R^k_h \mathbf{v}_h$ in plaats van tegen de ruwe discrete onbekende. Dit maakt gebruik van de divergentie-preserverende eigenschap om te garanderen dat irrotationele krachten (gradiënten) de snelheidsoplossing niet beïnvloeden.
   • Convectieve Term: Een nieuwe triliniëre vorm wordt geïntroduceerd met behulp van de gereconstrueerde snelheid $R^k_h$ en een verrijkte gradiëntreconstructie $G^{2(k+1)}_{\mathfrak{T}_T}$. Deze formulering zorgt voor non-dissipativiteit en consistentie, terwijl de druk-robuustheid behouden blijft.

Belangrijkste Bijdragen

• Ondersteuning voor Algemene Rasters: Het artikel biedt een positief antwoord op de uitbreiding van druk-robuuste HHO-methoden naar algemene rasters bestaande uit polytopale elementen, waarbij eerdere restricties tot simpliciële of specifieke polyedrische geometrieën worden overwonnen.
• Nieuwe Reconstructie: De introductie van een divergentie-preserverende snelheidsreconstructie gebaseerd op een lokaal gemengd probleem op een subtriangulatie. Deze benadering is aangetoond goed te zijn voor willekeurige polynomiale graden $k \ge 0$ en algemene polytopen, mits het subraster voldoet aan de common-vertex aanname.
• Theoretische Analyse: De auteurs stellen rigoureuze foutschattingen vast. Ze bewijzen dat de snelheidsfout onafhankelijk is van de druk en het irrotationele deel van de lichaamskracht (parameter $\lambda$ in de Hodge-decompositie). De convergentiesnelheid is $O(h^{k+1})$ in de energienorm en $O(h^{k+2})$ in de $L^2$-norm voor de snelheid, onder standaard regulariteitsaannames.
• Robuustheidsbewijs: Theoretische resultaten tonen aan dat de methode robuust is ten opzichte van grote irrotationele lichaamskrachten, een eigenschap die standaard HHO-schema's niet bezitten.

Numerieke Resultaten
De theoretische bevindingen worden gevalideerd door een uitgebreide reeks numerieke tests in twee dimensies:

1. Kovasznay Flow: Convergentiesnelheden worden geverifieerd op Cartesiaanse, hexagonale en Kershaw-rasters. De resultaten bevestigen optimale convergentieordes ($h^{k+1}$ voor de energienorm, $h^{k+2}$ voor de $L^2$-snelheidsfout) voor zowel de voorgestelde methode als de standaard HHO.
2. Robuustheidstest: Een probleem met een grote irrotationele lichaamskracht ($\lambda = 10^6$) wordt opgelost. De voorgestelde methode reproduceert de exacte oplossing (voor $k=1$) of convergeert snel, ongeacht de grootte van $\lambda$. In tegen testelling hiermee vertoont de standaard HHO-methode van [8] grote fouten die niet afnemen met de verfijning van het raster, wat het gebrek aan druk-robuustheid bevestigt.
3. Lid-Driven Cavity: De methode wordt toegepast op het klassieke lid-driven cavity probleem bij Reynoldsgetal $Re=1000$. De resultaten komen overeen met referentieoplossingen uit de literatuur. Bovendien, wanneer een irrotationele lichaamskracht wordt toegevoegd, blijven de snelheidsprofielen ongewijzigd, terwijl de standaardmethode convergeert naar een andere, incorrecte oplossing.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt een volledig druk-robuuste HHO-methode te bieden die werkt op algemene rasters bestaande uit polytopale elementen. De betekenis ligt in het overbruggen van de kloof tussen de flexibiliteit van polytopale methoden (het hanteren van complexe geometrieën en niet-overeenkomende interfaces) en de fysieke getrouwheid van druk-robuuste schema's (het correct afhandelen van irrotationele krachten). De auteurs benadrukken dat hun constructie steunt op een lokaal gemengd probleem op een subtriangulatie, wat hen in staat stelt om noodzakelijke continuïteits- en benaderingsbounds af te leiden zonder de geometrische restricties (bijv. alleen driehoekige gezichten) of open theoretische kwesties (bijv. Wachspress-coördinaten bounds) die eerdere polyhedrische benaderingen teisterden. Het werk breidt de toepasbaarheid van druk-robuuste discretisaties uit naar een bredere klasse van rasters, waarbij een willekeurige orde van nauwkeurigheid behouden blijft.