Hausdorff dimension of double base expansions and binary shifts with a hole

Résumé Technique : Dimension de Hausdorff des Développements en Double Base et Décalages Binaires avec Trou

Auteurs : Jian Lu, Wolfgang Steiner, Yuru Zou.
Domaines : Théorie des nombres, Systèmes dynamiques, Géométrie fractale, Théorie ergodique.

1. Problématique et Contexte

Le papier s'intéresse à la représentation des nombres réels dans des bases non entières, généralisant le concept classique de développement en base $q$.

• Définition : Pour deux bases réelles $q_0, q_1 > 1$, une suite binaire $i_1 i_2 \dots \in \{0, 1\}^\infty$ est appelée une $(q_0, q_1)$-expansion d'un nombre $x$ si :
  $$x = \pi_{q_0, q_1}(i_1 i_2 \dots) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{i_k}{q_{i_1} \dots q_{i_k}}$$
  L'ensemble des nombres admettant une telle expansion est noté $J_{q_0, q_1}$.
• L'ensemble univoque : Le cœur de l'étude est l'ensemble $U_{q_0, q_1}$, défini comme l'ensemble des nombres $x \in J_{q_0, q_1}$ possédant une unique $(q_0, q_1)$-expansion.
• Contexte antérieur : Lorsque $q_0 = q_1 = q$, la structure de $U_{q,q}$ est bien comprise (travaux d'Erdős, Komornik, Loreti, Allaart, Kong, etc.). On connaît les seuils critiques (nombre d'or généralisé, constante de Komornik-Loreti $q_{KL}$) séparant les cas où l'ensemble est trivial, dénombrable ou de dimension de Hausdorff positive.
• Objectif du papier : Étendre ces résultats au cas de deux bases distinctes ($q_0 \neq q_1$). L'objectif est de déterminer des formules explicites pour la dimension de Hausdorff de $U_{q_0, q_1}$, d'analyser l'entropie topologique du sous-décalage sous-jacent, et de prouver la continuité de ces quantités par rapport aux paramètres $(q_0, q_1)$.

2. Méthodologie

Les auteurs utilisent une approche combinant la dynamique symbolique et la géométrie fractale.

• Dynamique Symbolique et Ensembles Survivants :
  L'ensemble des expansions uniques $U_{q_0, q_1}$ est identifié (à un ensemble dénombrable près) à un sous-décalage $\Omega_{a,b}$ défini par l'exclusion d'un intervalle ouvert $]a, b[$ dans l'espace des suites $\{0, 1\}^\infty$.

  • $a$ et $b$ sont respectivement l'expansion quasi-gourmande (lexicographiquement maximale) de $1/q_1$ et l'expansion quasi-paresseuse (lexicographiquement minimale) de $1/(q_0(q_1-1))$.
  • $\Omega_{a,b} = \{ i \in \{0, 1\}^\infty : \forall n, i_n i_{n+1} \dots \notin ]a, b[ \}$.
    Ce système est équivalent à un décalage avec trou (open dynamical system) pour l'application de doublement ou les applications de Lorenz.

• Outils Analytiques :

  • Séries de Puissance et Invariants de Kneading : Les auteurs introduisent des séries formelles liées aux mots admissibles et utilisent l'invariant de kneading $K_{a,b}(z_0, z_1)$ pour relier la structure combinatoire du décalage aux équations de dimension.
  • Construction de Moran Généralisée : La dimension de Hausdorff est calculée en traitant l'image $\pi_{q_0, q_1}(\Omega_{a,b})$ comme une construction de Moran, où la taille des cylindres dépend des produits des bases $q_0$ et $q_1$.
  • Substitutions et Approximation : Pour prouver la continuité, ils utilisent des substitutions de mots et des approximations par des suites de décalages périodiques ou de type Fibonacci.

