Resolution of two conjectures by Erd\H{o}s and Hall concerning separable numbers

Problemstellung
Diese Arbeit behandelt zwei Vermutungen von Erdős und Hall bezüglich „trennbarer Zahlen" und „verflochtener Paare". In ihrer Terminologie bilden zwei positive ganze Zahlen $m$ und $n$ ein verflochtenes Paar, wenn zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Teilern von $n$ (die beide größer als 1 sind) ein Teiler von $m$ existiert und umgekehrt. Eine ganze Zahl wird als trennbar definiert, wenn sie zu einem solchen Paar gehört.

Die Autoren konzentrieren sich auf zwei spezifische offene Probleme:

1. Dichte trennbarer Zweierpotenzen: Erdős und Hall vermuteten, dass $2^k$ für fast alle $k$ trennbar ist. Sie wiesen zudem auf die Schwierigkeit hin, zu bestimmen, ob die Zählfunktion $A(x)$ (die Anzahl der trennbaren ganzen Zahlen bis $x$) die Bedingung $A(x) = o(x)$ erfüllt.
2. Verflochtene Produkte von Primzahlen: Erdős und Hall vermuteten, dass für hinreichend großes $k$ kein verflochtenes Paar $(m, n)$ existiert, sodass ihr Produkt $mn$ gleich $P_k$ ist, dem Produkt der ersten $k$ Primzahlen.

Methodik
Die Autoren verwenden eine Kombination aus kombinatorischer Zahlentheorie, Teileranalyse und Ergebnissen zu Primzahllücken, um diese Vermutungen zu lösen.

• Teilerzählung und Parität: Die Arbeit beginnt mit der Aufstellung von Lemma 1, das die Anzahl der Teiler $\tau(n)$ zweier verflochtener Zahlen in Beziehung setzt. Spezifisch gilt: Wenn $d_2(n) < d_2(m)$, dann ist $\tau(m) = \tau(n)$, falls $n < m$, und $\tau(m) = \tau(n) - 1$, falls $n > m$. Dieses Lemma ist entscheidend für die Herleitung von Widersprüchen bezüglich der Struktur potenzieller verflochtener Partner.
• Widerlegung der Vermutung über $2^k$:
  • Um zu zeigen, dass $2^k$ für eine positive untere Dichte von $k$ nicht trennbar ist, analysieren die Autoren die Einschränkungen für die Teiler eines hypothetischen Partners $m$. Durch die Untersuchung von Fällen, in denen $\tau(m)$ ungerade oder gerade ist, und unter Verwendung modularer Arithmetik ($k \equiv 1, 2, 9, 10 \pmod{12}$), demonstrieren sie, dass ein solches $m$ notwendigerweise Teiler besitzen würde, die die Verflechtungsbedingung verletzen (z. B. das Erzeugen von Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Zweierpotenzen, die nicht aufgefüllt werden können).
  • Um zu zeigen, dass $2^k$ für eine positive untere Dichte von $k$ trennbar ist, definieren die Autoren eine Menge $S$ von ganzen Zahlen mit „gut verteilten" Teilern. Unter Verwendung von Lemma 4 (ein Ergebnis zur Verteilung von Teilern in Intervallen) und Lemma 3 (Ergebnisse zu Primzahllücken) beweisen sie, dass die Menge $S$ mehr als die Hälfte aller positiven ganzen Zahlen enthält. Anschließend konstruieren sie für jedes $n=2^k$, wobei $k$ zu einer skalierten Version von $S$ gehört ($2^t S$), einen spezifischen verflochtenen Partner $m$, wodurch die Existenz trennbarer Zweierpotenzen für eine positive Dichte von Exponenten nachgewiesen wird.
• Bestätigung der Produktvermutung:
  • Für die zweite Vermutung analysieren die Autoren die Verteilung der Primfaktoren zwischen $m$ und $n$, wenn $mn = P_k$ gilt. Durch iteratives Zuweisen kleiner Primfaktoren zu $m$ und $n$ basierend auf der Verflechtungsanforderung zeigen sie, dass für $k > 8$ die Einschränkungen einen Widerspruch erzwingen, bei dem $m$ Teiler besitzen muss, die $n$ nicht aufnehmen kann (insbesondere im Zusammenhang mit Teilern wie 23 und 26 im Gegensatz zur Unfähigkeit von $n$, ein Vielfaches von 24 oder 25 zu sein).

Hauptbeiträge und Ergebnisse
Die Arbeit liefert definitive Lösungen für die beiden Vermutungen:

1. Widerlegung der „fast alle"-Vermutung: Die Autoren beweisen, dass die untere Dichte der $k$, für die $2^k$ trennbar ist, positiv ist, aber entscheidend ist, dass auch die untere Dichte der $k$, für die $2^k$ nicht trennbar ist, positiv ist.

   • Satz 2: Für alle $k > 2$ mit $k \equiv 1, 2, 9, 10 \pmod{12}$ ist $2^k$ nicht trennbar.
   • Satz 6: Wenn $k \in 2^t S$ (wobei $S$ die Menge der ganzen Zahlen mit gut verteilten Teilern ist), dann ist $2^k$ trennbar. Die untere Dichte solcher $k$ beträgt mindestens $1/2^{t+1}$.
   • Bedeutung: Dies widerlegt die Vermutung, dass $2^k$ für fast alle $k$ trennbar ist, und zeigt, dass nicht-trennbare Zweierpotenzen häufig genug vorkommen, um eine positive untere Dichte zu besitzen.

2. Bestätigung der Produktvermutung:

   • Satz 9: Wenn $(m, n)$ ein verflochtenes Paar ist, sodass $mn = P_k$ (das Produkt der ersten $k$ Primzahlen), dann gilt $k \le 8$.
   • Bedeutung: Dies bestätigt die Erdős-Hall-Vermutung, dass für große $k$ kein solches verflochtenes Paar existiert. Die Autoren weisen ausdrücklich darauf hin, dass für gerade $k \le 8$ solche Paare existieren, dass sie jedoch jenseits dieser Schwelle nicht mehr existieren.

Bedeutung
Die Arbeit löst zwei langjährige offene Probleme in der Theorie der trennbaren Zahlen. Indem sie beweisen, dass die Menge der nicht-trennbaren Zweierpotenzen eine positive untere Dichte besitzt, klären die Autoren die Verteilung trennbarer Zahlen und zeigen, dass die Eigenschaft nicht so allgegenwärtig ist wie zuvor vermutet. Ferner legt die Arbeit durch die Festlegung einer strikten oberen Schranke ($k \le 8$) für verflochtene Paare, die durch das Produkt der ersten $k$ Primzahlen gebildet werden, die strukturellen Grenzen solcher Paare in Bezug auf Primorialzahlen fest. Die Autoren weisen zudem darauf hin, dass ihre Ergebnisse mit dem Beweisassistenten Lean verifiziert wurden.