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Hausdorff dimension of double base expansions and binary shifts with a hole

Die Autoren leiten explizite Formeln für die Hausdorff-Dimension der Menge der Zahlen mit einer eindeutigen $(q_0, q_1)$ -Expansion sowie für die Entropie des zugrunde liegenden Subshifts ab und beweisen die Stetigkeit dieser Größen in Abhängigkeit von den Basen $q_0$ und $q_1$ , wobei ihre Ergebnisse auch auf allgemeine dynamische Systeme mit Löchern, wie die Verdopplungsabbildung und Lorenz-Abbildungen, anwendbar sind.

Ursprüngliche Autoren: Jian Lu, Wolfgang Steiner, Yuru Zou

Veröffentlicht 2026-02-24

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Jian Lu, Wolfgang Steiner, Yuru Zou

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, eine Zahl zu beschreiben, aber Sie haben nicht nur einen einzigen „Zahlensatz" (wie unser übliches Dezimalsystem mit den Ziffern 0 bis 9), sondern Sie dürfen zwischen zwei verschiedenen Sprachen wählen, um Ihre Zahl zu bauen.

Dies ist die Kernidee des vorliegenden wissenschaftlichen Artikels von Jian Lu, Wolfgang Steiner und Yuru Zou. Hier ist eine einfache Erklärung der Forschung, verpackt in eine Geschichte:

1. Das Spiel: Zahlen mit zwei verschiedenen Währungen

Normalerweise schreiben wir Zahlen so: $0,123... = \frac{1}{10} + \frac{2}{100} + \frac{3}{1000}$ . Jeder Schritt wird durch die gleiche Basis (hier 10) geteilt.

In diesem Papier spielen die Forscher mit einem seltsameren System. Sie haben zwei „Währungen" oder Basen, nennen wir sie $q_0$ und $q_1$ .

Wenn Sie eine 0 in Ihrer Zahlenfolge schreiben, teilen Sie den Rest durch $q_0$ .
Wenn Sie eine 1 schreiben, teilen Sie durch $q_1$ .

Die Folge $0101...$ bedeutet also: Erst durch $q_0$ teilen, dann das Ergebnis durch $q_1$ , dann wieder durch $q_0$ , und so weiter.

2. Das Problem: Eindeutigkeit (Der „Einzigartige" Pfad)

Das spannende Problem ist: Kann man jede Zahl auf genau eine Weise mit diesen beiden Währungen schreiben?

Fall A (Zu viel Platz): Wenn $q_0$ und $q_1$ sehr klein sind, gibt es so viel „Platz" in der Zahl, dass man dieselbe Zahl auf unendlich viele verschiedene Arten schreiben kann. Es ist wie ein riesiger Park, in dem man von Punkt A nach Punkt B auf tausend verschiedenen Wegen laufen kann.
Fall B (Zu wenig Platz): Wenn die Basen sehr groß sind, ist der Park so eng, dass es oft gar keinen Weg gibt, oder nur sehr wenige.
Fall C (Der „Einzigartige" Bereich): Es gibt einen speziellen Bereich, in dem es für bestimmte Zahlen genau einen einzigen Weg gibt, sie zu schreiben. Diese Zahlen nennt die Wissenschaft „Univoque" (lateinisch für „einzigartig").

Die Forscher fragen sich: Wie „groß" ist diese Menge an einzigartigen Zahlen?

3. Die Metapher: Die Hausdorff-Dimension als „Füllgrad"

Um die Größe dieser Menge zu messen, benutzen die Autoren die Hausdorff-Dimension.
Stellen Sie sich das vor wie einen Schwamm:

Eine Linie hat die Dimension 1.
Eine Fläche hat die Dimension 2.
Ein Schwamm hat oft eine Dimension zwischen 1 und 2 (z. B. 1,5). Er ist mehr als eine Linie, aber weniger als eine volle Fläche.

