Hausdorff dimension of double base expansions and binary shifts with a hole

Titel: Hausdorff-dimensie van dubbele basis-expansies en binaire verschuivingen met een gat

1. Probleemstelling en Context

Het artikel onderzoekt de representatie van reële getallen in twee verschillende bases $q_0, q_1 > 1$. Een binaire rij $i_1i_2\dots \in \{0,1\}^\infty$ wordt een $(q_0, q_1)$-expansie van een getal $x$ genoemd als:
$$x = \pi_{q_0,q_1}(i_1i_2\dots) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{i_k}{q_{i_1} q_{i_2} \dots q_{i_k}}$$
Wanneer $q_0 = q_1 = q$, reduceert dit tot de klassieke $q$-expansie. De auteurs focussen op de univoque verzameling $U_{q_0,q_1}$, gedefinieerd als de verzameling van alle reële getallen die precies één $(q_0, q_1)$-expansie hebben.

De studie van deze verzamelingen is sterk verbonden met:

• Fractale meetkunde: De dimensie van de verzameling.
• Symbolische dynamica: De verzameling correspondeert met een subshift (een verzameling van toegestane rijen) die ontstaat door een "gat" in een dynamisch systeem (zoals de verdubbelingsafbeelding of Lorenz-kaarten) te verwijderen.
• Eerdere resultaten: Voor het geval $q_0=q_1=q$ is bekend dat de dimensie van $U_{q,q}$ continu is in $q$ (Allaart & Kong, 2019), gebaseerd op werk van Komornik, Kong en Li. Echter, voor het geval van twee verschillende bases ($q_0 \neq q_1$) ontbrak een expliciete formule voor de dimensie en een bewijs van continuïteit in beide parameters.

2. Methodologie

De auteurs combineren technieken uit de symbolische dynamica, de theorie van iteratieve functiesystemen (IFS) en de analyse van kneading-invarianten.

• Symbolische Karakterisering: De verzameling van unieke expansies $U_{q_0,q_1}$ wordt geïdentificeerd met een subshift $\Omega_{a,b}$, gedefinieerd door een open interval $]a, b[$ in de lexicografische orde. De randen $a$ en $b$ worden bepaald door de "quasi-greedy" expansie van $1/q_1$ en de "quasi-lazy" expansie van $1/(q_0(q_1-1))$.
• Verbinding met Entropie: Er wordt een relatie gelegd tussen de topologische entropie $h(\Omega_{a,b})$ van de onderliggende subshift en de Hausdorff-dimensie van de beeldverzameling onder de projectie $\pi_{q_0,q_1}$.
• Formele Machtrijen en Kneading-invarianten: De auteurs gebruiken formele machtrijen $L_{a,b}(z_0, z_1)$ en $Q_{a,b}(z_0, z_1)$ om de structuur van de toegestane woorden te analyseren. Een cruciaal instrument is de kneading-invariant $K_{a,b}(z_0, z_1)$, die gerelateerd is aan het verschil $\pi_{q_0,q_1}(b) - \pi_{q_0,q_1}(a)$.
• Continuïteitsanalyse: Om de continuïteit van de dimensie te bewijzen, analyseren de auteurs het gedrag van de wortels van de vergelijking $\pi_{q_0,q_1}(a) = \pi_{q_0,q_1}(b)$ bij variatie in de parameters $q_0, q_1$ en de grensrijen $a, b$. Ze maken gebruik van substituties en limietprocessen om continuïteit in de ruimte van rijen te tonen.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. Expliciete Formules voor de Hausdorff-dimensie

De kern van het artikel is Stelling 1.1, die een expliciete formule geeft voor $s = \dim_H U_{q_0,q_1}$:

1. Triviale Gevallen: Als $q_1 \le K(q_0)$ (waarbij $K(q_0)$ de veralgemeende Komornik-Loreti constante is), dan is $s = 0$.
2. Niet-triviale Gevallen ($K(q_0) < q_1 < \frac{q_0}{q_0-1}$): De dimensie $s$ is de grootste positieve wortel van de vergelijking:
   $$\pi_{q_0^s, q_1^s}(\ell(a, b)) = \pi_{q_0^s, q_1^s}(r(a, b))$$
   Hierbij zijn $\ell(a,b)$ en $r(a,b)$ de extremale elementen van de subshift. Als de randen zelf in de subshift zitten, vereenvoudigt dit tot $\pi_{q_0^s, q_1^s}(a) = \pi_{q_0^s, q_1^s}(b)$.
3. Grensgeval: Als $q_1 = \frac{q_0}{q_0-1}$, dan is $s = 1$.
4. Overlappende Bases: Als $q_1 > \frac{q_0}{q_0-1}$, dan is $s$ de grootste wortel van $q_0^{-s} + q_1^{-s} = 1$.

B. Continuïteit

• Stelling 1.4: De functie die de dimensie koppelt aan de grensrijen $(a, b)$, genoteerd als $d_{q_0,q_1}(a,b)$, is continu.
• Stelling 1.5: De functie $(q_0, q_1) \mapsto \dim_H U_{q_0,q_1}$ is continu voor alle $q_0, q_1 > 1$. Dit generaliseert het eerdere resultaat van Allaart en Kong (voor $q_0=q_1$) naar het geval van twee verschillende bases. Het bewijs verschilt fundamenteel van eerdere methoden en maakt gebruik van de expliciete formules uit Stelling 1.2.

C. Invariantie onder Substitutie

• Stelling 1.6: De auteurs tonen aan dat voor bepaalde periodieke rijen $u^\infty$ en $v^\infty$ (met positieve entropie), de dimensie invariant blijft onder bepaalde transformaties van de rijen (bijv. $d_{q_0,q_1}(u^\infty, v^\infty) = d_{q_0,q_1}(uv^\infty, vu^\infty)$). Dit veralgemeent eerdere resultaten over entropie naar de Hausdorff-dimensie in het kader van dubbele bases.

4. Significatie en Toepassingen

• Unificatie van Dynamische Systemen: De resultaten tonen aan dat problemen die op het eerste gezicht verschillend lijken (zoals dubbele basis-expansies, verdubbelingsafbeeldingen met een gat, en Lorenz-kaarten), dezelfde symbolische achtergrond hebben. De resultaten zijn dus toepasbaar op al deze systemen.
• Numerieke Visualisatie: De auteurs hebben de dimensie $\dim_H U_{q_0,q_1}$ numeriek berekend en gevisualiseerd voor $1 < q_0, q_1 \le 2.5$ (Figuur 1 in het artikel), wat inzicht geeft in de complexe structuur van de dimensie als functie van de bases.
• Theoretische Voltooiing: Het artikel sluit een belangrijke lacune in de literatuur door de continuïteit en expliciete berekening van de dimensie voor het algemene geval van twee verschillende bases te bewijzen, wat eerder slechts voor het geval van één base bekend was.

Samenvattend biedt dit artikel een volledig theoretisch raamwerk voor het begrijpen van de meetkundige en dynamische eigenschappen van unieke expansies in dubbele bases, met krachtige formules en bewijzen van continuïteit die de brug slaan tussen getaltheorie, fractale meetkunde en symbolische dynamica.