Resolution of two conjectures by Erd\H{o}s and Hall concerning separable numbers

Enunciado del Problema
Este artículo aborda dos conjeturas propuestas por Erdős y Hall sobre "números separables" y "pares entrelazados". Siguiendo su terminología, dos enteros positivos $m$ y $n$ forman un par entrelazado si, entre dos divisores consecutivos cualesquiera de $n$ (ambos mayores que 1), existe un divisor de $m$, y viceversa. Un entero se define como separable si pertenece a tal par.

Los autores se centran en dos problemas abiertos específicos:

1. Densidad de Potencias de Dos Separables: Erdős y Hall conjeturaron que $2^k$ es separable para casi todos los $k$. También señalaron la dificultad de determinar si la función de conteo $A(x)$ (el número de enteros separables hasta $x$) satisface $A(x) = o(x)$.
2. Productos Entrelazados de Primos: Erdős y Hall conjeturaron que si $k$ es suficientemente grande, no existe ningún par entrelazado $(m, n)$ tal que su producto $mn$ sea igual a $P_k$, el producto de los primeros $k$ primos.

Metodología
Los autores emplean una combinación de teoría de números combinatoria, análisis de divisores y resultados sobre huecos entre primos para resolver estas conjeturas.

• Conteo de Divisores y Paridad: El artículo comienza estableciendo el Lema 1, que relaciona el número de divisores $\tau(n)$ de dos números entrelazados. Específicamente, si $d_2(n) < d_2(m)$, entonces $\tau(m) = \tau(n)$ si $n < m$, y $\tau(m) = \tau(n) - 1$ si $n > m$. Este lema es crucial para derivar contradicciones respecto a la estructura de posibles socios entrelazados.
• Refutación de la Conjetura sobre $2^k$:
  • Para demostrar que $2^k$ no es separable para una densidad inferior positiva de $k$, los autores analizan las restricciones sobre los divisores de un hipotético socio $m$. Al examinar casos donde $\tau(m)$ es impar o par y utilizando aritmética modular ($k \equiv 1, 2, 9, 10 \pmod{12}$), demuestran que cualquier tal $m$ poseería necesariamente divisores que violan la condición de entrelazado (por ejemplo, creando huecos entre potencias consecutivas de 2 que no pueden llenarse).
  • Para demostrar que $2^k$ sí es separable para una densidad inferior positiva de $k$, los autores definen un conjunto $S$ de enteros con divisores "bien distribuidos". Utilizando el Lema 4 (un resultado sobre la distribución de divisores en intervalos) y el Lema 3 (resultados sobre huecos entre primos), prueban que el conjunto $S$ contiene más de la mitad de todos los enteros positivos. Luego construyen un socio entrelazado específico $m$ para $n=2^k$ siempre que $k$ pertenezca a una versión escalada de $S$ ($2^t S$), demostrando así la existencia de potencias de dos separables para una densidad positiva de exponentes.
• Confirmación de la Conjetura del Producto:
  • Para la segunda conjetura, los autores analizan la distribución de los factores primos entre $m$ y $n$ cuando $mn = P_k$. Mediante la asignación iterativa de factores primos pequeños a $m$ y $n$ basándose en el requisito de entrelazado, muestran que para $k > 8$, las restricciones fuerzan una contradicción donde $m$ debe tener divisores que $n$ no puede acomodar (específicamente involucrando divisores como 23 y 26 frente a la incapacidad de $n$ de ser un múltiplo de 24 o 25).

Contribuciones y Resultados Clave
El artículo proporciona resoluciones definitivas a las dos conjeturas:

1. Refutación de la Conjetura "Casi Todos": Los autores prueban que la densidad inferior de $k$ para la cual $2^k$ es separable es positiva, pero crucialmente, la densidad inferior de $k$ para la cual $2^k$ no es separable también es positiva.

   • Teorema 2: Para todo $k > 2$ con $k \equiv 1, 2, 9, 10 \pmod{12}$, $2^k$ no es separable.
   • Teorema 6: Si $k \in 2^t S$ (donde $S$ es el conjunto de enteros con divisores bien distribuidos), entonces $2^k$ es separable. La densidad inferior de tales $k$ es al menos $1/2^{t+1}$.
   • Significado: Esto refuta la conjetura de que $2^k$ es separable para casi todos los $k$, demostrando que las potencias de dos no separables son lo suficientemente frecuentes como para tener una densidad inferior positiva.

2. Confirmación de la Conjetura del Producto:

   • Teorema 9: Si $(m, n)$ es un par entrelazado tal que $mn = P_k$ (el producto de los primeros $k$ primos), entonces $k \le 8$.
   • Significado: Esto confirma la conjetura de Erdős-Hall de que para $k$ grande, no existe tal par entrelazado. Los autores señalan explícitamente que para $k$ par $\le 8$, tales pares sí existen, pero dejan de existir más allá de este umbral.

Significado
El artículo resuelve dos problemas abiertos de larga data en la teoría de los números separables. Al probar que el conjunto de potencias de dos no separables tiene una densidad inferior positiva, los autores aclaran la distribución de los números separables, mostrando que la propiedad no es tan ubicua como se conjeturaba anteriormente. Además, al establecer un límite superior estricto ($k \le 8$) para los pares entrelazados formados por el producto de los primeros $k$ primos, el artículo resuelve las limitaciones estructurales de tales pares en relación con los primoriales. Los autores también señalan que sus resultados han sido verificados utilizando el asistente de pruebas Lean.