Hausdorff dimension of double base expansions and binary shifts with a hole

1. 問題設定 (Problem)

背景:
実数 $x$ を非整数基底 $q > 1$ で展開する $q$-展開（$x = \sum_{k=1}^\infty i_k q^{-k}$）は、Rényi や Parry によって研究され、フラクタル幾何学、エルゴード理論、記号力学系などと深く関連しています。特に、ある実数が一意な $q$-展開を持つ集合（ユニーク集合、Univoque set）$U_{q,q}$ の性質は、Erdős らによって 1990 年代から盛んに研究されています。

本研究の課題:
既存の研究は主に単一の基底 $q_0 = q_1 = q$ の場合を対象としていましたが、本論文では異なる 2 つの基底 $q_0, q_1 > 1$ を用いた「二重基底展開」を扱います。
定義：数列 $i_1 i_2 \cdots \in \{0, 1\}^\infty$ に対して、
$$\pi_{q_0, q_1}(i_1 i_2 \cdots) = \sum_{k=1}^\infty \frac{i_k}{q_{i_1} q_{i_2} \cdots q_{i_k}}$$
と定義されます。ここで $q_0, q_1$ は基底に対応し、$i_k=0$ なら $q_0$、$i_k=1$ なら $q_1$ が分母の因子として現れます。

本研究の主な目的は、以下の 2 点です：

1. 一意な $(q_0, q_1)$-展開を持つ実数の集合 $U_{q_0, q_1}$ のハウスドルフ次元を、任意の $q_0, q_1 > 1$ に対して明示的な公式で求めること。
2. この次元が基底 $(q_0, q_1)$ の関数として連続であることを証明すること。

また、この問題は「穴（Hole）を持つ力学系（Open dynamical systems）」、特にロレンツ写像や 2 倍写像の生存者集合（Survivor set）の記号力学系としての定式化とも密接に関連しています。

2. 手法 (Methodology)

本研究は、記号力学系（Symbolic Dynamics）とフラクタル幾何学の手法を組み合わせ、以下のようなアプローチを採っています。

• 記号力学系への帰着:
  一意な展開を持つ数列の集合 $U_{q_0, q_1}$ は、特定の辞書式順序の制約（区間 $[a, b]$ 内に入らない）を満たす部分シフト $\Omega_{a,b}$ と、可算集合を除いて一致します。ここで $a, b$ は「準貪欲（quasi-greedy）」および「準怠惰（quasi-lazy）」な展開によって定義される境界数列です。
  $$U_{q_0, q_1} \approx \pi_{q_0, q_1}(\Omega_{a,b})$$
  このため、実数の集合のハウスドルフ次元は、対応する部分シフト $\Omega_{a,b}$ のトポロジカル・エントロピーと、基底 $q_0, q_1$ を用いた重み付けされた次元計算に帰着されます。

• 明示的な方程式の導出:
  部分シフト $\Omega_{a,b}$ のエントロピー $h(\Omega_{a,b})$ と、写像 $\pi_{q_0, q_1}$ による像のハウスドルフ次元 $s$ を、以下の方程式の解として特徴づけます。

  • エントロピー：$\pi_{\beta, \beta}(a) = \pi_{\beta, \beta}(b)$ を満たす最大の $\beta > 1$ に対して $h = \log \beta$。
  • ハウスドルフ次元：$\pi_{q_0^s, q_1^s}(a) = \pi_{q_0^s, q_1^s}(b)$ を満たす最大の $s > 0$ に対して $\dim_H = \min\{1, s\}$。
    ここで $\pi_{q_0, q_1}(x) = \sum x_k / (q_{x_1}\cdots q_{x_k})$ です。

• 連続性の証明:
  基底 $(q_0, q_1)$ が変化したとき、境界数列 $a_{q_0, q_1}, b_{q_0, q_1}$ がどのように変化するかを解析します。特に、置換（substitution）を用いて数列を近似する手法や、置換不変性（substitution invariance）を利用することで、次元関数の連続性を示しています。

3. 主要な貢献と結果 (Key Contributions and Results)