Die Forscher haben nun eine Formel entwickelt, um genau zu berechnen, wie „fraktal" oder „schwammig" diese Menge der einzigartigen Zahlen ist.

Wenn die Basen $q_0$ und $q_1$ in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen, ist die Menge so klein, dass sie fast gar keine Dimension hat (Dimension 0).
Wenn sie in einem anderen Verhältnis stehen, füllt die Menge einen Teil des Raumes aus (Dimension zwischen 0 und 1).
In extremen Fällen füllt sie den ganzen Raum aus (Dimension 1).

4. Die Entdeckung: Eine Landkarte der Dimensionen

Die Autoren haben eine Art Landkarte erstellt.
Stellen Sie sich ein Koordinatensystem vor:

Die X-Achse ist $q_0$ .
Die Y-Achse ist $q_1$ .

Jeder Punkt auf dieser Karte hat eine Farbe, die angibt, wie „groß" (wie komplex) die Menge der einzigartigen Zahlen für dieses Paar von Basen ist.

Schwarz: Hier gibt es fast keine einzigartigen Zahlen (Dimension 0).
Weiß: Hier sind die Zahlen so zahlreich, dass sie den ganzen Raum füllen (Dimension 1).
Farbverläufe: Dazwischen gibt es alle möglichen Zwischenwerte.

Die große Leistung des Papers ist, dass sie nicht nur sagen „es ist komplex", sondern eine exakte Formel liefern, um die Farbe (die Dimension) für jedes beliebige Paar von Basen zu berechnen.

5. Warum ist das wichtig? (Die „Löcher" im System)

Die Forscher verbinden dieses mathematische Rätsel mit einem anderen Bild: Ein dynamisches System mit einem Loch.

Stellen Sie sich eine Kugel vor, die auf einer schiefen Ebene rollt (wie eine Achterbahn).

Normalerweise bleibt sie für immer im System.
Aber stellen Sie sich ein „Loch" in der Bahn vor. Wenn die Kugel in dieses Loch fällt, verschwindet sie.

Die Menge der Zahlen, die eine einzigartige Expansion haben, entspricht genau den Bahnen, die niemals in das Loch fallen.

Wenn das Loch zu groß ist, fallen fast alle Kugeln hinein (Dimension 0).
Wenn das Loch klein ist, überleben viele Kugeln (Dimension > 0).

Die Formeln der Autoren helfen also zu verstehen, wie sich das Überleben von Teilchen in chaotischen Systemen (wie Wettermodellen oder Lorenz-Attraktoren) verändert, wenn man die Parameter leicht ändert.

6. Das Fazit: Alles ist glatt verbunden

Ein sehr wichtiges Ergebnis ist die Stetigkeit.
Die Forscher zeigen, dass wenn man die Basen $q_0$ und $q_1$ nur ein winziges bisschen verändert, sich die „Größe" (Dimension) der einzigartigen Zahlen auch nur ein winziges bisschen verändert. Es gibt keine plötzlichen Sprünge. Die Landkarte ist glatt, keine zerklüftete Felswand.

Zusammenfassend:
Die Autoren haben ein komplexes mathematisches Puzzle gelöst, bei dem es darum geht, wie man Zahlen mit zwei verschiedenen Regeln schreibt. Sie haben eine exakte Formel gefunden, um zu messen, wie viele dieser Zahlen „einzigartig" sind, und gezeigt, dass sich dieses Verhalten vorhersehbar und glatt verändert, wenn man die Regeln leicht anpasst. Dies hilft uns, chaotische Systeme in der Natur besser zu verstehen.

Titel: Hausdorff-Dimension von Double-Base-Entwicklungen und binären Shifts mit einem Loch
Autoren: Jian Lu, Wolfgang Steiner, Yuru Zou

1. Problemstellung und Motivation

Das Paper untersucht die Hausdorff-Dimension der sogenannten Univoque-Menge (Menge der eindeutig darstellbaren Zahlen) im Kontext von Double-Base-Entwicklungen.

