Resolution of two conjectures by Erd\H{o}s and Hall concerning separable numbers

問題の提示
本論文は、エルデシュとホールによって提案された「分離可能数」および「相互連結ペア」に関する 2 つの予想を取り扱う。彼らの用語に従えば、2 つの正整数 $m$ と $n$ が相互連結ペアを形成するとは、$n$ の任意の 2 つの連続する約数（どちらも 1 より大きい）の間に $m$ の約数が存在し、その逆も成り立つことをいう。ある整数がそのようなペアに属する場合、その整数は「分離可能」と定義される。

著者らは 2 つの具体的な未解決問題に焦点を当てている：

1. 2 のべき乗の分離可能性の密度：エルデシュとホールは、$2^k$ がほとんどすべての $k$ に対して分離可能であると予想した。また、カウント関数 $A(x)$（$x$ 以下の分離可能整数の個数）が $A(x) = o(x)$ を満たすかどうかを決定することの難しさにも言及している。
2. 素数の積の相互連結性：エルデシュとホールは、$k$ が十分に大きければ、その積 $mn$が最初の$k$個の素数の積$P_k$に等しいような相互連結ペア$(m, n)$ は存在しないであろうと予想した。

手法
著者らは、組合せ論的数論、約数解析、および素数間隔に関する結果の組み合わせを用いて、これらの予想を解決する。

• 約数の数と偶奇：本論文は、2 つの相互連結数の約数の個数 $\tau(n)$ に関連する補題 1 を確立することから始まる。具体的には、$d_2(n) < d_2(m)$ である場合、$n < m$ なら $\tau(m) = \tau(n)$ であり、$n > m$ なら $\tau(m) = \tau(n) - 1$ となる。この補題は、潜在的な相互連結パートナーの構造に関する矛盾を導き出す上で決定的である。
• $2^k$ に関する予想の反証：
  • $2^k$ が正の下限密度を持つ $k$ に対して分離可能でないことを示すために、著者らは仮想的なパートナー $m$ の約数に対する制約を分析する。$\tau(m)$ が奇数または偶数である場合を調べ、モジュラー算術（$k \equiv 1, 2, 9, 10 \pmod{12}$）を利用することで、そのような $m$ は必然的に相互連結条件に違反する約数（例えば、2 の連続するべき乗の間に埋めることのできない隙間を生じさせる約数）を持つことを示す。
  • $2^k$ が正の下限密度を持つ $k$ に対して分離可能であることを示すために、著者らは「よく分布した」約数を持つ整数の集合 $S$ を定義する。補題 4（区間内の約数の分布に関する結果）と補題 3（素数間隔に関する結果）を用いて、集合 $S$ がすべての正整数の半分以上を含んでいることを証明する。その後、$k$ が $S$ のスケーリング版（$2^t S$）に属する限り、$n=2^k$ に対する特定の相互連結パートナー $m$ を構成し、これにより正の密度を持つ指数に対して 2 のべき乗が分離可能であることを証明する。
• 積の予想の確認：
  • 2 つ目の予想について、著者らは $mn = P_k$ である場合の $m$ と $n$ の間の素因数の分布を分析する。相互連結の要件に基づいて $m$ と $n$ に小さな素因数を反復的に割り当てることで、$k > 8$ において、制約が矛盾を強いることを示す。具体的には、$m$ が $n$ が受け入れられない約数（23 や 26 のような約数）を持たなければならない一方で、$n$ が 24 や 25 の倍数であることができないという状況である。

主要な貢献と結果
本論文は、2 つの予想に対する決定的な解決を提供する：

1. 「ほとんどすべて」の予想の反証：著者らは、$2^k$ が分離可能であるような $k$ の下限密度が正であることを証明するが、決定的なことに、$2^k$ が分離可能でないような $k$ の下限密度もまた正であることを証明する。

   • 定理 2：$k > 2$ かつ $k \equiv 1, 2, 9, 10 \pmod{12}$ であるすべての $k$ について、$2^k$ は分離可能ではない。
   • 定理 6：$k \in 2^t S$（ここで $S$ はよく分布した約数を持つ整数の集合）であれば、$2^k$ は分離可能である。そのような $k$ の下限密度は少なくとも $1/2^{t+1}$ である。
   • 意義：これは、$2^k$ がほとんどすべての $k$ に対して分離可能であるという予想を反証するものであり、分離不可能な 2 のべき乗が正の下限密度を持つほど頻繁に存在することを示している。

2. 積の予想の確認：

   • 定理 9：$(m, n)$ が $mn = P_k$（最初の $k$ 個の素数の積）であるような相互連結ペアであれば、$k \le 8$ である。
   • 意義：これは、$k$ が大きい場合、そのような相互連結ペアは存在しないというエルデシュ・ホールの予想を確認するものである。著者らは明示的に、偶数の $k \le 8$ に対してはこのようなペアが存在するが、この閾値を超えると存在しなくなることを指摘している。

意義
本論文は、分離可能数の理論における 2 つの長年の未解決問題を解決する。分離不可能な 2 のべき乗の集合が正の下限密度を持つことを証明することにより、著者らは分離可能数の分布を明確にし、その性質が以前予想されていたほど普遍的ではないことを示している。さらに、最初の $k$ 個の素数の積によって形成される相互連結ペアに対して厳密な上限（$k \le 8$）を確立することにより、本論文はプリモリアルに関連するそのようなペアの構造的限界を解決している。著者らはまた、彼らの結果が Lean 証明支援システムを用いて検証されたことを付記している。