Hausdorff dimension of double base expansions and binary shifts with a hole

Resumen Técnico: Dimension de Hausdorff de Expansiones de Doble Base y Desplazamientos Binarios con Agujero

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda el estudio de la expansión de números reales en bases dobles $(q_0, q_1)$, donde $q_0, q_1 > 1$. Dada una secuencia binaria infinita $\mathbf{i} = i_1 i_2 \dots \in \{0, 1\}^\infty$, su expansión en base doble se define como:
$$\pi_{q_0, q_1}(\mathbf{i}) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{i_k}{q_{i_1} q_{i_2} \dots q_{i_k}}$$
El conjunto de todos los números generados por estas expansiones, $J_{q_0, q_1}$, es un subconjunto autosimilar de $[0, \frac{1}{q_1-1}]$ generado por un sistema de funciones iteradas (IFS) $\{f_0(x) = x/q_0, f_1(x) = (x+1)/q_1\}$.

El foco principal es el conjunto unívoco (univoque set) $U_{q_0, q_1}$, definido como el conjunto de números $x \in J_{q_0, q_1}$ que poseen exactamente una expansión $(q_0, q_1)$.

• Cuando $q_0 = q_1 = q$, este problema ha sido ampliamente estudiado (trabajos de Erdős, Komornik, Kong, Li, etc.). Se sabe que la dimensión de Hausdorff de $U_{q,q}$ depende críticamente de $q$ y está relacionada con la entropía topológica de un subdesplazamiento simbólico.
• El problema abierto: Generalizar estos resultados al caso de bases distintas ($q_0 \neq q_1$) y establecer fórmulas explícitas para la dimensión de Hausdorff y la continuidad de esta dimensión en función de los parámetros $(q_0, q_1)$. Además, el trabajo conecta este problema con sistemas dinámicos abiertos, específicamente desplazamientos binarios con un agujero (hole) y mapas de Lorenz.

2. Metodología

Los autores emplean una combinación de teoría de sistemas dinámicos simbólicos, geometría fractal y análisis de series formales.

• Enfoque Simbólico: En lugar de trabajar directamente con los números reales, analizan el conjunto de secuencias que generan expansiones únicas. Se define el conjunto de secuencias admisibles $\Omega_{a,b}$ como aquellas secuencias que nunca caen en un intervalo abierto $(a, b)$ bajo el desplazamiento (shift). Aquí, $a$ y $b$ son las expansiones "cuasi-avara" (quasi-greedy) y "cuasi-perezosa" (quasi-lazy) de ciertos puntos críticos.
• Construcción de Moran Generalizada: Utilizan la estructura de los cilindros en el espacio simbólico para modelar el conjunto $\pi_{q_0, q_1}(\Omega_{a,b})$ como una construcción de Moran generalizada. Esto permite relacionar la dimensión de Hausdorff con la convergencia de series de potencias.
• Funciones de Kneading y Series Formales: Introducen invariantes de "kneading" (amasado) y series formales $L_{a,b}(z_0, z_1)$ y $Q_{a,b}(z_0, z_1)$ para contar el número de palabras admisibles. La clave técnica es demostrar que la dimensión de Hausdorff $s$ es la raíz de una ecuación que involucra estas series evaluadas en $(q_0^{-s}, q_1^{-s})$.
• Análisis de Continuidad: Para probar la continuidad, utilizan técnicas de topología en el espacio de secuencias binarias, analizando cómo cambian los extremos del intervalo prohibido $(a, b)$ bajo pequeñas perturbaciones de las bases o de las secuencias mismas.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

A. Fórmulas Explícitas para la Dimensión de Hausdorff (Teorema 1.1)
Los autores derivan fórmulas precisas para $s = \dim_H U_{q_0, q_1}$ en función de las bases:

