Hausdorff dimension of double base expansions and binary shifts with a hole

Titolo: Dimensione di Hausdorff delle Espansioni a Doppia Base e degli Spostamenti Binari con un Buco

Autori: Jian Lu, Wolfgang Steiner, Yuru Zou

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si concentra sullo studio delle espansioni di numeri reali in basi non intere, generalizzando il concetto classico di espansione in base $q$ (dove $q > 1$) al caso di doppia base $(q_0, q_1)$ con $q_0, q_1 > 1$.

Data una sequenza binaria infinita $\mathbf{i} = i_1 i_2 \dots \in \{0, 1\}^\infty$, l'espansione $(q_0, q_1)$ è definita come:
$$\pi_{q_0, q_1}(\mathbf{i}) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{i_k}{q_{i_1} q_{i_2} \dots q_{i_k}}$$
L'insieme dei numeri ottenibili è $J_{q_0, q_1} = \pi_{q_0, q_1}(\{0, 1\}^\infty)$, un sottoinsieme autosimile di $[0, \frac{1}{q_1-1}]$ generato da un sistema di funzioni iterate (IFS).

Il cuore del problema è lo studio dell'insieme univoco (o univoque set):
$$U_{q_0, q_1} = \{ x \in J_{q_0, q_1} : \# \pi_{q_0, q_1}^{-1}(x) = 1 \}$$
ovvero l'insieme dei numeri che ammettono una singola espansione $(q_0, q_1)$.
Mentre il caso $q_0 = q_1 = q$ è stato ampiamente studiato (con risultati noti sulla continuità della dimensione di Hausdorff e sulla struttura dell'insieme univoco), il caso con basi distinte presenta complessità maggiori. Gli autori mirano a:

1. Derivare formule esplicite per la dimensione di Hausdorff di $U_{q_0, q_1}$.
2. Calcolare l'entropia topologica dello spostamento simbolico sottostante.
3. Provare la continuità di queste quantità rispetto ai parametri $(q_0, q_1)$.
4. Collegare questi risultati ai sistemi dinamici aperti, in particolare agli spostamenti binari con un buco (binary shifts with a hole) e alle mappe di Lorenz.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio che combina teoria dei numeri, geometria frattale e dinamica simbolica.

• Riduzione a Sistemi Simbolici: L'insieme univoco $U_{q_0, q_1}$ viene caratterizzato in termini di sequenze che evitano un certo intervallo chiuso $[a, b]$ nello spazio delle sequenze binarie. Nello specifico, le espansioni univoche corrispondono a sequenze i cui blocchi non cadono nell'intervallo tra l'espansione "quasi-avida" (quasi-greedy) e quella "quasi-pigra" (quasi-lazy) di punti critici specifici.
• Spostamenti con un Buco: L'insieme delle sequenze ammissibili $\Omega_{a,b}$ è definito come l'insieme delle sequenze che non contengono mai un blocco nell'intervallo aperto $]a, b[$. Questo è un classico esempio di sistema dinamico aperto (un shift con un buco).
• Strumenti Analitici:
  • Utilizzo di serie formali e funzioni generatrici per contare le parole ammissibili.
  • Introduzione di invarianti di kneading (legati alla teoria delle mappe unimodali) per collegare la struttura simbolica alla dimensione geometrica.
  • Analisi delle radici di equazioni trascendenti della forma $\pi_{q_0^s, q_1^s}(a) = \pi_{q_0^s, q_1^s}(b)$, dove $s$ è la dimensione di Hausdorff.
• Continuità: La prova della continuità si basa sull'analisi della stabilità degli intervalli di esclusione $]a, b[$ al variare delle basi, utilizzando proprietà di monotonia e continuità delle funzioni di espansione.