Kontext: Gegeben sind zwei reelle Basen $q_0, q_1 > 1$ . Eine Folge $i_1 i_2 \dots \in \{0, 1\}^\infty$ ist eine $(q_0, q_1)$ -Entwicklung einer Zahl $x$ , wenn gilt:
$x = \pi_{q_0,q_1}(i_1 i_2 \dots) = \sum_{k=1}^\infty \frac{i_k}{q_{i_1} \cdots q_{i_k}}$
Der Fall $q_0 = q_1 = q$ entspricht den klassischen $q$ -Entwicklungen.
Die Univoque-Menge: $U_{q_0,q_1}$ ist die Menge aller $x \in J_{q_0,q_1}$ , die genau eine solche Entwicklung besitzen.
Dynamische Sichtweise: Diese Mengen korrespondieren zu Überlebenden Mengen (survivor sets) in offenen dynamischen Systemen (insbesondere bei binären Shifts mit einem "Loch" oder Intervall, das entfernt wird).
Ziel: Während die Eigenschaften für den Fall $q_0 = q_1$ (insbesondere die Stetigkeit der Dimension in Abhängigkeit von $q$ ) bereits durch Allaart, Kong, Komornik und Li untersucht wurden, fehlen explizite Formeln und Stetigkeitsbeweise für den allgemeinen Fall ungleicher Basen $q_0 \neq q_1$ .

2. Methodik

Die Autoren verbinden Techniken aus der fraktalen Geometrie, der symbolischen Dynamik und der Theorie der iterierten Funktionensysteme (IFS).

Symbolische Dynamik: Die Menge der eindeutigen Entwicklungen wird als subshift-invariante Menge $\Omega_{a,b}$ charakterisiert. Diese Menge besteht aus allen Folgen, deren Verschiebungen nicht in einem offenen Intervall $]a, b[$ liegen, wobei $a$ und $b$ spezifische "quasi-greedy" bzw. "quasi-lazy" Expansionen sind.
Moran-Konstruktion: Die Hausdorff-Dimension wird über eine verallgemeinerte Moran-Konstruktion berechnet. Die Autoren nutzen Zylindermengen und analysieren die Summe der Längen dieser Zylinder.
Formale Potenzreihen und Kneading-Invarianten: Ein zentrales Werkzeug ist die Einführung der Kneading-Invariante $K_{a,b}(z_0, z_1)$ , die als Differenz der Werte der Expansionen an den Grenzen definiert ist. Die Nullstellen dieser Funktion bestimmen die Dimension.
Substitutionen: Um die Stetigkeit zu beweisen, werden Substitutionen (Ersetzungsregeln) verwendet, um komplexe Folgen durch Folgen mit wachsender Periodenlänge zu approximieren. Dies erlaubt den Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Parametern.

3. Hauptergebnisse

A. Explizite Formeln für die Hausdorff-Dimension (Satz 1.1)

Die Autoren leiten eine explizite Formel für $s = \dim_H U_{q_0,q_1}$ her. Das Ergebnis hängt von der Lage der Basen relativ zu Schwellenwerten ab:

