Resolution of two conjectures by Erd\H{o}s and Hall concerning separable numbers

Enunciato del Problema
Questo articolo affronta due congetture proposte da Erdős e Hall riguardanti i "numeri separabili" e le "coppie interbloccate". Seguendo la loro terminologia, due interi positivi $m$ e $n$ formano una coppia interbloccata se, tra due divisori consecutivi di $n$ (entrambi maggiori di 1), esiste un divisore di $m$, e viceversa. Un intero è definito separabile se appartiene a una tale coppia.

Gli autori si concentrano su due specifici problemi aperti:

1. Densità delle Potenze di Due Separabili: Erdős e Hall hanno congetturato che $2^k$ sia separabile per quasi tutti gli $k$. Hanno inoltre notato la difficoltà nel determinare se la funzione di conteggio $A(x)$ (il numero di interi separabili fino a $x$) soddisfi $A(x) = o(x)$.
2. Prodotti Interbloccati di Primi: Erdős e Hall hanno congetturato che, se $k$ è sufficientemente grande, non esista alcuna coppia interbloccata $(m, n)$ tale che il loro prodotto $mn$ sia uguale a $P_k$, il prodotto dei primi $k$ numeri primi.

Metodologia
Gli autori impiegano una combinazione di teoria dei numeri combinatoria, analisi dei divisori e risultati sulle lacune tra numeri primi per risolvere queste congetture.

• Conteggio dei Divisori e Parità: L'articolo inizia stabilendo il Lemma 1, che mette in relazione il numero di divisori $\tau(n)$ di due numeri interbloccati. Nello specifico, se $d_2(n) < d_2(m)$, allora $\tau(m) = \tau(n)$ se $n < m$, e $\tau(m) = \tau(n) - 1$ se $n > m$. Questo lemma è cruciale per derivare contraddizioni riguardo alla struttura di potenziali partner interbloccati.
• Smentita della Congettura su $2^k$:
  • Per dimostrare che $2^k$ non è separabile per una densità inferiore positiva di $k$, gli autori analizzano i vincoli sui divisori di un ipotetico partner $m$. Esaminando i casi in cui $\tau(m)$ è dispari o pari e utilizzando l'aritmetica modulare ($k \equiv 1, 2, 9, 10 \pmod{12}$), dimostrano che un qualsiasi tale $m$ possiederebbe necessariamente divisori che violano la condizione di interblocco (ad esempio, creando lacune tra potenze consecutive di 2 che non possono essere colmate).
  • Per dimostrare che $2^k$ è separabile per una densità inferiore positiva di $k$, gli autori definiscono un insieme $S$ di interi con divisori "ben distribuiti". Utilizzando il Lemma 4 (un risultato sulla distribuzione dei divisori negli intervalli) e il Lemma 3 (risultati sulle lacune tra numeri primi), dimostrano che l'insieme $S$ contiene più della metà di tutti gli interi positivi. Costruiscono quindi un partner interbloccato specifico $m$ per $n=2^k$ ogni volta che $k$ appartiene a una versione scalata di $S$ ($2^t S$), dimostrando così l'esistenza di potenze di due separabili per una densità positiva di esponenti.
• Conferma della Congettura sul Prodotto:
  • Per la seconda congettura, gli autori analizzano la distribuzione dei fattori primi tra $m$ e $n$ quando $mn = P_k$. Assegnando iterativamente piccoli fattori primi a $m$ e $n$ in base al requisito di interblocco, mostrano che per $k > 8$, i vincoli costringono a una contraddizione in cui $m$ deve avere divisori che $n$ non può accogliere (in particolare coinvolgendo divisori come 23 e 26 rispetto all'impossibilità per $n$ di essere un multiplo di 24 o 25).

Contributi e Risultati Chiave
L'articolo fornisce risoluzioni definitive alle due congetture:

1. Smentita della Congettura "Quasi Tutti": Gli autori dimostrano che la densità inferiore di $k$ per cui $2^k$ è separabile è positiva, ma, cosa cruciale, anche la densità inferiore di $k$ per cui $2^k$ non è separabile è positiva.

   • Teorema 2: Per tutti gli $k > 2$ con $k \equiv 1, 2, 9, 10 \pmod{12}$, $2^k$ non è separabile.
   • Teorema 6: Se $k \in 2^t S$ (dove $S$ è l'insieme degli interi con divisori ben distribuiti), allora $2^k$ è separabile. La densità inferiore di tali $k$ è almeno $1/2^{t+1}$.
   • Significato: Questo smentisce la congettura secondo cui $2^k$ è separabile per quasi tutti gli $k$, dimostrando che le potenze di due non separabili sono abbastanza frequenti da avere una densità inferiore positiva.

2. Conferma della Congettura sul Prodotto:

   • Teorema 9: Se $(m, n)$ è una coppia interbloccata tale che $mn = P_k$ (il prodotto dei primi $k$ numeri primi), allora $k \le 8$.
   • Significato: Questo conferma la congettura di Erdős-Hall secondo cui, per $k$ grandi, non esiste una tale coppia interbloccata. Gli autori notano esplicitamente che per $k$ pari $\le 8$, tali coppie esistono, ma cessano di esistere oltre questa soglia.

Significato
L'articolo risolve due problemi aperti di lunga data nella teoria dei numeri separabili. Dimostrando che l'insieme delle potenze di due non separabili ha una densità inferiore positiva, gli autori chiariscono la distribuzione dei numeri separabili, mostrando che la proprietà non è così ubiqua come congetturato in precedenza. Inoltre, stabilendo un limite superiore rigoroso ($k \le 8$) per le coppie interbloccate formate dal prodotto dei primi $k$ numeri primi, l'articolo risolve i limiti strutturali di tali coppie in relazione ai primoriali. Gli autori notano inoltre che i loro risultati sono stati verificati utilizzando l'assistente di dimostrazione Lean.