3. Résultats Principaux

A. Formules Explicites pour la Dimension de Hausdorff (Théorème 1.1)
Les auteurs établissent une classification complète de la dimension $s = \dim_H U_{q_0, q_1}$ en fonction de la position de $q_1$ par rapport à $q_0$ :

1. Cas trivial ou dénombrable ($q_1 \le K(q_0)$) : Si $q_1$ est inférieur ou égal à la constante généralisée de Komornik-Loreti $K(q_0)$, alors $\dim_H U_{q_0, q_1} = 0$.
2. Cas intermédiaire ($K(q_0) < q_1 < \frac{q_0}{q_0-1}$) : La dimension $s$ est strictement comprise entre 0 et 1. Elle est donnée par la racine maximale de l'équation :
   $$\pi_{q_0^s, q_1^s}(\ell(a, b)) = \pi_{q_0^s, q_1^s}(r(a, b))$$
   où $\ell(a, b)$ et $r(a, b)$ sont les éléments extrêmes du sous-décalage $\Omega_{a,b}$.
   Note : Si les bornes $a$ et $b$ appartiennent elles-mêmes au décalage, l'équation se simplifie en $\pi_{q_0^s, q_1^s}(a) = \pi_{q_0^s, q_1^s}(b)$.
3. Cas critique ($q_1 = \frac{q_0}{q_0-1}$) : La dimension est exactement $s = 1$.
4. Cas de recouvrement total ($q_1 > \frac{q_0}{q_0-1}$) : La dimension est la racine maximale de $q_0^{-s} + q_1^{-s} = 1$.

B. Relation avec l'Entropie (Théorème 1.2)
Pour un couple de suites $(a, b)$ admissibles, l'entropie topologique $h(\Omega_{a,b})$ et la dimension de Hausdorff sont liées par une équation caractéristique.

• Si $\pi_{\beta, \beta}(a) < \pi_{\beta, \beta}(b)$ pour tout $\beta > 1$, alors l'entropie est nulle.
• Sinon, l'entropie est $\log \beta$ où $\beta$ est la plus grande solution de $\pi_{\beta, \beta}(a) = \pi_{\beta, \beta}(b)$.
• La dimension de Hausdorff est $\min(1, s)$ où $s$ est la solution maximale de $\pi_{q_0^s, q_1^s}(a) = \pi_{q_0^s, q_1^s}(b)$.

C. Continuité (Théorèmes 1.4 et 1.5)

• La fonction $(a, b) \mapsto \dim_H \pi_{q_0, q_1}(\Omega_{a,b})$ est continue sur l'espace des paires admissibles.
• Résultat majeur : La fonction $(q_0, q_1) \mapsto \dim_H U_{q_0, q_1}$ est continue sur $(1, \infty) \times (1, \infty)$. Cela généralise le résultat récent d'Allaart et Kong (2019) qui ne couvrait que le cas $q_0 = q_1$.

D. Invariance par Substitution (Théorème 1.6)
Sous certaines conditions d'entropie positive, la dimension de Hausdorff est invariante sous l'opération de permutation cyclique des mots infinis générés par des substitutions. Par exemple, si $u$ et $v$ sont des mots finis, alors :
$$\dim_H \pi_{q_0, q_1}(\Omega_{u^\infty, v^\infty}) = \dim_H \pi_{q_0, q_1}(\Omega_{uv^\infty, vu^\infty})$$
Ce résultat élimine les conditions techniques restrictives présentes dans la littérature antérieure (comme dans [12]).

4. Signification et Impact

• Unification des systèmes dynamiques : Le papier montre que des problèmes apparemment distincts (développements en double base, applications de Lorenz, doubles applications avec trou) partagent la même structure symbolique sous-jacente. Les résultats obtenus s'appliquent donc à tous ces domaines.
• Précision des formules : Contrairement aux études précédentes qui donnaient souvent des bornes ou des résultats asymptotiques, ce travail fournit des formules explicites (sous forme de racines d'équations) pour la dimension de Hausdorff dans le cas général à deux bases.
• Stabilité des systèmes : La preuve de la continuité de la dimension par rapport aux paramètres $(q_0, q_1)$ est cruciale pour la stabilité numérique et physique de ces systèmes. Elle confirme que de petites perturbations des bases ne provoquent pas de sauts brutaux dans la complexité fractale de l'ensemble des expansions uniques.
• Outils nouveaux : L'utilisation systématique des invariants de kneading et des substitutions pour traiter la continuité dans le cas de bases multiples constitue une avancée méthodologique significative pour l'étude des systèmes dynamiques ouverts.

En résumé, ce papier complète la théorie des développements en base non entière en passant d'une base unique à deux bases, fournissant une caractérisation complète de la géométrie fractale de l'ensemble univoque et établissant sa stabilité topologique.