Trivialer Fall: Wenn $q_1 \le K(q_0)$ (wobei $K(q_0)$ eine verallgemeinerte Komornik-Loreti-Konstante ist), dann ist $\dim_H U_{q_0,q_1} = 0$ .
Kritischer Bereich ( $K(q_0) < q_1 < \frac{q_0}{q_0-1}$ ): Hier ist $0 < s < 1$ $0 < s < 1$ . Der Wert $s$ $s$ ist die maximale positive Nullstelle der Gleichung:
$\pi_{q_0^s, q_1^s}(\ell(a_{q_0,q_1}, b_{q_0,q_1})) = \pi_{q_0^s, q_1^s}(r(a_{q_0,q_1}, b_{q_0,q_1}))$
wobei $\ell$ $ℓ$ und $r$ $r$ die extremalen Elemente des zulässigen Subshifts sind.
- Spezialfall: Wenn die Grenzen selbst im Subshift liegen, vereinfacht sich dies zu $\pi_{q_0^s, q_1^s}(a) = \pi_{q_0^s, q_1^s}(b)$ .
Grenzfälle:
- Wenn $q_1 = \frac{q_0}{q_0-1}$ , dann ist $\dim_H U_{q_0,q_1} = 1$ .
- Wenn $q_1 > \frac{q_0}{q_0-1}$ , dann ist $s$ die maximale Nullstelle von $q_0^{-s} + q_1^{-s} = 1$ .

B. Stetigkeit (Satz 1.4 und 1.5)

Ein zentrales Ergebnis ist der Beweis der Stetigkeit der Hausdorff-Dimension als Funktion der Parameter:

Die Abbildung $(q_0, q_1) \mapsto \dim_H U_{q_0,q_1}$ ist stetig für alle $q_0, q_1 > 1$ .
Dies erweitert frühere Ergebnisse von Allaart und Kong (2019), die nur den Fall $q_0=q_1$ behandelten.
Der Beweis nutzt die Stetigkeit der topologischen Entropie des zugrundeliegenden Subshifts in Abhängigkeit von den Grenzen $a$ und $b$ .

C. Zusammenhang mit Entropie und Symbolischer Dynamik (Satz 1.2)

Die Autoren stellen eine direkte Verbindung zwischen der topologischen Entropie $h(\Omega_{a,b})$ und der Hausdorff-Dimension her:

$h(\Omega_{a,b}) = \log \beta$ , wobei $\beta$ die maximale Lösung von $\pi_{\beta, \beta}(a) = \pi_{\beta, \beta}(b)$ ist.
$\dim_H \pi_{q_0,q_1}(\Omega_{a,b}) = \min\{1, s\}$ , wobei $s$ die maximale Lösung von $\pi_{q_0^s, q_1^s}(a) = \pi_{q_0^s, q_1^s}(b)$ ist.

D. Invarianz unter bestimmten Transformationen (Satz 1.6)

Es wird gezeigt, dass die Dimension unter bestimmten Bedingungen invariant bleibt, wenn man die Grenzen des Intervalls durch Substitutionen verändert. Dies verallgemeinert bekannte Resultate über die Entropie von Lorenz-Abbildungen.

4. Bedeutung und Anwendung

Verallgemeinerung: Die Arbeit schließt eine Lücke in der Theorie der nicht-ganzzahligen Basen, indem sie von der symmetrischen Fall ( $q_0=q_1$ ) auf den allgemeinen asymmetrischen Fall übergeht.
Dynamische Systeme: Die Ergebnisse sind nicht nur für Zahlensysteme relevant, sondern gelten für eine breite Klasse dynamischer Systeme, insbesondere für:
- Verdopplungsabbildungen mit einem Loch (Doubling map with a hole).
- (Lineare) Lorenz-Abbildungen.
- Die Ergebnisse liefern somit Werkzeuge zur Berechnung der Dimension von Überlebenden Mengen in offenen Systemen.
Methodischer Fortschritt: Die Kombination aus expliziten algebraischen Formeln (über Nullstellen von Potenzreihen) und topologischen Stetigkeitsbeweisen mittels Substitutionen bietet einen robusten Rahmen für zukünftige Untersuchungen in der fraktalen Geometrie und der ergodischen Theorie.

Zusammenfassend liefert das Paper eine vollständige Charakterisierung der Hausdorff-Dimension der Menge der eindeutig darstellbaren Zahlen für zwei beliebige Basen, beweist deren Stetigkeit und stellt die Verbindung zur topologischen Entropie der zugrundeliegenden symbolischen Dynamik her.