Resolution of two conjectures by Erd\H{o}s and Hall concerning separable numbers

Énoncé du problème
Cet article traite de deux conjectures proposées par Erdős et Hall concernant les « nombres séparables » et les « paires imbriquées ». En suivant leur terminologie, deux entiers positifs $m$ et $n$ forment une paire imbriquée si, entre deux diviseurs consécutifs de $n$ (tous deux supérieurs à 1), il existe un diviseur de $m$, et vice versa. Un entier est défini comme séparable s'il appartient à une telle paire.

Les auteurs se concentrent sur deux problèmes ouverts spécifiques :

1. Densité des puissances de deux séparables : Erdős et Hall ont conjecturé que $2^k$ est séparable pour presque tout $k$. Ils ont également noté la difficulté à déterminer si la fonction de comptage $A(x)$ (le nombre d'entiers séparables jusqu'à $x$) satisfait $A(x) = o(x)$.
2. Produits imbriqués de nombres premiers : Erdős et Hall ont conjecturé que si $k$ est suffisamment grand, aucune paire imbriquée $(m, n)$ n'existe telle que leur produit $mn$ soit égal à $P_k$, le produit des $k$ premiers nombres premiers.

Méthodologie
Les auteurs utilisent une combinaison de théorie des nombres combinatoire, d'analyse des diviseurs et de résultats sur les écarts entre nombres premiers pour résoudre ces conjectures.

• Comptage des diviseurs et parité : L'article commence par établir la Lemme 1, qui relie le nombre de diviseurs $\tau(n)$ de deux nombres imbriqués. Plus précisément, si $d_2(n) < d_2(m)$, alors $\tau(m) = \tau(n)$ si $n < m$, et $\tau(m) = \tau(n) - 1$ si $n > m$. Ce lemme est crucial pour dériver des contradictions concernant la structure de partenaires imbriqués potentiels.
• Réfutation de la conjecture sur $2^k$ :
  • Pour montrer que $2^k$ n'est pas séparable pour une densité inférieure positive de $k$, les auteurs analysent les contraintes sur les diviseurs d'un partenaire hypothétique $m$. En examinant les cas où $\tau(m)$ est impair ou pair et en utilisant l'arithmétique modulaire ($k \equiv 1, 2, 9, 10 \pmod{12}$), ils démontrent que tout tel $m$ posséderait nécessairement des diviseurs qui violent la condition d'imbrication (par exemple, en créant des écarts entre les puissances consécutives de 2 qui ne peuvent être comblés).
  • Pour montrer que $2^k$ est séparable pour une densité inférieure positive de $k$, les auteurs définissent un ensemble $S$ d'entiers ayant des diviseurs « bien répartis ». En utilisant le Lemme 4 (un résultat sur la distribution des diviseurs dans les intervalles) et le Lemme 3 (résultats sur les écarts entre nombres premiers), ils prouvent que l'ensemble $S$ contient plus de la moitié de tous les entiers positifs. Ils construisent ensuite un partenaire imbriqué spécifique $m$ pour $n=2^k$ chaque fois que $k$ appartient à une version mise à l'échelle de $S$ ($2^t S$), prouvant ainsi l'existence de puissances de deux séparables pour une densité positive d'exposants.
• Confirmation de la conjecture sur le produit :
  • Pour la deuxième conjecture, les auteurs analysent la distribution des facteurs premiers entre $m$ et $n$ lorsque $mn = P_k$. En assignant itérativement de petits facteurs premiers à $m$ et $n$ sur la base de l'exigence d'imbrication, ils montrent que pour $k > 8$, les contraintes forcent une contradiction où $m$ doit avoir des diviseurs que $n$ ne peut pas accommoder (impliquant spécifiquement des diviseurs comme 23 et 26 par rapport à l'incapacité de $n$ d'être un multiple de 24 ou 25).

Contributions et résultats clés
L'article fournit des résolutions définitives aux deux conjectures :

1. Réfutation de la conjecture « presque tous » : Les auteurs prouvent que la densité inférieure de $k$ pour laquelle $2^k$ est séparable est positive, mais crucialement, la densité inférieure de $k$ pour laquelle $2^k$ n'est pas séparable est également positive.

   • Théorème 2 : Pour tout $k > 2$ avec $k \equiv 1, 2, 9, 10 \pmod{12}$, $2^k$ n'est pas séparable.
   • Théorème 6 : Si $k \in 2^t S$ (où $S$ est l'ensemble des entiers à diviseurs bien répartis), alors $2^k$ est séparable. La densité inférieure de tels $k$ est d'au moins $1/2^{t+1}$.
   • Signification : Cela réfute la conjecture selon laquelle $2^k$ est séparable pour presque tout $k$, démontrant que les puissances de deux non séparables sont suffisamment fréquentes pour avoir une densité inférieure positive.

2. Confirmation de la conjecture sur le produit :

   • Théorème 9 : Si $(m, n)$ est une paire imbriquée telle que $mn = P_k$ (le produit des $k$ premiers nombres premiers), alors $k \le 8$.
   • Signification : Cela confirme la conjecture d'Erdős-Hall selon laquelle pour $k$ grand, aucune telle paire imbriquée n'existe. Les auteurs notent explicitement que pour $k$ pair $\le 8$, de telles paires existent, mais qu'elles cessent d'exister au-delà de ce seuil.

Signification
L'article résout deux problèmes ouverts de longue date dans la théorie des nombres séparables. En prouvant que l'ensemble des puissances de deux non séparables a une densité inférieure positive, les auteurs clarifient la distribution des nombres séparables, montrant que la propriété n'est pas aussi omniprésente que conjecturé précédemment. De plus, en établissant une borne supérieure stricte ($k \le 8$) pour les paires imbriquées formées par le produit des $k$ premiers nombres premiers, l'article règle les limitations structurelles de telles paires par rapport aux primoriaux. Les auteurs notent également que leurs résultats ont été vérifiés à l'aide de l'assistant de preuve Lean.