論文の主要な成果は以下の定理としてまとめられています。

定理 1.1: ハウスドルフ次元の明示公式

$q_0, q_1 > 1$ に対して、$s = \dim_H U_{q_0, q_1}$ は以下のように決定されます。

1. 自明な場合 ($q_1 \le K(q_0)$): $s = 0$。ここで $K(q_0)$ はユニーク集合が非可算になる閾値（一般化された Komornik-Loreti 定数）です。
2. 中間領域 ($K(q_0) < q_1 < \frac{q_0}{q_0-1}$): $0 < s < 1$ であり、$s$ は以下の方程式の最大根です。
   $$\pi_{q_0^s, q_1^s}(\ell(a, b)) = \pi_{q_0^s, q_1^s}(r(a, b))$$
   ここで $\ell(a, b), r(a, b)$ は部分シフト $\Omega_{a,b}$ における境界数列の極値です。
3. 臨界点 ($q_1 = \frac{q_0}{q_0-1}$): $s = 1$。
4. 大域領域 ($q_1 > \frac{q_0}{q_0-1}$): $0 < s < 1$ であり、$s$ は以下の方程式の最大根です。
   $$q_0^{-s} + q_1^{-s} = 1$$
   これは、基底が十分大きい場合、集合が区間全体に近づくことを示唆しています。

定理 1.2: 一般の区間 $\Omega_{a,b}$ に対する次元公式

任意の許容ペア $(a, b)$ と基底 $q_0, q_1$ に対して、$\pi_{q_0, q_1}(\Omega_{a,b})$ のハウスドルフ次元は、$\pi_{q_0^s, q_1^s}(a) = \pi_{q_0^s, q_1^s}(b)$ を満たす最大の $s$ として与えられます（$s=0$ または $s=1$ の場合を除く）。これは、エントロピーと次元の関係を一般化し、単一基底の場合の既知の結果を拡張したものです。

定理 1.4, 1.5: 連続性

• 定理 1.4: 固定された基底 $q_0, q_1$ に対して、境界数列 $(a, b)$ の関数としての次元 $d_{q_0, q_1}(a, b)$ は連続です。
• 定理 1.5: 基底 $(q_0, q_1)$ の関数としての次元 $\dim_H U_{q_0, q_1}$ は連続です。
  これは、単一基底の場合 ($q_0=q_1$) に Allaart と Kong が証明した結果を、任意の異なる 2 基底のペアに一般化した画期的な結果です。

定理 1.6: 置換不変性と次元の保存

特定の条件（エントロピーが正であること）の下で、数列 $u, v$ に対して、無限反復 $u^\infty, v^\infty$ と、それらを結合した $uv^\infty, vu^\infty$ に対応する部分シフトのハウスドルフ次元が一致することを示しました。これは、力学系の構造が特定の置換操作に対して不変であることを意味し、計算の簡略化や構造の理解に寄与します。

4. 意義と応用 (Significance)

1. 理論的進展:
   非整数基底展開の理論において、単一基底から「二重基底（Double Base）」への一般化を成功させ、そのユニーク集合の幾何学的性質（ハウスドルフ次元）を完全に記述しました。特に、次元が基底パラメータに対して連続であるという結果は、パラメータ空間における構造の安定性を示す重要な知見です。

2. 力学系との統合:
   この研究は、単なる数論的な問題にとどまらず、「穴を持つ力学系（Open dynamical systems）」の枠組みで統一的に扱っています。具体的には、2 倍写像（Doubling map）やロレンツ写像（Lorenz maps）の生存者集合の次元問題と等価であることが示されており、異なる分野の問題を同一の記号力学系モデルで解決できることを実証しています。

3. 計算可能性と可視化:
   次元を計算するための明示的な方程式（$\pi_{q_0^s, q_1^s}(a) = \pi_{q_0^s, q_1^s}(b)$）を提供しているため、数値計算による次元の推定や、パラメータ空間 $(q_0, q_1)$ における次元の分布（図 1 に示されるようなカラーマップ）を生成することが可能になりました。

4. 将来の展望:
   得られた手法は、より複雑な記号空間や、異なるアルファベットを持つ展開、あるいは他の種類の力学系（例えば、より多くの穴を持つ系）への拡張に応用できる可能性があります。

結論

この論文は、二重基底展開におけるユニーク集合のハウスドルフ次元に関する包括的な理論を提供し、その次元が基底パラメータに対して連続であることを証明しました。明示的な計算公式と、記号力学系を用いた深い解析は、フラクタル幾何学、数論、力学系の交差点における重要な進展であり、関連する「穴を持つ力学系」の研究にも大きな影響を与えるものです。