Resolution of two conjectures by Erd\H{o}s and Hall concerning separable numbers

Enunciado do Problema
Este artigo aborda duas conjecturas propostas por Erdős e Hall relativas a "números separáveis" e "pares entrelaçados". Seguindo a sua terminologia, dois inteiros positivos $m$ e $n$ formam um par entrelaçado se, entre quaisquer dois divisores consecutivos de $n$ (ambos maiores que 1), existir um divisor de $m$, e vice-versa. Um inteiro é definido como separável se pertence a tal par.

Os autores concentram-se em dois problemas abertos específicos:

1. Densidade de Potências de Dois Separáveis: Erdős e Hall conjecturaram que $2^k$ é separável para quase todos os $k$. Eles também notaram a dificuldade em determinar se a função de contagem $A(x)$ (o número de inteiros separáveis até $x$) satisfaz $A(x) = o(x)$.
2. Produtos Entrelaçados de Primos: Erdős e Hall conjecturaram que, se $k$ for suficientemente grande, não existe par entrelaçado $(m, n)$ tal que o seu produto $mn$ seja igual a $P_k$, o produto dos primeiros $k$ primos.

Metodologia
Os autores empregam uma combinação de teoria dos números combinatória, análise de divisores e resultados sobre lacunas entre primos para resolver estas conjecturas.

• Contagem de Divisores e Paridade: O artigo começa por estabelecer o Lema 1, que relaciona o número de divisores $\tau(n)$ de dois números entrelaçados. Especificamente, se $d_2(n) < d_2(m)$, então $\tau(m) = \tau(n)$ se $n < m$, e $\tau(m) = \tau(n) - 1$ se $n > m$. Este lema é crucial para derivar contradições relativas à estrutura de potenciais parceiros entrelaçados.
• Refutação da Conjectura sobre $2^k$:
  • Para mostrar que $2^k$ não é separável para uma densidade inferior positiva de $k$, os autores analisam as restrições sobre os divisores de um parceiro hipotético $m$. Ao examinar casos onde $\tau(m)$ é ímpar ou par e utilizando aritmética modular ($k \equiv 1, 2, 9, 10 \pmod{12}$), eles demonstram que qualquer tal $m$ necessariamente possuiria divisores que violam a condição de entrelaçamento (por exemplo, criando lacunas entre potências consecutivas de 2 que não podem ser preenchidas).
  • Para mostrar que $2^k$ é separável para uma densidade inferior positiva de $k$, os autores definem um conjunto $S$ de inteiros com divisores "bem distribuídos". Usando o Lema 4 (um resultado sobre a distribuição de divisores em intervalos) e o Lema 3 (resultados sobre lacunas entre primos), eles provam que o conjunto $S$ contém mais da metade de todos os inteiros positivos. Em seguida, constroem um parceiro entrelaçado específico $m$ para $n=2^k$ sempre que $k$ pertence a uma versão escalada de $S$ ($2^t S$), provando assim a existência de potências de dois separáveis para uma densidade positiva de expoentes.
• Confirmação da Conjectura do Produto:
  • Para a segunda conjectura, os autores analisam a distribuição dos fatores primos entre $m$ e $n$ quando $mn = P_k$. Ao atribuir iterativamente fatores primos pequenos a $m$ e $n$ com base no requisito de entrelaçamento, eles mostram que, para $k > 8$, as restrições forçam uma contradição onde $m$ deve ter divisores que $n$ não pode acomodar (especificamente envolvendo divisores como 23 e 26 versus a incapacidade de $n$ ser um múltiplo de 24 ou 25).

Principais Contribuições e Resultados
O artigo fornece resoluções definitivas às duas conjecturas:

1. Refutação da Conjectura "Quase Todos": Os autores provam que a densidade inferior de $k$ para a qual $2^k$ é separável é positiva, mas, crucialmente, a densidade inferior de $k$ para a qual $2^k$ não é separável também é positiva.

   • Teorema 2: Para todos os $k > 2$ com $k \equiv 1, 2, 9, 10 \pmod{12}$, $2^k$ não é separável.
   • Teorema 6: Se $k \in 2^t S$ (onde $S$ é o conjunto de inteiros com divisores bem distribuídos), então $2^k$ é separável. A densidade inferior de tais $k$ é pelo menos $1/2^{t+1}$.
   • Significado: Isto refuta a conjectura de que $2^k$ é separável para quase todos os $k$, demonstrando que potências de dois não separáveis são frequentes o suficiente para ter uma densidade inferior positiva.

2. Confirmação da Conjectura do Produto:

   • Teorema 9: Se $(m, n)$ é um par entrelaçado tal que $mn = P_k$ (o produto dos primeiros $k$ primos), então $k \le 8$.
   • Significado: Isto confirma a conjectura de Erdős-Hall de que, para $k$ grande, nenhum tal par entrelaçado existe. Os autores notam explicitamente que, para $k$ par e $k \le 8$, tais pares existem, mas deixam de existir além deste limiar.

Significado
O artigo resolve dois problemas abertos de longa data na teoria dos números separáveis. Ao provar que o conjunto de potências de dois não separáveis tem uma densidade inferior positiva, os autores esclarecem a distribuição dos números separáveis, mostrando que a propriedade não é tão ubíqua quanto conjecturado anteriormente. Além disso, ao estabelecer um limite superior estrito ($k \le 8$) para pares entrelaçados formados pelo produto dos primeiros $k$ primos, o artigo resolve as limitações estruturais desses pares em relação aos primoriais. Os autores também notam que os seus resultados foram verificados utilizando o assistente de prova Lean.