1. Región Trivial: Si $q_1 \le K(q_0)$ (donde $K$ es la constante generalizada de Komornik-Loreti), entonces $s = 0$.
2. Región de Dimensión Intermedia: Si $K(q_0) < q_1 < \frac{q_0}{q_0-1}$, entonces $0 < s < 1$. La dimensión $s$ es la raíz máxima de la ecuación:
   $$\pi_{q_0^s, q_1^s}(\ell(a, b)) = \pi_{q_0^s, q_1^s}(r(a, b))$$
   Donde $\ell(a,b)$ y $r(a,b)$ son los elementos extremos del subdesplazamiento $\Omega_{a,b}$.
3. Región de Dimensión Completa: Si $q_1 = \frac{q_0}{q_0-1}$, entonces $s = 1$.
4. Región de Sobrecubrimiento: Si $q_1 > \frac{q_0}{q_0-1}$, entonces $0 < s < 1$ y $s$ es la raíz máxima de $q_0^{-s} + q_1^{-s} = 1$.

B. Relación con la Entropía Topológica (Teorema 1.2)
Establecen una conexión fundamental entre la dimensión de Hausdorff del conjunto geométrico y la entropía topológica del subdesplazamiento simbólico subyacente $\Omega_{a,b}$:
$$\dim_H \pi_{q_0, q_1}(\Omega_{a,b}) = \min\left(1, \frac{h(\Omega_{a,b})}{\log \beta}\right)$$
donde $\beta$ es la base tal que la entropía se normaliza. Específicamente, demuestran que $h(\Omega_{a,b}) = \log \beta$ donde $\beta$ es la raíz máxima de $\pi_{\beta, \beta}(a) = \pi_{\beta, \beta}(b)$.

C. Continuidad (Teoremas 1.4 y 1.5)

• Demuestran que la función que asigna a un par de secuencias $(a, b)$ su dimensión de Hausdorff es continua.
• Como consecuencia, prueban que la función $(q_0, q_1) \mapsto \dim_H U_{q_0, q_1}$ es continua en todo el dominio $(1, \infty) \times (1, \infty)$. Esto generaliza resultados previos que solo cubrían el caso $q_0 = q_1$.

D. Propiedades de Invarianza (Teorema 1.6)
Demuestran que la dimensión de Hausdorff es invariante bajo ciertas transformaciones de las secuencias de borde. Si $u, v$ son palabras finitas, la dimensión de $\pi_{q_0, q_1}(\Omega_{u^\infty, v^\infty})$ es igual a la de $\pi_{q_0, q_1}(\Omega_{uv^\infty, vu^\infty})$, siempre que la entropía sea positiva. Esto elimina condiciones técnicas previas en la literatura.

4. Significado e Impacto

• Generalización Profunda: El trabajo extiende la teoría de expansiones en bases no enteras (q-expansiones) del caso de una sola base al caso de bases múltiples, un escenario mucho más complejo debido a la falta de simetría y la estructura más rica del IFS.
• Unificación de Problemas: Al formular los resultados en términos de desplazamientos con agujero (open dynamical systems), los autores unifican problemas aparentemente dispares: expansiones de números, mapas de Lorenz y el mapa de duplicación con agujeros. Esto permite que las herramientas desarrolladas sean aplicables en diversos contextos de sistemas dinámicos.
• Herramientas Computacionales: Las fórmulas explícitas permiten el cálculo numérico eficiente de la dimensión de Hausdorff, como se ilustra en la Figura 1 del artículo, mostrando la transición suave entre regiones de dimensión cero, intermedia y uno.
• Resolución de Conjeturas: Proporcionan una caracterización completa de la continuidad de la dimensión, cerrando brechas en la comprensión de cómo varían las propiedades fractales de los conjuntos unívocos al cambiar los parámetros del sistema.

En resumen, este artículo establece un marco teórico robusto y explícito para el análisis dimensional de sistemas dinámicos generados por expansiones en bases dobles, resolviendo problemas de continuidad y proporcionando herramientas analíticas para el estudio de conjuntos de números con representaciones únicas en sistemas no uniformes.