3. Risultati Chiave e Contributi

A. Formula Esplicita per la Dimensione di Hausdorff (Teorema 1.1)

Gli autori forniscono una caratterizzazione completa della dimensione di Hausdorff $s = \dim_H U_{q_0, q_1}$ in funzione delle basi $q_0, q_1$:

1. Caso Triviale: Se $q_1 \le K(q_0)$ (dove $K(q_0)$ è una costante generalizzata di Komornik-Loreti), allora $s = 0$.
2. Caso Intermedio: Se $K(q_0) < q_1 < \frac{q_0}{q_0-1}$, allora $0 < s < 1$. In questo caso, $s$ è la radice massima dell'equazione:
   $$\pi_{q_0^s, q_1^s}(\ell(a, b)) = \pi_{q_0^s, q_1^s}(r(a, b))$$
   dove $\ell(a, b)$ e $r(a, b)$ sono gli elementi estremali dell'insieme ammissibile $\Omega_{a,b}$.
3. Caso Critico: Se $q_1 = \frac{q_0}{q_0-1}$, allora $s = 1$.
4. Caso Sovrapposizione: Se $q_1 > \frac{q_0}{q_0-1}$, allora $0 < s < 1$ e $s$ è la radice massima di $q_0^{-s} + q_1^{-s} = 1$.

B. Relazione tra Entropia e Dimensione (Teorema 1.2)

Viene stabilita una relazione fondamentale tra l'entropia topologica $h(\Omega_{a,b})$ del sistema simbolico e la dimensione di Hausdorff dell'immagine geometrica:
$$\dim_H \pi_{q_0, q_1}(\Omega_{a,b}) = \min\{1, s\}$$
dove $s$ è determinato dall'uguaglianza delle espansioni nelle basi elevate a $s$. In particolare, se l'entropia è positiva, la dimensione è data dalla soluzione di un'equazione che generalizza la formula classica $\dim_H = h / \log q$.

C. Continuità (Teoremi 1.4 e 1.5)

Un risultato principale è la dimostrazione che la funzione $(q_0, q_1) \mapsto \dim_H U_{q_0, q_1}$ è continua su tutto il dominio $(1, \infty) \times (1, \infty)$. Questo estende i risultati precedenti noti solo per il caso $q_0 = q_1$ (Allaart e Kong, 2019). La prova è distinta da quelle precedenti e si basa sulla stabilità delle radici delle equazioni caratteristiche al variare dei parametri.

D. Invarianza Strutturale (Teorema 1.6)

Gli autori dimostrano che, sotto certe condizioni di entropia positiva, la dimensione di Hausdorff è invariante rispetto a specifiche trasformazioni delle sequenze di confine (cambiamenti di periodo o concatenazioni), generalizzando risultati noti sull'entropia dei sistemi di Lorenz.

4. Significato e Implicazioni

• Generalizzazione Teorica: Il lavoro risolve il problema della dimensione di Hausdorff per le espansioni a doppia base, un caso che include come sottocasi le espansioni in base singola, ma che introduce asimmetrie significative nella struttura frattale.
• Connessione con Sistemi Dinamici Aperti: I risultati forniscono un ponte rigoroso tra la teoria delle espansioni numeriche e la teoria dei sistemi dinamici con "buchi" (open dynamical systems). L'insieme univoco è identificato come l'insieme dei punti che non cadono mai nel "buco" definito dall'intervallo di esclusione.
• Applicabilità: Poiché diversi problemi (mappe di Lorenz, mappe di raddoppio con buco) condividono lo stesso background simbolico, le formule ottenute sono applicabili a una vasta gamma di sistemi dinamici non lineari.
• Strumenti Computazionali: Le formule esplicite permettono il calcolo numerico preciso della dimensione di Hausdorff per coppie di basi arbitrarie, come illustrato nella Figura 1 del documento, rivelando una struttura complessa e continua dello spazio dei parametri.

In sintesi, il paper fornisce una teoria completa e unificata per la dimensione frattale degli insiemi univoci in basi multiple, dimostrando la loro regolarità (continuità) e offrendo strumenti analitici potenti per lo studio di sistemi dinamici simbolici con vincoli.